小升初专题列方程解应用题-新修订

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1、 列方程解应用题列方程解应用题 一、列简易方程解应用题一、列简易方程解应用题 10 x+1， 从而有 3（105+x）=10 x+1， 7x299999， x42857。 答：这个六位数为 142857。 说明：这一解法的关键有两点： 示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。 （1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系 ； （2）是一般语言与数学的 形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功 夫。 例 2例 2 有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的速度从末尾赶到排头并立即

2、返回排尾，共用了 10 分 50 秒。问：队伍有多长？ 分析 ： 这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所 行路程差为队伍长 ； 通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如 果设通讯员从末尾到排头用了 x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不 难列方程。 解：设通讯员从末尾赶到排头用了 x 秒，依题意得 2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。 解得 x500。推知队伍长为 （2.6-1.4）500=600（米）。 答：队伍长为 600 米。 说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么

3、、设什么；另一种设 间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。对于较难的 应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。 例 3例 3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度 为 3.6 千米/时，骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通 过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？ 分析：本题属于追及问题，行人的速度为 3.6 千米/时=1 米/秒，骑车人的速度为 10.8 千米/时=3 米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑 车人的路程

4、差。如果设火车的速度为 x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）22 或（x-3）26，由此不难列出方程。 解：设这列火车的速度是 x 米/秒，依题意列方程，得 （x-1）22=（x-3）26。 解得 x=14。所以火车的车身长为 （14-1）22=286（米）。 答：这列火车的车身总长为 286 米。 例 4例 4 如图，沿着边长为 90 米的正方形，按逆时针方向，甲从 A 出发，每分钟走 65 米， 乙从 B 出发，每分钟走 72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？ 分析 ： 这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需 要的时间，再回到“环行”

5、追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形 哪一条边上。 解：设追上甲时乙走了 x 分。依题意，甲在乙前方 390=270（米）， 故有 72x65x+270。 由于正方形边长为 90 米，共四条边，故由 可以推算出这时甲和乙应在正方形的 DA 边上。 答：当乙第一次追上甲时在正方形的 DA 边上。 例 5例 5 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知 船在静水中的速度为 8 千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为 21。某天恰逢暴雨，水 流速度为原来的 2 倍，这条船往返共用 9 时。问：甲、乙两港相距多少千米？ 分析：这是流水中的行程问题：

6、顺水速度=静水速度+水流速度， 逆水速度=静水速度-水流速度。 解答本题的关键是要先求出水流速度。 解：设甲、乙两港相距 x 千米，原来水流速度为 a 千米/时根据题意可知，逆水速度与 顺水速度的比为 21，即 （8-a）（8a）12， 再根据暴雨天水流速度变为 2a 千米/时，则有 解得 x=20。 答：甲、乙两港相距 20 千米。 例 6例 6 某校组织 150 名师生到外地旅游，这些人 5 时才能出发，为了赶火车，6 时 55 分 必须到火车站。 他们仅有一辆可乘 50 人的客车， 车速为 36 千米/时， 学校离火车站 21 千米， 显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，

7、只能乘车与步行同时进行。如果 步行每小时能走 4 千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？ 赶到 火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行 x 时， 客车能 否在 115 分钟完成。 解：把 150 人分三批，每批 50 人，步行速度为 4 千米/时，汽车速度为 解得 x1.5（时），即每人步行 90 分，乘车 25 分。三批人 5 时同时出发，第一批人 乘 25 分钟车到达 A 点，下车步行；客车从 A 立即返回，在 B 点遇上步行的第二批人，乘 25 分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在 C 点遇到步行而来的第三批人，然后把 他们直接送到火车站。 如此

8、安排第一、 二批人按时到火车站是没问题的， 第三批人是否正巧可乘 25 分钟车呢？ 必须计算。 次返回的时间是 20 分， 同样可计算客车第二次返回的时间也应是 20 分， 所以当客车与第三 批人相遇时，客车已用 252202=90（分），还有 115-90=25（分），正好可把第三批 人按时送到。 因此可以按上述方法安排。 说明 ： 列方程，解出需步行 90 分、乘车 25 分后，可以安排了，但验算不能省掉，因为 这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车 25 分，按 时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不能保证人员都按 时到达目的地

9、。 二、引入参数列方程解应用题二、引入参数列方程解应用题 对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还 需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以 便沟通数量关系，为列方程创造条件。 例 7例 7 某人在公路上行走， 往返公共汽车每隔 4 分就有一辆与此人迎面相遇， 每隔 6 分就 有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？ 分析 ： 此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相 遇，是相遇问题，人与汽车 4 分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；

