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1、第二章二次函数 2.1 二次函数 1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.( 重点 ) 2. 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.( 重难点 ) 阅读教材P2930，完成预习内容. ( 一) 知识探究 一般地，形如yax 2bx c(a ，b，c 是常数，且 a0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数 和常数项分别为a、b、c. ( 二) 自学反馈 1. 下列函数中，不是二次函数的是(D) A.y 12x 2 B.y (x 1) 21 C.y 1 2(x 1)(x 1) D.y (x 2) 2x2 判断二次函数要紧扣二次函数的定义. 2. 一个圆柱
2、的高等于底面半径，则它的表面积S与半径 r 之间的关系式是S表4r 2. 活动 1 小组讨论 例 1 若 y(b 1)x 23 是二次函数，则 b 的取值范围是b1. 二次项系数不为0. 例 2 一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为 (x 1)cm 的小长方形，剩余部分的面积 为 y cm 2. (1) 写出 y 与 x 之间的关系表达式，并指出y 是 x 的什么函数？ (2) 当小长方形中x 的值分别为2 和 4 时，相应的剩余部分的面积是什么？ 解： (1)y 12 22x(x 1) ，即 y 2x2 2x144. y 是 x 的二次函数 . (2) 当 x 2
3、 和 4 时，相应的y 的值分别为132 和 104. 相应的剩余部分的面积分别是132 和 104. 几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x 的代数式表示出来. 活动 2 跟踪训练 1. 如果函数y(k 2)xk 2 2是 y 关于 x 的二次函数，则 k 的值为多少？ 解： k2 不要忽视k20. 2. 如图， 用一段长为30 米的篱笆围成一个一边靠墙( 墙的长度不限) 的矩形菜园ABCD ，设 AB边长为 x 米，则菜 园的面积y(m 2) 与 x(m) 的函数关系式为 y 1 2x 215x( 不要求写出自变量 x 的取值范围 ). 3. 已知，函数y(m1)xm 2 3m
4、2(m1)x(m 是常数 ). (1)m 为何值时，它是二次函数？ (2)m 为何值时，它是一次函数？ 注意要分情况讨论. 解： (1)m4. (2)m 1 或 m 317 2 或 m 321 2 . 活动 3 课堂小结 学生试述：这节课你学到了些什么？ 2.2 二次函数的图象与性质 第 1 课时二次函数yax 2 的图象与性质 1. 能够用描点法作出函数yax 2 的图象，并能根据图象认识和理解其性质.( 重难点 ) 2. 初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化. 阅读教材P3235，完成预习内容. ( 一) 知识探究 一般地，抛物线y ax 2 的对称轴是y 轴，顶点
5、是 (0，0) ，当 a0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低 点， a 越大，抛物线的开口越小；当a0，即 m 2. 只能取m 2. 这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0 ，0) ， 当 x0 时， y 随 x 的增大而增大. (3) 若函数有最大值，则抛物线开口向下， m 20，即 m0 时， y 随 x 的增大而减小. 要结合图象来分析完成此题. 活 动 2 跟踪训练 1. 二次函数y2x 2，当 x 1x20，则 y1与 y2的关系是y1y2. 要结合图象分析解题. 2. 当 m 2 时，抛物线y(m1)xm 2m开口向下，对称轴为 y 轴，当 x0 时， y 随 x 的增大而
6、减小. 二次项系数a 是决定开口方向和开口大小的，同时根据开口方向也可以判断a 的正负 . 3. 已知函数yax 2 经过点 (1 ，2). (1) 求 a 的值； (2) 当 x0 时， y 的值随 x 值的增大而变化的情况. 解： (1)a 2； (2) 当 x0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的 最低点；当a0) 有什么关系？ 解：抛物线y ax 2c 与 yax2 的形状完全相同，只是位置不同. 抛物线yax 2 向上平移 c个单位 yax 2 c，抛物线 y ax 2 向下平移 c个单位 yax 2c. 活动 2 跟踪训练 1. 函数 yax 2a 与 yaxa(a 0) 在同一
7、坐标系中的图象可能是 (D) 2. 二次函数y 2x 26 图象的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0 ， 6) ，当 x0 时，表明将抛物线yax 2 向 右平移 h 个单位；当k0 时，开口向上，此时二次函数 有最小值，当xh 时， y 随 x 的增大而增大，当xh 时， y 随 x 的增大而减小；当a1 时，函 数值 y 随自变量x 的值的增大而减小. 活动 1 小组讨论 例 1填写下表： 解析式开口方向对称轴顶点坐标 y 5x 2 向下y 轴(0 ， 0) y1 2x 25 向上y 轴(0 ， 5) y 3(x 4) 2 向下直线 x 4 ( 4，0) y4(x 2) 27 向上直线 x
8、2 ( 2， 7) 例 2 已知抛物线y a(x h) 2k，将它沿 x 轴向右平移3 个单位后，又沿y 轴向下平移2 个单位，得到抛物 线的解析式为y 3(x 1) 2 4，求原抛物线的解析式. 解：抛物线y 3(x 1) 24 的顶点坐标为 ( 1，4) ，它是由原抛物线向右平移3 个单位，向下平移2 个单 位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为( 4， 2). 故原抛物线的解析式为y 3(x 4) 22. 抛物线平移不改变形状及大小，所以a 值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化. 活动 2 跟踪训练 1. 将抛物线y 3x 2 向右平移2 个单位，再向上平移5
