分数百分数应用题典型解法的整理和复习

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1、分数( 百分数 )应用题典型解法的整理和复习 分数（百分数）应用题是小学数学应用题的主要内容之一，它是整、小数倍数关系应 用题的继续和深化， 是研究数量之间份数关系的典型应用题。分数应用题涉及的知识面广， 题目变化的形式多，解题的思路宽，既有独特的思维模式，又有基本的解题思路。小学即 将毕业阶段，如何通过分数（百分数）应用题方法的复习，让孩子们掌握一些基本解题方 法，感悟数学的基本思想，从而达到培养初步的逻辑思维能力和运用所学知识解决实际问 题能力之目的，笔者根据长期的教学实践和体会，总结出以下一些典型方法，以飨读者。 一、数形结合思想 数形结合是研究数学问题的重要思想，画线段图能将题目中抽象

2、的数量关系，直观形 象地表示出来，进行分析、推理和计算，从而降低解题难度。画线段图常常与其它解题方 法结合使用，可以说，它是学生弄清分数（百分数）应用题题意、分析其数量关系的基本 方法。 【例 1】一桶油第一次用去 5 1 ，第二次比第一次多用去20 千克，还剩下 22 千克。原 来这桶油有多少千克？ 分析与解 从图中可以清楚地看出：这桶油的千克数（1 5 1 5 1 ）=20+22 则这桶油的千克数为： （20+22）（ 1 5 1 5 1 ）=70（千克） 【例 2】一堆煤，第一次用去这堆煤的20%，第二次用去 290 千克，这时剩下的煤比 原来这堆煤的一半还多10 千克，求原来这堆煤共有

3、多少千克？ 分析与解 显然，这堆煤的千克数（120%50%）=290+10 则这堆煤的千克数为： （290+10）（ 120%50%）=1000（千克） 二、对应思想 量率对应是解答分数应用题的根本思想，量率对应是通过题中具体数量与抽象分率之 间的对应关系来分析问题和解决问题的思想。（量率对应常常和画线段图结合使用，效果 极佳。 ） 【例 3】缝纫机厂女职工占全厂职工人数的 20 7 ，比男职工少 144 人，缝纫机厂共有职 工多少人？ 分析与解 解题的关键是找到与具体数量144 人的相对应的分率。 从线段图上可以清楚地看出女职工占 20 7 ，男职工占 1 20 7 = 20 13 ，女职工

4、比男职工少 占全厂职工人数的 20 13 20 7 = 10 3 ，也就是 144 人与全厂人数的 10 3 相对应。全厂的人数为： 144（1 20 7 20 7 ）=480（人） 【例 4】菜农张大伯卖一批大白菜， 第一天卖出这批大白菜的 3 1 ，第二天卖出余下的 5 2 ， 这时还剩下 240 千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？ 分析与解 从线段图上可以清楚地看出240 千克的对应分率是第一天卖出 3 1 后余下的（ 1 5 2 ） 。 则第一天卖出后余下的大白菜千克数为： 240（1 5 2 ）=400（千克） 同理 400 千克的对应分率为这批大白菜的（1 3 1 ） ，则这

5、批大白菜的千克数为： 400（1 3 1 ）=600（千克） 三、转化思想 转化是解决数学问题的重要手段，可以这样说，任何一个解题过程都离不开转化。它 是把某一个数学问题，通过适当的变化转化成另一个数学问题来进行思考、求解，从而实 现从繁到简、由难到易的转化。复杂的分数应用题，常常含有几个不同的单位“1” ，根据 题目的具体情况，将不同的单位“1”转化成统一的单位“ 1” ，使隐蔽的数量关系明朗化。 1、从分数的意义出发，把分数变成份数进行“率”的转化 【例 5】男生人数是女生人数的 5 4 ，男生人数是学生总人数的几分之几？ 分析与解 男生人数是女生的 5 4 ，是将女生人数看作单位“1”

