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1、专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 李梁 北京市西城区教育研修学院 函数是中学数学中的重点内容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型. 本专题内容由四部分构成：关于函数内容的深层理解；函数概念与性质的教学建议； 学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析. 研究函数问题通常有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体 的基本初等函数二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以 下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等. 一、关于函数内容的深层理解 （一）函数概念的发展史简述 数学史角度：早期函数概念（Descarte
2、s，15961650 引入坐标系创立解析几 何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）几何角度；Newton，1642 1727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz，1646,1716 引入常量、变量、参变量等概念；Euler 引入函数符号 个解析表达式代数角度；Dirichlet，18051859 提出,，并称变量的函数是一 是 与之间的一种对,应的观点对应关系角度 ；Hausdorff 在集合论纲要中用“序偶”来定义函数集合论 角度. Dirichlet：认为怎样去建立 与 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出： “对于在某区间上的
3、每一个确定的 值， 都有一个确定的值，那么 叫做 的函数.”这 种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定 义）. Veblen，18801960 用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概 念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变 量可以是数，也可以是其它对象. （二）初高中函数概念的区别与联系,1,初中函数概念： 设在某个变化过程中有两个变量，如果对于 在某个范围内的每一个值，都有 唯一的值与它对应，我们就说是 的函数， 叫自变量，叫 的函数. 高中函数概念： 设 A，B 是两个非空集合，如果按照某
4、种对应法则 f，对 A 中的任意一个元素 x， 在 B 中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射.记作 ， 其中 叫原象， 叫象. 设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一 确定的数 y 与它对应，则这种映射叫做集合 A 上的一个函数.记作. 其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 A）叫做这个函数的定义域.所有函数值 构成的集合叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完 全确定. 函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素 都有原象. 构成函数的三要素：定义城，值域和
5、对应法则，其中定义域和对应法则是核心. （三）函数在整个数学知识体系中的地位及作用 函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射； 函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅 对前面学习的集合知识做了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、 不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现 实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛 渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础. （四）函数的概念与性质结构框图,2,3,（五）函数的概念
6、与性质教学重点和难点 教学重点： 1函数的概念 函数的基本性质 基本初等函数的图象和性质 教学难点：,函数概念的理解 对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握 运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题 二、函数概念与性质的教学建议： （一）如何深入把握函数的概念？ 1映射与函数的教学建议： 教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导， 师生共同研讨的方式来学习. 在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析： 例 1：设集合和都是自然数集合. 映射把集合中的元素 映射到 集合中的元素, 则在映射作用下, 2 的象是 ；20 的原象是 .,.,分析：由已知，在映射作
7、用下 的象为 所以，2 的象是；,设象 20 的原象为 ，则 的象为 20，即,.,由于，随着 的增大而增大，又，所以 20 的原象是 4. 这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的 象与原象. 能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对 于函数 性质的探究，具有一定的综合程度. 二、函数概念与性质的教学建议： （一）如何深入把握函数的概念？ 1映射与函数的教学建议：,4,教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导， 师生共同研讨的方式来学习. 在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析： 例 1：设
8、集合和都是自然数集合. 映射把集合中的元素 映射到 集合中的元素, 则在映射作用下, 2 的象是 ；20 的原象是 .,.,分析：由已知，在映射作用下 的象为 所以，2 的象是；,设象 20 的原象为 ，则 的象为 20，即. 由于，随着 的增大而增大，又，所以 20 的原象是 4. 这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的 象与原象. 能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对 于函数 性质的探究，具有一定的综合程度. 2函数的定义域问题： 确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确 自变量的取值集