9、 个单位，得到的抛物线解析式是y 3(x 2) 25. 抛物线的移动主要看顶点位置的移动. 2. 若直线 y3xm经过第一、三、四象限，则抛物线y(x m) 21 的顶点必在第二象限 . 此题为一次函数与二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别. 3. 已知 A(1，y1) 、B( 1 2，y 2) 、C(2，y3)在函数 y a(x 1) 2k(a0) 的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是 y1y3y2. 活动 3 课堂小结 1. 本节所学的知识：二次函数y a(x h) 2k 的图象画法及其性质的总结；平移的规律 . 2. 所用的思想方法：从特殊到一般. 第 4 课时二次函
10、数yax 2 bxc 的图象与性质 1. 会用描点法画二次函数yax 2bxc 的图象 .( 重点 ) 2. 会用配方法求抛物线yax 2bxc 的顶点坐标、开口方向、对称轴、 y 随 x 的增减性 .( 重难点 ) 3. 能通过配方求出二次函数yax 2bx c(a 0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最 大值或最小值 .( 重难点 ) 阅读教材P3940，完成预习内容. ( 一) 知识探究 用配方法将yax 2bxc 化成 y a(x h)2k 的形式，则 h b 2a，k 4acb 2 4a . 则二次函数yax 2bxc 的图象的顶点坐标是( b 2a ，4ac b
11、2 4a ) ，对称轴是直线x b 2a，当 x b 2a时，二次函数 y ax 2bx c 有最大 ( 最 小) 值，当 a0 时，函数y 有最小值，当a0 时，函数y 有最大值 . ( 二) 自学反馈 求二次函数y2x 24x1 顶点的坐标，对称轴，最值，并画出其函数图象 . 解：顶点坐标为( 1， 3) ，对称轴是直线x 1，当 x 1 时， y 有最小值 3，图略 . 先将此函数表达式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出 的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征. 活动 1 小组讨论 例将下列二次函数写成ya(x h) 2 k 的形式，并写出其开口方向，顶
12、点坐标，对称轴. (1)y 1 2x 26x21；(2)y 2x2 12x22. 解： (1)y 1 2x 26x211 2 (x 212x) 211 2(x 212x 3636) 211 2(x 6) 23. 此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6 ，3) ，对称轴是直线x 6. 来源:Z+xx+k.Com (2)y 2x 212x22 2(x26x) 22 2(x26x99) 22 2(x 3)24. 此抛物线的开口向下，顶点坐标为( 3， 4) ，对称轴是直线x 3. 第(2) 小题注意h值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶 点坐标也可以根据公式直接求解.
13、 活动 2 跟踪训练 1. 抛物线 y x 2 4x7 的开口方向是向下，对称轴是 x2，顶点坐标是(2， 3). 当 x 2 时，函数y 有最 大值，其值为3. 2. 已知二次函数yax 22x c(a 0)有最大值，且 ac4，则二次函数的顶点在第四象限. 用顶点公式来解答. 活动 3 课堂小结 学生试述：这节课你学到了些什么？ 2.3 确定二次函数的表达式 第 1 课时由两点确定二次函数的表达式 1. 掌握用待定系数法列方程组求二次函数表达式.( 重点 ) 2. 掌握用“顶点式”求二次函数表达式.( 重点 ) 阅读教材P4243，完成预习内容. ( 一) 知识探究 1. 已知二次函数ya
14、x 2bx c 中一项系数，再知道图象上两点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式 . 2. 二次函数yax 2bxc 可化成： ya(x h)2k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另 一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. ( 二) 自学反馈 1. 抛物线 y 2x 22x2 的顶点坐标是 ( 1 2， 5 2). 2. 如图所示的抛物线是二次函数yax 23xa2 1 的图象，那么 a 的值是 1. 可根据图象经过原点求出a 的值，再考虑开口方向. 3. 已知抛物线顶点坐标为(2 ， 1) ，且当 x0 时， y 3，则抛物线的解析式为y x 24x3. 活动
15、 1 小组讨论 例已知二次函数yax 2 c 的图象经过点 (2 ，3) 和( 1， 3) ，求这个二次函数的表达式. 解：将点 (2 ， 3)和( 1， 3) 的坐标分别代入表达式yax 2c，得 34ac， 3ac. 解得 a2， c 5. 所以，所求二次函数表达式y2x 25. 活动 2 跟踪训练 1. 如图，已知二次函数y 1 2x 2bxc 的图象经过点 A(2，0) ，B(0， 6) 两点，求这个二次函数的表达式. 解： y 1 2x 24x6. 2. 已知一个二次函数的图象的顶点是( 1，2) ，且过点 (0 ，3 2) ，求这个二次函数的表达式及与 x 轴交点的坐标 . 解：表
16、达式为y 1 2x 2x3 2，与 x 轴交点坐标为 ( 3，0) 、(1，0). 此题只告诉了两个点的坐标，但其中一点为顶点坐标，所以表达式可设顶点式：ya(x h) 2k， 即可得到一个关于字母a 的一元一次方程，再把另一点代入即可求出待定系数. 在设表达式时注意h 的符号 .关于其 图象与 x 的交点，即当y0 时，解关于x 的一元二次方程. 活动 3 课堂小结 利用待定系数法求二次函数的表达式，需要根据已知点的情况设适当形式的表达式，可以使解题过程变得更简 单. 第 2 课时由三点确定二次函数的表达式 1. 掌握用“三点式”列方程组求二次函数表达式.( 重点 ) 2. 掌握用“交点式”求二次函数表达式.( 难点 ) 阅读教材P4445，完成预习内容. ( 一) 知识探究 1. 已知二次函数yax 2bx c 图象上的三个点，可以确定