6、，平均分成5 份，男生是这样的4 份，学生总人数为这样的（4+5）份，求男生人数是学生总人数的几分之几？就是求4 份 是（4+5）份的几分之几？ 4（4+5）= 9 4 【例 6】兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的 5 4 ，若弟给兄 4 元，则弟 的钱数是兄的 3 2 ，求兄弟两人原来各有多少元？ 分析与解 兄弟两人的总钱数是不变量， 把它看作单位“1” ， 原来弟的钱数占两人总钱数的 54 4 ， 后来弟的钱数占两人总钱数的 32 2 ，则两人的总钱数为： 4（ 54 4 32 2 ）=90（元） 弟原来的钱数为： 90 54 4 =40（元） 兄原来的钱数为： 9040=50（

7、元） 2、直接运用分率计算进行“率”的转化 【例 7】甲是乙的 3 2 ，乙是丙的 5 4 ，甲是丙的的几分之几？ 分析与解 甲是乙的 3 2 ，乙是丙的 5 4 ，求甲是丙的的几分之几？就是求 5 4 的 3 2 是多少？ 5 4 3 2 = 15 8 【例 8】某工厂计划一月份生产一批零件，由于改进生产工艺，结果上半月生产了计 划的 5 3 ，下半月比上半月多生产了 5 1 ，这样全月实际生产了1980 个零件，一月份计划生产 多少个？ 分析与解 5 1 是以上半月的产量为“ 1” ，下半月比上半月多生产 5 1 ，即下半月生产了计划的 5 3 （1+ 5 1 ）= 25 18 。则计划的

8、（ 5 3 + 25 18 ）为 1980个，计划生产个数为： 1980 5 3 + 5 3 （1+ 5 1 ）=1500（个） 3、通过恒等变形，进行“率”的转化 【例 9】甲的 5 4 等于乙的 7 3 ，甲是乙的几分之几？ 分析与解 由条件可得等式：甲 5 4 =乙 7 3 方法 1：等式两边同除以 5 4 得：甲 5 4 =乙 7 3 5 4 甲=乙 25 18 方法 2：根据比例的基本性质得：甲乙= 7 3 5 4 化简得：甲乙 =15：28 即甲是乙的 25 18 。 【例 10】五（ 2）班有学生 54 人，男生人数的 75%和女生人数的 80%都参加了课外兴 趣小组，而未参加课

9、外兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班男、女生各有多少人？ 分析与解 由条件可得等式： 男生人数（ 175%）= 女生人数（ 180%） 男生人数女生人数 =4：5 就是男生人数是女生人数的 5 4 。 女生人数： 54（1+ 5 4 ）=30（人） 男生人数： 5430=24（人） 四、变中求定的解题思想 分数（百分数）应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数量的变化，往往引 起另一个数量的变化，但总存在着不变量。解题时要善于抓住不变量为单位“1” ，问题就 会迎刃而解。 1、部分量不变 【例 11】有两种糖放在一起，其中软糖占 20 9 ，再放入 16 块硬糖以后，软糖占两种糖 总数

10、的 4 1 ，求软糖有多少块？ 分析与解 根据题意，硬糖块数、两种糖的总块数都发生变化，但软糖块数不变，可以确定软糖 块数为单位“ 1” ，则原来硬糖块数是软糖块数的（1 20 9 ） 20 9 = 9 11 倍。加入 16 块硬糖 以后，后来硬糖块数是软糖块数的（1 4 1 ） 4 1 =3 倍，这样 16块硬糖相当于软糖的3 9 11 = 9 16 倍，从而求出软糖的块数。 16（1 4 1 ） 4 1 （1 20 9 ） 20 9 =9（块） 2、和不变 【例 12】小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的 8 1 ，后来他又 读了 20 页，这时已读的页数是剩下页数的 6

11、 1 ，这本课外读物共有多少页？ 分析与解 根据题意，已读页数和未读页数都发生了变化，但这本书的总页数不变，可把总页数 看作单位“ 1” ，原来已读页数占总页数的 81 1 ，又读了 20 页后，这时已读页数占总页数 的 61 1 ，这 20 页占这本书总页数的（ 61 1 81 1 ） ，则这本课外读物的页数为： 20（ 61 1 81 1 ）=630（页） 【例 13】兄弟三人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的 2 1 ，老二出的钱 是其他两人出钱总数的 3 1 ，老三比老二多出 400 元。问这台彩电多少钱？ 分析与解 从字面上看 2 1 和 3 1 的单位“1”都是其他两人出

