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1、数系的扩充和复数概念 虚数单位 i:它的平方等于-1，即 i2 1 i 与1 的关系: i 就是1 的一个平方根，即方程 x2=1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根是 i ；,i 的周期性： 复数的定义：形如a bi(a,b R) 的数叫复数， a 叫复数的实部， b,叫复数的虚部新疆 全体复数所成的集合叫做 王新敞 奎屯,复数集，用字母 C 表示新疆 复数通常用字母 z 表示，即 z a bi(a,b R) 王新敞 奎屯 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 a bi(a,b R) ，当且仅当 b=0 时，复数 a+bi(a、bR) 是实数 a；当 b0 时，复数 z=
2、a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做纯虚数；a0 且 b0 时，z=bi 叫 做非纯虚数的纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.,新疆 王新敞王新敞 奎屯,新疆 奎屯,复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等新疆 如果 a，b，c，d 王新敞 奎屯 R，那么 a+bi=c+di a=c，b=d王新敞 新疆 奎屯 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小新疆 当两个 王新敞 奎屯 复数不全是实数时不能比较大小新疆 王新敞
3、奎屯 复平面、实轴、虚轴： 点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数,实轴上的点都表示 新疆 王新敞 奎屯 虚轴上的点都表示 新疆 王新敞 奎屯 原点对应的有序实数对为(0，0) 设 z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数， 8复数 z1 与 z2 的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数 z1 与 z2 的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a
4、-c)+(b-d)i.,1,i1 i,11 i （3） i ， （4） i,16. 复 数 的 模 ： （5）,1 i,1 i ,i,复数 Z a bi 的模 Z a 2 b2 （6） a bia bi a2 b2 特别地：1 的立方根 【复数高考题选（20112012）】,1、（2012 辽宁理）复数,2 i,2 i,55,34, （）（A）i,55,34,（B）i,5,4,5,3,（C）1 i （D）1 i,2、复数,1 3i,1 i,=（）A 2+iB2-IC 1+2iD 1- 2i,3+i,3、（2012 海南文）复数 z 2+i 的共轭复数是（）（A）2+i（B）2i（C）1+i,（
5、D）1i,2,4、（2012 全国卷理）下面是关于复数 z ,1 i,的四个命题：其中的真命题为（）,p : z 2p : z2 2ip : z 的共轭复数为1 ip : z 的虚部为1 1234 ( A) p2 , p3(B)p1 , p2（C） p , p(D) p , p,点 Z(a, b),2,向量OZ,一一对应,一一对应,一一对应,复数 z1 与 z2 的乘法运算律：z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 复数 z1 与 z2 的除法运算律： 共轭复数： 通常记复数 z 的共轭复数为 z 。例如 z =35i 与 z =35i 互为共轭复数 13. 共
6、轭复数的性质 （1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2） Z Z Z 2 Z 2 （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义： 15 几个常用结论 复 数 Z a b i a , b R （1） 1 i2 2i ，（2） 1 i 2 2i,5、（2012 陕西理）设a, b R ， i 是虚数单位，则“ ab 0 ”是“复数a b 为纯虚数”的（ ）,i （A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件,6、（2012 天津理） i 是虚数单位，复数 z=,7 i,3 i,=（）（A） 2 i （） 2 i （） 2 i （）
7、2 i,7、（2012 安徽文）复数 z 满足(z i)i 2 i ，则 z =（） （A） 1 i （B）1 i （C） 1 3i （D） 1 2i 8、（2012 山东理）若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则 z 为（）A 3+5iB3-5iC-3+5iD -3-5i,2i,(1 i)2 9、（2012 四川理）复数 （）A、1B、1C、iD、i,10、（2012 天津理）i 是虚数单位，复数,3 i,7 i,=（）（A） 2 + i（B）2 i （C）-2 + i （D）-2 i,11、（2012 重庆理）若（1+i）（2+i）=a+bi ，其中a, b R,
8、i 为虚数单位，则a b ；,12、（2011 重庆理）复数,i2 i3 i1 1,1 i22,22,22,1111111,22,（ ）（A） i (B) i (C)i (D)i,1 2i,13、（2011 全国卷理）复数 2 i 的共轭复数是（,）A 3 iB 3 iC iD i 55,1 14、（2011 陕西理）设集合 M=y| cos2 x sin2 x|,xR,N=x|x i | 2 ,i 为虚数单位，xR,则 MN 为（ ） (A)(0,1) (B)(0,1 (C)0,1) (D)0,1,i,15、（2011 辽宁理）a 为正实数，i 为虚数单位， a i 2 ，则 a=（ ）（A
9、）2 （B） 3 (C) 2 (D)1,2 i,16、（2011 山东理）复数 z ,2 i,( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为,（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限,17、（2011 安徽理）设i 是虚数单位，复数,1 ai,2 i,1,2,1,2,为纯虚数，则实数 a 为_（A） 2 （B） -2 （C） -（D）,18、（2011 江苏理）设复数 i 满足i(z 1) 3 2i （i 是虚数单位），则 z 的实部是 19、（2011 广东理）设复数z满足(1 i)z 2，则z （）A 1 iB 1 iC 2 2iD 2 2i,20、（2010 山东
10、理）已知,i,a 2i, b i(a, b R) ，则 a b （）（A）-1 （B）1 （C）2 （D）3,a bi,21、（2010 辽宁理）设 a,b 为实数，若复数 1+2i 1 i ，则（）,3,1 2,（A） a , b 2,1,3,3 2,(B) a 3,b 1(C) a , b 2,(D) a 1, b 3,3 i,22、（2010 全国卷理）已知复数 z ,(1 3i)2,， z 是 z 的共轭复数，则 z z =（ ）A.B.,11,42,C.1,D.2,1 i,23、（2010 北京理）在复平面内，复数 2i 对应的点的坐标为 。,24、（2010 安徽理）,i,3 3i
11、,3 i, （）（A） 1 3 （B） 1 3 i （C） 1 ,3 i,4124122626,（D） 1 ,25、（2010 江苏理）设复数 z 满足 z(2 3i) 6 4i （其中i 为虚数单位），则 z 的模为 .,26、（2010 广东理）若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1 z2 ,() A.4+2iB.2+iC.2+2i,D.3+i,27、（2009 四川理）复数,(1 2i)2,3 4i,的值是 .,.,. i,. i,28、（2009 陕西理）已知 z 是纯虚数,z 2,1-i,是实数,那么 z 等于（ ）（A）2i (B)i (C)-i (D)-2i,29 、（ 2
12、009 广 东 理 ） 设 z 是 复 数 ， a(z) 表 示 满 足 zn 1 的 最 小 正 整 数 n ，则 a(i) （） 30、（2008 广东理）已知0 a 2 ，复数 z 的实部为a ，虚部为 1，则 z 的取值范围是（ ） A (1，5) B (1，3)C (1，5)D (1，3),31、（2008 辽宁理）复数,11,2 i1 2i,的虚部是（）A 1 i 5,B 1 5,C 1 iD 1 55,32、（2008 山东理）设 z 的共轭复数是 z ，若 z+ z =4, z z 8，则 z 等于（ ）（A）i（B）-i(C)1 (D) i z 33、（2008 陕西理）复数 i(2 i) 等于（）A iB iC1D 1 1 2i 34、（2008 北京理）已知(a i)2 2i ，其中i 是虚数单位，那么实数 a ,35、（2007 北京理）,2,(1 i)2,1 i,4,36、（2007 四川理）复数1 i i2 的值是（,）（A）0,(B)1,(C)-1,(D)1,
