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1、2.2.2对数函数及其性质 第 1 课时对数函数的图象及性质 学习目标 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数， 研究对数函数的性质. 知识点一对数函数的概念 一般地，把函数ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0， ). 思考根据对数函数的定义，你能总结出对数函数具有哪些特点吗？ 答(1)底数 a0，且 a 1. (2)自变量 x 在真数位置上，且x0. (3)在解析式ylogax 中， logax 的系数必须为1，真数必须是x. 知识点二对数函数的图象与性质 a10a1 图象 性质 定义域(0， ) 值域R
2、过定点过定点 (1,0)，即 x1 时， y0 函数值 的变化 当 0 x1 时， y0 当 x1时， y0 当 0 x1 时， y0 当 x1 时， y0 单调性在(0， )上是增函数在 (0， )上是减函数 知识点三反函数 对数函数ylogax(a0，且 a1)与指数函数 ya x(a0，且 a1)互为反函数 . 题型一对数函数的概念 例 1指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y3log2x；(2)ylog6x； (3)ylogx3；(4)ylog2x1. 解(1)log2x 的系数是 3，不是 1，不是对数函数 . (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数. (3)自变量在底数位置上，不
3、是对数函数. (4)对数式 log2x 后又加 1，不是对数函数. 反思与感悟判断一个函数是对数函数必须是形如ylogax(a0 且 a1)的形式，即必须满 足以下条件： (1)系数为 1. (2)底数为大于0 且不等于 1 的常数 . (3)对数的真数仅有自变量x. 跟踪训练1下列函数为对数函数的是() A.ylog1xB.y3log2x C.ylog2(x1) D.ylog2x 答案D 题型二对数函数的图象 例 2如图所示，曲线是对数函数ylogax 的图象，已知 a 取3， 4 3， 3 5， 1 10，则相应于 c1， c2， c3， c4的 a 值依次为 ( ) A.3， 4 3，
4、3 5， 1 10 B.3， 4 3， 1 10， 3 5 C.4 3， 3， 3 5， 1 10 D.4 3， 3， 1 10 ， 3 5 答案A 解析在第一象限内各图象对应的对数函数的底数顺时针增大， c4c3c2c1，故 c1，c2， c3，c4各值依次为3， 4 3， 3 5， 1 10，故选 A. 反思与感悟对数函数图象特点： (1)底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0 小于 1，图象呈下降趋势. (2)在第一象限，各图象对应的对数函数底数顺时针增大.底数越小，在第一象限图象越靠近 y 轴；底数越大，在第一象限图象越靠近x 轴. 跟踪训练 2如图，若 C1， C2分别为函数 ylo
5、gax和 ylogbx 的图象，则() A.0 ab1 B.0bab1 D.ba1 答案B 解析两图象均呈下降趋势， 所以 a， b 均小于 1.结合第一象限图象特征得ba， 所以 0ba0，a1)的图象必过定点的坐标为 _. 答案(0,2) 解析当 x0 时， f(x)2，所以函数f(x)的图象必过定点(0,2). 题型三对数函数的定义域 例 4(1)函数 f(x) 1 1x lg(1x)的定义域是 ( ) A.(， 1) B.(1， ) C.(1,1)(1， ) D.( ， ) (2)若 f(x) 1 2 1 log (21)x ，则 f(x)的定义域为 () A. 1 2，0 B. 1
6、2， C. 1 2，0 (0， ) D. 1 2， 2 答案(1)C(2)C 解析(1)由题意知 1x0， 1x0 解得 x 1 且 x1. (2)由题意有 2x10， 2x11 解得 x 1 2且 x0. 反思与感悟求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方 法外， 还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底 数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 跟踪训练4求下列函数的定义域： (1)f(x)lg(x2) 1 x3； (2)f(x)log(x1)(164x). 解(1)要使函数有意义，需满足 x20， x30， 解得