12、钱的总数，但含义是不同的， 2 1 是以老 二和老三出钱的总数为单位“1” ， 3 1 是以老大和老三出钱的总数为单位“1” 。但三人出钱 的总数（彩电价格）是不变的，把它确定为单位“1” ， 老大出的钱数相当于彩电价格的 21 1 ， 老二出的钱相当于彩电价格的 31 1 ，老三出的钱数相当于彩电价格的1 21 1 31 1 = 12 5 ，400元相当于彩电价格的 12 5 31 1 = 6 1 。这台彩电的价格为： 400（1 21 1 31 1 31 1 ）=2400（元） 五、假设思想 假设思想是一种重要的数学思想，常用有推测性假设法和冲突式假设法。 1、推测性假设法 推测性假设法是

13、通过假定，再按照题的条件进行推理，然后调整设定内容，从而得到 正确答案。 【例 14】 一条公路修了 1000米后， 剩下部分比全长的 5 3 少 200 米， 这条公路全长多少米？ 分析与解 由题意知，假设少修200 米，也就是修 1000200=800（米） ，那么剩下部分正好是全 长的 5 3 ，因此已修的 800 米占全长的（ 1 5 3 ） ，所以这条公路全长为： （1000200）（ 1 5 3 ）=2000（米） 2、冲突式假设法 冲突式假设法是解应用题中常用的一种思维方法。通过对某种量的大胆假设，再依照 已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾冲突，进行比较，作适当调整，从而找到

14、正确 答案的方法。 【例 15】甲、乙两班共有96 人，选出甲班人数的 4 1 和乙班人数的 5 1 ，组成 22 人的数 学兴趣小组，问甲、乙两班原来各有多少人？ 分析与解 假设两班都选出 4 1 ，则选出 96 4 1 =24（人） ，假设比实际多选出2422=2（人） 。 调整：这是因为把选出乙班人数的 5 1 假设为选出 4 1 ，多算了 4 1 5 1 = 20 1 ，由此可先算 出乙班原来的人数。 （96 4 1 22）（ 4 1 5 1 ）=40（人） 甲班原来的人数：9640=56（人） 【例 16】某书店出售一种挂历，每售出1 本可得 18 元利润。售出一部分后每本减价 10

15、 元出售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的 3 2 。书店售完这 种挂历共获利润 2870 元。书店共售出这种挂历多少本？ 分析与解 根据减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的 3 2 ，我们假设减价前出售的挂历为 3 本，减价出售的挂历为2 本，则售出这 2+3=5（本）挂历所获的利润为： 183+（1810）2=70（元） 这与实际共获利润2870 元相矛盾，这是什么原因造成的呢？ 调整：这是因为把出售的挂历假设为5 本，根据实际共获利润是假设所获利润的2870 70=41倍，实际共售出挂历的本数也应该是假设5 本的 41 倍。即 541=205（本） 六、用方程解

16、应用题思想 在用算术方法解应用题时， 数量关系比较复杂， 特别是逆向思考的应用题， 往往棘手， 而这些的应用题用列方程解答则简单易行。列方程解应用题一开始就用字母表示未知量， 使它与已知量处于同等地位，同时运算，组成等式，然后解答出未知数的值。列方程解应 用题的关键是根据题中已知条件找出的等量关系，再根据等量关系列出方程。 【例 17】某工厂第一车间人数比第二车间的 5 4 多 16 人，如果从第二车间调40 人到第 一车间，这时两个车间的人数正好相等，原来两个车间各有多少人？ 分析与解 根据题意，有如下数量关系： 第一车间人数 +40人=第二车间人数 40人 解：设第二车间有X 人。 5 4 X+16+40=X40 解得：X=480 第一车间人数为： 5 4 X+16= 5 4 480+16=400（人） 【例 18】老师买来一些本子和铅笔作奖品，已知本子本数与铅笔支数的比是43，每 位竞赛获奖的同学奖8 本本子和 5 支铅笔，奖了 7 位同学后，剩下的本子