《人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 点、直线、圆与圆的位置关系_知识点 +例题 +练习 1. 点和圆的位置关系 2.（1）点与圆的位置关系有3 种设 O 的半径为r，点 P 到圆心的距离OP=d ，则有： 3.点 P 在圆外 ? dr 4.点 P 在圆上 ? d=r 5.点 P 在圆内 ? dr 6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径 的关系可以确定该点与圆的位置关系 7.（3）符号“ ? ”读作“等价于”，它表示从符号“? ”的左端可以得到右端，从右端也 可以得到左端 2. 确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆 注意： 这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上
2、的三个点，而在同一直线 上的三个点不能画一个圆“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的 三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线 上的三点能画且只能画一个圆 3.三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆 （2）（ 2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的 外心 （3）（ 3）概念说明： （4）“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点 （5）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部 （6）找
3、一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的 外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个 4.反证法 (了解 ) （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间 接证法 反证法主要适合的证明类型有：命题的结论是否定型的命题的结论是无限型 的命题的结论是“至多”或“至少”型的 （2）（ 2）反证法的一般步骤是： （3）假设命题的结论不成立； （4）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （5）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确 5.直线和圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： 相离：一条直线和圆没有公共点 相切：
4、一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯 一的公共点叫切点 相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线 （2）判断直线和圆的位置关系：设O 的半径为r，圆心 O 到直线 l 的距离为d 2 直线 l 和 O 相交 ? dr 直线 l 和 O 相切 ? d=r 直线 l 和 O 相离 ? dr 6.切线的性质 （1）切线的性质 （2）圆的切线垂直于经过切点的半径 （3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 （4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 （5）（ 2）切线的性质可总结如下： （6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两
5、个，那么它一定满足第三个条件，这三个 条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直 （7）（ 3）切线性质的运用 （8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简 记作：见切点，连半径，见垂直 7.切线的判定 8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 9.（2）在应用判定定理时注意： 10.切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的 切线 11.切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结 论直接得出来的 12.在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直
6、线和圆是否有公共点时， 常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段， 证半径”； 当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该 半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直” 8.切线的判定与性质 （1）切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （3）常见的辅助线的： 判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”
7、 9.切线长定理 （1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长 （2）（ 2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点 的连线，平分两条切线的夹角 （3）（ 3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线 段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量 （4）（ 4）切线长定理包含着一些隐含结论： （5）垂直关系三处； （6）全等关系三对； 3 （7）弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到 10.三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内
8、切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点 （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形 （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角 11.圆与圆的五种位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：外离；外切；相交；内切；内含 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离 当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离， 当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含， 两圆同心是内含的一个特例；如果两 个圆有一个公共点，叫两个圆相切， 相切分为内切、