7、x 2 且 x3. 函数的定义域为(2,3)(3， ). (2)要使函数有意义，需满足 164x0， x 10， x 11， 解得 1x0 或 0 x4. 函数的定义域为(1,0)(0,4). 题型四对数函数与指数函数的反函数 例 5(1)y(1 2) x 的反函数为 _. (2)ylog7x 的反函数为 _. (3)点(4,16)在函数 ylogax(a0， a1)的反函数的图象上，则a_. 答案(1)ylog 2 1 x(2)y7x (3)2 解析(1)指数函数y(1 2) x 的底数为 1 2， 它的反函数为对数函数ylog 2 1 x. (2)对数函数ylog7x 的底数为7. 它的反
8、函数为指数函数y7x. (3)函数 ylogax(a0，且 a1)的反函数是yax(a0，且 a1)， 又 点(4,16)在函数 yax(a0，且 a1)的图象上 . 16a4，a2. 反思与感悟1.同底的对数函数与指数函数互为反函数. 2.互为反函数的两个函数图象关于直线yx 对称 . 跟踪训练5点(2,4)在函数 f(x)logax 的反函数的图象上，则 f(1 2)等于 ( ) A. 2 B.2 C.1 D.1 答案C 解析因为点 (2,4)在函数 f(x)logax 的反函数图象上， 所以点 (4,2)在函数 f(x) logax 的图象 上，所以2loga4，即 a24，得 a2，所
9、以 f(1 2)log 21 2 1. 求解对数函数定义域考虑不全致误 例 6求函数 ylog(x1)(164x)的定义域 . 错解由 164x0，解得 x0， x10， x11， 得 x 1， x0， 1x0， 2x40， 2x41， 解得 2x5 2或 5 2x5， 函数 f(x)的定义域为 (2，5 2) ( 5 2， 5). 1.下列函数是对数函数的是() A.yloga(2x) B.ylog22 x C.ylog2x 1 D.ylg x 答案D 解析选项 A、B、C 中的函数都不具有“ylogax(a0 且 a1)”的形式，只有 D 选项符 合. 2.函数 f(x) 1 1x lg(
10、3x1)的定义域是 () A.( 1 3， ) B.(， 1 3) C.( 1 3， 1 3) D.( 1 3 ，1) 答案D 解析由 1x0， 3x 10， 可得 1 3x1. 3.函数 yax与 y logax(a0，且 a1)在同一坐标系中的图象形状可能是() 答案A 解析函数 y logax 恒过定点 (1,0)，排除 B 项；当 a1 时， yax是增函数， y logax 是减函数，当0a0 x0 得，函数定义域为0,1). 5.函数 y|lg(x 1)|的图象是 () 答案A 6.已知函数f(x) log2x，x0， 3 x，x0， 则 ff(1 4)等于 ( ) A. 1 9
11、B. 1 9 C.9 D.9 答案B 解析 1 40，f( 1 4)log 21 4 2， ff(1 4)f(2)3 21 9. 二、填空题 7.已知 f(x)为对数函数， f(1 2) 2，则 f( 3 4)_. 答案 4 3 解析设 f(x)logax(a0，且 a1)， 则 loga1 2 2， 1 a2 1 2，即 a 2， f(x)log 2 x， f( 3 4)log 2 3 4log2( 3 4) 2log22 4 3 4 3. 8.函数 ylog(2x1)(34x)的定义域是 _. 答案x|1 2x0， 2x11， 34x0， 即 x1 2， x1， x3 4， 解得 1 2x 3 4. 所以函数的定义域为x|1 2x0，a1， 而 t 在 x1,2 上必须恒大于0. 3a0， 32a0. 1a0 的解集为 ( ，1)(3， )， 得 2a13，所以 a2，即实数a 的值为 2. (2)因为函数f(x)的值域为 (， 1， 则 f(x)max 1， 所以 y x2 2ax3 的最小值为ymin2， 由 yx22ax3(xa)23a2， 得 3a2 2， 所以 a21，所以 a 1. (3)f(x)在(，1上为增函数，则yx22ax3 在( ，1上为减函数，且 y0， 所以 a1， 12a30， 即 a1， a2， 故 1a2. 所以实数a 的取值范围是1,2).
