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1、第 1 页 共 18 页 典型工程问题 工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。下面 列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要 的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。 工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一 种应用题。我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为 单位 “”， 因此工作效率就是工作时间的倒数。 它们的基本关系式是 ： 工作总量工作效率工作时间。 一、基本工程问题 例 1： 甲、乙两队开挖一条水渠。甲队单独挖要 8 天完成，乙队单独挖要 12 天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在 3 天
2、内完成。乙 队挖了多少天？ 例 2：加工一批零件，甲单独做 20 天可以完工，乙单独做 30 天可以完工。 现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了 2 .5 天，乙休息了若干天，这样 共 14 天完工。乙休息了几天？ 例 3：一池水，甲、乙两管同时开，5 小时灌满，乙、丙两管同时开，4 小 时灌满。现在先开乙管 6 小时，还需甲、丙两管同时开 2 小时才能灌满。乙单 独开几小时可以灌满？ 例 4：某工程，甲、乙合作 1 天可以完成全工程的。如果这项工程由甲 24 5 第 2 页 共 18 页 队单独做 2 天，再由乙队单独做 3 天，能完成全工程的。甲、乙两队单独 24 13 完成这项工程各
3、需要几天？ 例 5： 一项工程，甲先单独做 2 天，然后与乙合做 7 天，这样才能完成全工 程的一半。已知甲、乙工效的比是 2:3。如果这项工程由乙单独做，需要多少 天才能完成？ 例题详解： 例 1 解：可以理解为甲队先做 3 天后两队合挖的。 =3（天） 12 1 8 1 3 8 1 1 例 2 解：分析：共 14 天完工，说明甲做（142.5）天，其余是乙做的，用 14 天减去乙做的天数就是乙休息的天数。 14=1（天） 30 1 20 5 . 214 1 4 1 例 3 解：分析：把乙先开做 6 小时看作与甲做 2 小时，与丙做 2 小时，还有 2 小时，现在可理解为甲乙同开 2 小时，
4、乙丙同开 2 小时，剩下的是乙 2 小时放 的。1=20（小时） 22 4 1 5 1 1 例 4 解：分析：可以理解为两队合作 2 天，余下的是乙 1 天做的，乙的工效 ， 甲：=12（天） 8 1 2 24 5 24 13 8 1 24 5 1 例 5 解：分析：乙的工效是甲工效的 32=1.5 倍，设甲的工效为 x，乙的工效 第 3 页 共 18 页 为 1.5x， （2+7）x+1.5x7=，解之得：x=，乙工效 11.5x =26（天） 2 1 39 1 基本练习（附参考答案）： 1、修一条公路，甲队独修 15 天完工，乙队独修 12 天完工。两队合修 4 天 后，乙队调走，剩下的路
5、由甲队继续修完。甲队一共修了多少天？ 2、一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。甲、乙合做几天 后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了 16 天。乙请假多少天？ 3、一条公路由甲、乙两个筑路队合修要 12 天完成。现在由甲队修 3 天后， 再由乙队修 1 天，共修了这条公路的。如果这条公路由甲队单独修，要多 20 3 少天才能修完？ 4、两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出。快车行完全程需要 20 小时， 慢车行完全程需要 30 小时。开出后 15 小时两车相遇。已知快车中途停留 4 小 时，慢车停留了几小时？ 5、师徒两人共同加工一批零件，2 天加工了总数的。这
6、批零件如果全部 3 1 由师傅单独加工，需 10 天完成。如果全部由徒弟加工，需要多少天才能完成？ 6、一项工程，甲、乙两队合作 30 天完成。如果甲队单独做 24 天后，乙队 再加入合作，两队合作 12 天后，甲队因事离去，由乙队继续做了 15 天才完成。 这项工程如果由甲队单独完成，需要多少天？ 7、一项工程，甲、乙两队合做每天能完成全工程的。甲队独做 3 天， 40 9 第 4 页 共 18 页 乙队独做 5 天后，可完成全工程的。如果全工程由乙队单独做，多少天可以 8 7 完成？ 8、甲、乙两队合作，20 天完成一项工程。如果两队合作 8 天后，乙队再独 做 4 天，还剩下这项工程的。
7、甲、乙两队独做各需几天完成？ 15 8 9、一项工程，甲、队独做 10 天可以完成，乙队独做 30 天可以完成。现在 两队合作期间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天（两队不在同一天休息） 。从 开始到完工共用了多少天？ 10、 一项工程， 如甲队独做， 可 6 天完成。 甲 3 天的工作量， 乙要 4 天完成。 两队合做了 2 天后，由乙队单独做，乙队还需做多少天才能完成？ 参考答案 1、=10（天） 15 1 12 4 1 2、16=10（天） 30 1 16 20 1 1 3、1=120（天） 13 12 1 20 3 4、15=2（小时） 30 1 415 20 1 1 2 1 5、
8、1=15（天） 10 1 2 3 1 6、分析：甲先做 24 天，乙最后做 15 天，可以理解为又合做 15 天加先合 做 12 天，共合做 27 天。 =90（天） 152427 30 1 11 第 5 页 共 18 页 7、可理解为两队合做了 3 天。=10（天） 353 40 9 8 7 1 8、乙的工效=4 15 8 8 20 1 1 60 1 乙需的天数：1=60（天） 60 1 甲乙需的天数：1=30（天） 60 1 20 1 9、分析：可理解为甲多做 6 天。+8=11（天） 30 1 10 1 6 10 1 1 10、甲的工效，乙的工效， =3（天） 6 1 8 1 4 6 3
