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1、全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案,一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分),2. 设 A , B ,。均为阶方阵，AB = BA , AC = CA，则 ABC = ( D ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA ABC = (AB)C = (BA)C = B(AC) = B(CA) = BCA . 3. 设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且|A|=1, |B|=-2，则行列式| |B|A|之值为(A ),A. 一 8,B. 一 2,C. 2,D. 8,I |B|A|=|-2A| = (一2)3|A| =-8 .,A. PA,B.
2、AP,C. QA,D. AQ,5.已知A是一个3 x 4矩阵，下列命题中正确的是(C ),A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩(A)=2,B.若A中存在2阶子式不为0,则秩(A)=2,C.若秩(A)=2，则A中所有3阶子式都为0,D.若秩(A)=2，则A中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误的是(C ) A.只含有1个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关,),1,C.由1个非零向量组成的向量组线性相关 D. 2个成比例的向量组成的向量组线性相关,7.已知向量组ai，a2,a3线性无关,尸线性相关，则（,D,),A. ax必能由a2,a3,尸线性表出,B.以必能由
3、a1?a3,线性表出,C. a3必能由a、,a2,/3线性表出 D. P必能由a“a2，a3线性表出 注：。1，。2，。3是。2。3用的一个极大无关组. 8. 设A为m x n矩阵，m丰n，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（D ） A.小于m B.等于m C.小于n D.等于n 注：方程组Ax=0有n个未知量. 9. 设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A ）,A. At B. A2 C. A-1 D. A*,| 2E - At |=| (2E - A)t |=| 2E - A |，所以A与At有相同的特征值.,10.二次型 f （X1，乂2, x3）= X1 + X2
4、 + X3 + 2X1X2 的正惯性指数为（C ）,A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,f （X1，X2,X3） = （X1 + X2）2 + X2 = y1 + y2，正惯性指数为 2. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）,2007 2008 2000 2000 7 8,13.设 a = (3,-1,0,2)t , /3 = (3,1,-1,4)T，若向量/满足 2a + y = 3。，则/ = _,2,/ = 3 - 2a = (9,3,-3,12)t -(6,-2,0,4)t = (3,5,-3,8)T .,14.设A为阶可逆矩阵，且| A |=-，则|A t |=
5、 _. n,|A牛*,=-n .,15.设A为阶矩阵，B为阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则 |A|= _,x = _,由 1 + x + 0 = 4 +1 2，得 x = 2.,是正交矩阵，则a + b = _,20.二次型 f (x,乂2,x) = -4xTx2 + 2乂1乂3 + 6X2X3 的矩阵是一 _,1/很 b 0,x 0,n个方程、n个未知量的Ax=0有非零解，则| A |= 0.,0 0 1 丿,由第1、2列正交，即它们的内积土(a + b) = 0，得a + b = 0.,16.齐次线性方程组j*1+ x2 + x3 = 0的基础解系所含解向量
6、的个数为 _,2乂 - 乂2 + 3x3 = 0,_ 17.设阶可逆矩阵A的一个特征值是- 3,则矩阵(-A2 必有一个特征值为.,A = | 1 1 1 1 1 基础解系所含解向量的个数为n - r = 3 - 2 = 1. 2 -1 3丿0 一 3 1 丿,(1 18.设矩阵A = - 2 、-2,A有特征值-3,则-A2有特征值-(-3)2 = 3，(- A2 有特征值-.,-2 - 2、,0的特征值为4,1,-2，则数 0丿,a 19.已知A = 1/很 0,3,共54分）,计算行列式D=,的值.,21.,1,=abc,=abc,c - a,1,=abc(b - a)(c - a),=
7、abc(b - a)(c - a)(c - b).,求(1) A = BtC ； (2),A2.,已知矩阵B = (2,1,3),C = (1,2,3),22.,(2,A2 = (BtC)(BtC) = Bt (CBt )C = 13BtC = 13 A = 13 1,-2 0 3,c 2 - a 2,13,(0 - 2 1),c-a c 2 - a 2,11 3 0丿,1 b-a 7 2 2 b - a,1 0 0,b-a b2 -a2,c c 2 c + c3,a a 2 3 a + a,1,b + a c + a,三、计算题（本大题共6小题，每小题9分,(2)注意到 CBt = (1,2
8、,3)| 1 1 = 13，所以,b b 2 b + b3,4,23.设向量组= (2,1,3,1)T,a2 = (1,2,0,1)T,a3 = (-1,1,-3,0)T,a4 = ,求向量组的秩 及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.,一个极大无关组，,。3 = 。1 +.,24.,解:,问a为何值时，线性方程组,25.,其解(在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解).,解:,的。4是,解矩阵方程AX = B .,1 1 0 0,0 1 0 0,f 1 0 0 0,f 2 1 3 、1,f 1 0 0 0,1 ) 0 2 -1 ,解：A =,X