9、合.教学中，教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题： 例 2：求下列函数的定义域：,（1）,；,（2）,；,（3）,；,（4）,；,解：（1）由,，得,，所以,或,，所以,或,.,5,.,所以，所求函数的定义域为 （2）由得，,或,.,所以，所求函数的定义域为,.,（3）由,得,，且,，,，,所以，所求函数的定义域为,（4）由,得,即,所以,.,所以，所求函数定义域为. 例 3：如图，用长为 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长 为，求此框架围成的面积 与 的函数关系式，并指出定义域.,解:根据题意,.,弧长为，所以,.,所以，,.,根据问题的实际意义.,.,
10、解,得,.,所以，所求函数定义域为. 上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.,6,（1）给出函数解析式求定义域（如例 2），这类问题就是求使解析式有意义的自变量 的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的. 中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有： 分式中分母不为零； 偶次方根下被开方数非负； 零次幂的底数要求不为零； 对数中的真数大于零，底数大于零且不等于 1；,，则. （2）在实际问题中求函数的定义域（如例 3）. 在这类问题中除了考虑解析式对自变 量的限制 , 还应考虑实际问题对自变量的限制. 另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是
11、极其重要的.比如在研 究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域. 3函数的对应法则问题： 确定函数的对应法则（即求函数的解析式）是有关函数概念中的重要问题，教学中教 师可以设置如下相关题组，和学生共同解决.,例 4：（1）已知,，求,的解析式；,（2）已知,，求,的值；,为二次函数，,，并且当,时，,取得最小值，求,（3）如果 的解析式；,与函数,的图象关于直线,对称，求,的,（4）已知函数 解析式.,分析：（1）求函数的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一 般有下面两种方法解决（1）这样的问题.,7,方法一：,. 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到
12、,法则是“原象对应于原象除以原象的平方减 1”.所以，,.,.,方法二：设,则.则，所以 这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.,（2）用“凑型”的方法，,.所以,，,.,（3）因为,为二次函数，并且当,时，,取得最小值，,所以，可设,，,又,，所以,，所以,.,.,的解析式. 所,（4）这个问题相当于已知的图象满足一定的条件，进而求函数 以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求的解析式.,设,对称点的坐标为,的图象上任意一点坐标为 ，由已知，点在函数,，则关于 的图象上，,所以，点的坐标,满足,的解析式，即,，,所以，. 由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有像（1）（2
13、）所用到的“凑形” 及“换元”的方法；有像（3）所用到的待定系数法；也有像（4）所用到的解析法.,8,值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用 这种方法，是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系. （二）教学中如何突出函数性质的本质？ 函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与 函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用. 这部分内容常用到 数形结合的思想方法. 1关于基本概念的理解：,（1）设函数,，,且,的定义域为，如果对于内的任意一个 ，都有 ，则这个函数叫做奇函数.,设函
14、数,，且,的定义域为，如果对于内任意一个 ，都有 ，则这个函数叫做偶函数.,与点,都在其,由奇函数定义可知，对于奇函数，点 图象上.又点与点关于原点对称，我们可以得到：,奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到， 偶函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形.,如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上 具有单调性，区间称为单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.,，如果存在一个不为零的常数，使得当 取定义域中 都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的,（3）一般地，对于函数 的每一个值时， 常数叫做这个函数的
15、周期.,9,（4）一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域中 的每一个值时，都成立，则函数的图象关于直线对称. 这四个概念都比较抽象，建议讲述相关概念时采用数形结合的手段，不断揭示概念的 几何背景，进而完善学生对概念的认识. 2关于函数的奇偶性问题： 对于函数的奇偶性，要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组： 例 1：判断下列函数的奇偶性.,（1）,； （2）,； （3）,；,（4）,； （5）,.,或,，关于原点不对称，,解：（1）解，得到函数的定义域为 所以此函数为非奇非偶函数.,，但是，由于,，,，,（2）函数的定义域为 即，且,，,所以此函数为非奇非偶函数.,，,10,（5）函数的定义域为，又,，,所以此函数为奇函数. 通过本例及函数奇偶性的定义，进一步可以得到下面几个结论： 一个函数是奇（或偶）函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；,是奇函数，并且,在,时有定义，则必有,；, 既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为,，等.,判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： 判断函数的定义域是否关于原点对称； 考察与的关系. 由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶 函数四类.,例 2：已知,为奇函数，当,时，,，,