9、 8 1 2 8 1 6 1 1 3 1 二、工程问题的拓展题 例 1：某工程先由甲单独做 63 天，再由乙队独做 28 天即可以完成。如果 甲、乙两人合作，需 48 天完成，现在甲先独做 42 天，然后再由乙单独完成， 那么还需要多少天？ 例 2：一项工程，甲队单独做需 30 天完成，乙队单独做需 40 天完成。甲 队先做若干天后，由乙队接着做，共用 36 天完成任务。甲、乙两队各做了多 少天？ 例 3：搬运一个仓库的货物，甲需 10 小时，乙需 12 小时，丙需 15 小时。 第 6 页 共 18 页 有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮 助甲
10、搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、 乙各搬运了几小时？ 例 4：一项工程，乙队先独做 4 天，继而甲、丙两队合做 6 天，剩下的工 程甲队又独做 9 天才全部完成。已知乙队完成的是甲队的，丙队完成的是乙 3 1 队的 2 倍。如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？ 例5： 客车由甲站开往乙站需要8小时， 货车从乙站开往甲站需要12小时。 两车同时从两站相向开出，相遇时客车离乙站还有 156 千米。两站相距多少千 米？ 例题详解： 例 1 分 析 ： 可 以 理 解 为 两 队 合 做 28 天 ， 甲 的 工 效 ： 乙的工效 ：， 还要 84 1 286328 4
11、8 1 1 48 1 112 1 84 1 112 1 42 84 1 1 =56（天） 例 2 分析：设乙做 x 天，甲做（36x）天，=1，解之xx36 30 1 40 1 得 x=24，甲做 36x=3624=12（天） 例 3 分析 ： 可以看作甲、 乙、 丙合作搬运 A、 B 两仓， 2=8（小 15 1 12 1 10 1 时） ，甲在 A 仓库运 8 小时，余下的是丙搬运的，乙在 B 仓库搬运 8 小时，余 第 7 页 共 18 页 下的是丙搬运的。 丙运 A 仓库=3（小时） ， 15 1 8 10 1 1 丙运 B 仓库=5（小时） 15 1 8 12 1 1 例 4 分析
12、： 把乙做 4 天的工作量看作 1 份，甲做（6+9）天的工作量看作 3 份，丙做 6 天的工作量看作 2 份，把这项工程看作 6 份。 甲：1=30（天） ， 15 6 3 乙：1=24（天） ， 4 6 1 丙：1=18（天） 6 6 2 例 5 分析：156 除以货车相遇时所对应的分率： =390（千米） 12 1 8 1 1 12 1 156 拓展练习（附参考答案） 1、凿一山洞，甲队单独凿 8 天完成，乙队单独凿 12 天完成。现甲队单独凿了 若干天后留给乙队单独凿， 两队先后共用 10 天完成， 甲、 乙两队各凿了多少天？ 2、甲、乙两台抽水机共同工作 10 小时，可以把整池水抽完
13、。如果甲台抽水机 第 8 页 共 18 页 工作 4 小时，乙台抽水机工作 6 小时，能抽完整池水的。甲、乙两台抽水机 15 7 单独工作，各需几小时才能将整池水抽完？ 3、一个水池甲、乙两个水管同时打开，5 小时可以灌满整个池水；如果甲管打 开 8 小时后关闭，然后打开乙管，再工作 3 小时也可以灌满全池水。如果甲管 先工作 2 小时，然后关闭，乙管再工作几小时可以灌满全池水？ 4、一项工程，甲、乙合做 6 天能完成。单独做，甲完成与乙完成所需的 6 5 3 1 2 1 时间相等。甲、乙单独做各需多少天？ 5、一项工作，甲、乙、丙三人合做 6 小时可以完成，如果甲工作 6 小时，乙、 丙合做
14、 2 小时，可以完成这项工作的。如果、乙合做 3 小时，丙做 6 小时， 3 2 也可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙合做，需几小时完成？ 3 2 6、一池水，甲、乙两管同时开 5 小时灌满；乙、丙管同时开 4 小时灌满。现 在先开乙管 6 小时还需甲、丙两管同时开 2 小时才能灌满。乙单独开几小时可 以灌满水池？ 7、一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两站同时开出，经过 6 小时相遇。相遇 后两车各以原速继续前进，客车又行了 4 小时才到达乙地。货车还要行多少小 时才能到达甲地？ 8、甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行。经过 4 小时相遇后，甲车继 续行驶了 3 小时到达 B 地
15、，乙车每小时行 24 千米。A、B 两地相距多少千米？ 9、要用甲、乙两根水管灌满一个水池，开始只打开甲管，9 分钟后打开乙管， 第 9 页 共 18 页 再过 4 分钟已灌入了水池的水 ； 再经过 10 分钟，灌入的水已占水池的。这 3 1 3 2 时关掉甲管只开乙管，从开始到灌满水池共用了多少钟？ 10、一个水池装了甲、乙两根进水管，在同样的时间内，乙管的进水量是甲管 的 1.6 倍。为了灌满空着的水池，开始由甲管灌入水池的水，然后打开乙管， 5 1 剩下的由乙管单独灌满，总共用 12 分 15 秒。甲管开了几小时？ 参考答案 1、分析：理解为两队合做若干天后，剩下的由某队独做正好在 10 天内完成。 （天） ，甲、乙合做 4 天后，余下的天合做的工作量是： 5 4 4 12 1 8 1 1 5 4 =，工作量不够甲做 2 天，由乙做=2（天） 。 12 1 8 1 5 4 6 1 6 1 6 1 12 1 甲共做 4 天，乙共做（4+2=6）天。 2、分析：可理解为甲、乙合抽 4 小时，用减去合抽 4 小时后余下的是乙 2 15 7 小时抽的： 乙工效=，464 10 1 15 7 30 1 甲工效，甲要 15 小时，乙要 30 小时。 15 1 30 1 10 1 3、甲工效：，乙工效：= 25 2 3