9、 + 2 乂2 + 3乂3 = 4 2%2 +破3 = 2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出 2 x + 2 乂2 + 3x = 6,5,*2,a = 3 时,r(A, b) = r(A) = 2 n ,意常数.,(2,0 ),26.设矩阵A = 0,的三个特征值分别为1,2,5 ,求正的常数,a,(1,P -1AP = 0,0,3,=2(9 - a2) = 1x 2 x 5，得a2 = 4 ,解：由|A |=,=2,a = 2.,a,a,(2-2,0,2E A =,解(2E A) x = 0 :,对于2 = 1，,，其中k为任,有无穷多解，此时(A,b) T,a的值及可逆矩阵尹，使,10,
10、10,1 - 2,X = 2,X = 2,0 2 0,0 3 0,2 0 0,0 2 0,0 3,0 0,0 3,0 1 0,0 3/2 0,0、 -2 2-,=1 ；,X = 0,a 3,a 3丿,a 3,2-3 -2,(1 0 0,(1 0 0,(1 0 0,2、 2 0丿,0、 0 5 ,2、 1 0丿,X2 =,对于 2 = 2，解(2E - A)x = 0 :,6,四、证明题（本题6分）,27.设A, B, A + B均为阶正交矩阵，证明(A + B)-1 = AT1 + B-1.,证：A, B, A + B 均为阶正交阵，则 A= At , Bt = B-1, (A + B)T =
11、 (A + B)-1,所以,(A + B) t = (A + B)t = At + Bt = A-1 + B-1.,全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1 .设3阶方阵A = （a1,a2,a3）,其中a, （ i = 1,2,3 ）为A的列向量，若,| B |= | (a1 + 2a2,a2,a3) |= 6，则 | A |= ( C ),7,3. 若A为3阶方阵且| A-1 |= 2，则|2 A |= ( C ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2 1 1 |A|= -, |2A|= 23|A| =
12、 8 x - = 4 . 4. 设都是3维向量，则必有(B ) A. ax,a2,a3,a4r线性无关 B. ax,a2,a3,a4r线性相关 C. a1可由a2,a3,a4线性表示 D. a1不可由a2,a3,a4线性表示 5. 若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2,则r(A) = ( C ),6.设A、月为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则(C ),A + 2 E的特征值分别为4,3,2，所以|A + 2E|= 4 x 3 x 2 = 24 .,注：只有正交相似才是合同的. 9.若向量 a = (1,-2,1)与 p = (2,3, t)正交，则 t = ( D
13、 ),8,A. - 2,B. 0,C. 2,D. 4,由内积2-6 +1 = 0，得t = 4. 10.设3阶实对称矩阵力的特征值分别为2,1,0，则(B ),A.力正定 B.刃半正定 C.刃负定 D.刃半负定 对应的规范型2z： +z； + 0. z； 0，是半正定的.,二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分),12 .设A为3阶方阵，且| A |= 3 , 则|3A-1 |= _.,|3 3牛33.食=33.卜9.,13. 三兀方程 %1 + %2 + 乂3 = 1的通解是 _,14.设。=(-1,2,2)，则与u反方向的单位向量是 _.,-*=-牛),15.设A为5阶方阵，且
14、r(A) = 3，则线性空间W = (x | Ax = 0的维数是 _,W = (x | Ax = 0的维数等于Ax = 0基础解系所含向量的个数：n-r = 5 -3 = 2.,16.,9,. ,1 53 | 5A- |= 53 =-=-125 . | A | 一 2 x (1/2) x 1 17 .若A、B为5阶方阵，且Ax = 0只有零解，且r(B) = 3，则r(AB) =_.,Ax = 0只有零解，所以A可逆，从而r(AB) = r(B) = 3 .,且 r (A) = 2,则Ax = b的通,解是 _,(1),1,0,13丿,(1、,( a2) = I 0 I是Ax = 0的基础解
15、系，Ax = b的通解是2 + k 0 .,0丿,1,2,三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分),10,解:,(2,设矩阵】满足方程0,，求X,22.,解:,则 AXB=C ,B,的通解.,23.,1 2,1 2,0 0,2 0 0 1,0 2 0 0,0 0 2 0,1 0 0 2,2 1,1 2,0 -1 0,-4 0 -2,0 -1 0,0 0 1,A-1,连续3次按第2行展开，D = 2 x,=8 x,记A =,10,0、 0 2 ,(2 0 、0,0、 1 0丿,3 - 4、 2 0 0 - 2 ,X = E T = 2,(1 -4 、1,(1 -4 、1,(1/2 0 、0,=8 x 3 = 24 .,X + ,1 -2 1,-2 -3 0,f 1 1 0 3 0,2、 2 , a = 0 时 r (A) = 2 . a ,f- 2 设A = 1 I 1,1 - 2、 1 a,-2 2丿,设k(% - %) + (% - %) = 0，即(k k2)% + k% + k2% = 0，由 ,%,% 线性无 k 2 = 0 关，得k = 0 ，只有零解k = k2 = 0，所以2 -%1，%3 -%线性无关. k 2 = 0,13,全国2011年1月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184 说明