9、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫 两个圆相交 （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：两圆外离? d R+r； 两圆外切 ? d=R+r ； 两圆相交 ? R-r dR+r （Rr）； 两圆内切 ? d=R-r （Rr）； 两圆内含 ? dR-r（Rr） 12.相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便 13.相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： （2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦 （3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系 （4）（2）两圆的公切线性质：
10、 （5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等 （6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上 4. 判断圆的切线的方法及应用 判断圆的切线的方法有三种： （ 1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线； （ 2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线； （ 3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【例 4】 如图， O的直径 AB=4 ， ABC=30 ， BC=34，D是线段 BC的中点 . （1）试判断点D与 O的位置关系，并说明理由. （2）过点 D作 DE AC ，垂足为点E，求证：直线DE是 O的切线 . 【例 5】 如图
11、，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心， OA的长为 半径的 O与 BC相切于 M ，与 AB 、AD分别相交于E、F，求证 CD与 O相切 . 【例 6】 如图，半圆O为 ABC的外接半圆， AC为直径， D为劣弧上一动点， P 4 在 CB的延长线上，且有BAP= BDA.求证： AP是半圆 O的切线 . 【知识梳理】 1. 直线与圆的位置关系： 2. 切线的定义和性质： 3.三角形与圆的特殊位置关系： 4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为 21,r r） 相交 2121 rrdrr；外切 21 rrd； 内切 21 rrd；外离 21 rrd；内含 21 0rr
12、d 【注意点】 与圆的切线长有关的计算 【例题精讲】 例 1.O 的半径是6，点 O 到直线 a的距离为5，则直线 a 与 O 的位置关系为 （） A相离B相切C相交D内含 例 2. 如图1， O 内切于ABC，切点分别为DEF， ，50B， 60C，连结OEOFDEDF， 则EDF等于（） A40B55C65D70 例 3. 如图，已知直线L 和直线 L 外两定点A、B，且 A、B 到直线 L 的距离相 等，则经过A、B 两点且圆心在L 上的圆有（） A0 个B1 个C无数个D0 个或 1 个或无数个 例 4已知 O1半径为 3cm，O2半径为 4cm，并且 O1与 O2相切，则这两 个圆的
13、圆心距为 （）A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或 7cm 例 5两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例 6两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足 _ _?时， ?两圆相交； ? 当 d?满足 _ _时，两圆不外离 例 7 O 半径为 6.5cm，点 P 为直线 L 上一点，且OP=6.5cm，则直线与 O? 的位置关系是 _ 例 8如图， PA、 PB 分别与 O 相切于点A、B， O 的切线 EF 分别交 PA、 PB 于点 E、 F， 切点 C 在弧 AB 上， 若 PA 长为 2， 则 PEF 的周长是_ 例 9. 如图， M 与x轴相
14、交于点(2 0)A，(8 0)B，与y轴切于点C，则圆心 M的坐标是 例 10. 如图， 四边形 ABCD 内接于 A，AC 为 O 的直径， 弦 DB AC，垂足 为 M，过点 D 作 O 的切线交BA 的延长线于点E，若 AC=10 ，tanDAE= 4 3 ， 求 DB 的长 【当堂检测】 1.如果两圆半径分别为3 和 4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（） A相离B外切C内切D相交 2.A 和 B 相切，半径分别为8cm 和 2cm，则圆心距AB 为（） A10cm B6cm C 10cm 或 6cm D以上答案均不对 3.如图， P 是 O 的直径 CB 延长线上一点，PA 切 O
15、于点 A，如果 PA 3， PB1，那么 APC 等于（） A. 15B. 30C. 45D. 60 5 O O2O1 4. 如图， O 半径为 5，PC 切 O 于点 C，PO 交 O 于点 A，PA4，那么 PC 的长等于（） A）6 （B）25（C）210（D）214 5.如图，在10 6 的网格图中 (每个小正方形的边长均为1 个单位长 ) A 半径 为 2， B 半径为 1，需使 A 与静止的 B 相切，那么 A 由图示的位置向左 平移个单位长 . 6. 如图， O 为ABC 的内切圆，C90， AO 的延长线交BC 于点 D， AC 4，DC1，则 O 的半径等于（） A. 4 5
16、 B. 5 4 C. 4 3 D. 6 5 7.O 的半径为6， O 的一条弦AB 长 63，以 3 为半径 O 的同心圆与直 线 AB 的位置关系是( ) A. 相离B.相交C.相切D.不能确定 8.如图， 在ABC中，1202 3ABACABC， ，A与BC相切 于点D，且交ABAC、于MN、两点，则图中阴影部分的面积是（保 留） 9.如图， B 是线段 AC 上的一点，且AB ：AC=2 ：5，分别以 AB、AC 为直径画 圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_ 10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和 b 的两个圆，则剩下的纸板面积是_ 11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切若此三个圆的圆心围成的三 角形的周长为18cm则大圆的半径是_cm 12.如图，直线AB 切 O 于 C 点， D 是 O 上一点， EDC=30o，弦 EFAB， 连结 OC 交 EF 于 H 点，连结CF，且 CF=2，则 HE 的长为 _ 13