10、每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题， 车与人6分所行的路程差恰是两车的距离， 再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。 解：设汽车站每隔 x 分发一班车，某人的速度是 v1，汽车的速度为 v2，依题意得 由，得 将代入，得 说明：此题引入 v1，v2 两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案 与参数的选择无关。本题的解法很多，可参考本丛书五年级数学活动课第 26 讲。 例 8例 8 整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知 70 头牛在 24 天里把草吃完，而 30 头牛就得 60 天。如果要在 96 天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？ 分析 ： 本题中牧场原有草量

11、是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若 这三个量用参数 a， b， c 表示， 再设所求牛的头数为 x， 则可列出三个方程。 若能消去 a， b， c， 便可解决问题。 解 ： 设整片牧场的原有草量为 a，每天生长的草量为 b，每头牛一天吃草量为 c，x 头牛 在 96 天内能把牧场上的草吃完，则有 -，得 36b=120C。 -，得 96xc=1800c36b。 将代入，得 96xc1800c+120c。 解得 x=20。 答：有 20 头牛。 例 9例 9 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行 驶 20 千米，下坡时每小时行驶 35 千米。

12、车从甲地开往乙 从甲 地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是 从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为 x 千米，下坡路为 y 千米，依题意得 ，得 将 y=210 x 代入式，得 解得 x140。 答：甲、乙两地间的公路有 210 千米，从甲地到乙地须行驶 140 千米的上坡路。 三、列不定方程解应用题三、列不定方程解应用题 有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这 种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。但注意到题目 对解的要求，有时，只需要其中一些

13、或个别解。 例 10例 10 六 （1） 班举行一次数学测验， 采用 5 级计分制 （5 分最高， 4 分次之， 以此类推）。 男生的平均成绩为 4 分，女生的平均成绩为 3.25 分，而全班的平均成绩为 3.6 分。如果该 班的人数多于 30 人，少于 50 人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？ 解：设该班有 x 个男生和 y 个女生，于是有 4x+3.25y=3.6（x+y）， 化简后得 8x=7y。从而全班共有学生 在大于 30 小于 50 的自然数中，只有 45 可被 15 整除，所以 推知 x21，y=24。 答：该班有 21 个男生和 24 个女生。 例 11例 11 小明玩套

14、圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分。小 明共套了 10 次， 每次都套中了， 每个小玩具都至少被套中一次， 小明套 10 次共得 61 分。 问 ： 小明至多套中小鸡几次？ 解：设套中小鸡 x 次，套中小猴 y 次，则套中小狗（10-x-y）次。根据得 61 分可列方 程 9x+5y+2（10-x-y）=61， 化简后得 7x=413y。 显然 y 越小，x 越大。将 y=1 代入得 7x=38，无整数解；若 y=2，7x=35，解得 x=5。 答：小明至多套中小鸡 5 次。 例 12例 12 某缝纫社有甲、乙、丙、丁 4 个小组，甲组每天能缝制 8 件上衣

15、或 10 条裤子 ； 乙 组每天能缝制 9 件上衣或 12 条裤子；丙组每天能缝制 7 件上衣或 11 条裤子；丁组每天能缝 制 6 件上衣或 7 条裤子。 现在上衣和裤子要配套缝制 （每套为一件上衣和一条裤子）。 问 ： 7 天中这 4 个小组最多可缝制多少套衣服？ 分析 ： 不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子的效 率高低，在配套下安排生产。 我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣， 做裤子效率高的多做裤子， 才能使所做 衣服套数最多。 一般情况，设 A 组每天能缝制 a1 件上衣或 b1 条裤子，它们的比为 A 组尽 量多做上衣、B 组尽量多做裤子的情况下

16、，安排配套生产。这 的效 率高，故这 7 天全安排这两组生产单一产品。 设甲组生产上衣 x 天，生产裤子（7-x）天，乙组生产上衣 y 天，生产裤子（7-y）天， 则 4 个组分别共生产上衣、裤子各为 678x+9y（件）和 11710（7x）12（7-y） （条）。依题意，得 428x9y7770-10 x84-12y， 令 u428x9y，则 显然 x 越大，u 越大。故当 x=7 时，u 取最大值 125，此时 y 的值为 3。 答 ： 安排甲、丁组 7 天都生产上衣，丙组 7 天全做裤子，乙组 3 天做上衣，4 天做裤子， 这样生产的套数最多，共计 125 套。 说明 ： 本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质上是化 为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理由。