《高中不等式所有知识及典型例题(超全)（2020年10月整理）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中不等式所有知识及典型例题(超全)（2020年10月整理）.pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 1 一不等式的性质不等式的性质： 二不等式大小比较的常用方法二不等式大小比较的常用方法： 1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化； 6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基 本的方法。 三重要不等式三重要不等式 1.（1）若Rba,，则abba2 22 + (2)若Rba,，则 2 22 ba ab + （当且仅当ba =时取“=”） 2. (1)若 * ,Rba，则 ab ba + 2 (2)若 * ,Rba，则abba2+（当且仅当ba
2、=时取“=” ） (3)若 * ,Rba，则 2 2 + ba ab (当且仅当ba =时取“=” ） 3.若0 x ，则 1 2x x + (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0 x，则 1 2x x + (当且仅当1x = 时取“=” ） 若0 x ，则 111 22-2xxx xxx +即或 (当且仅当ba =时取“=” ） 若0ab，则 2+ a b b a (当且仅当ba =时取“=” ） 若0ab ，则22-2 ababab bababa +即或 (当且仅当ba =时取“=” ） 4.若Rba,，则 2 ) 2 ( 22 2 baba+ + （当且仅当ba =时取“=” ） 注：
3、 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛 的应用 5.a3+b3+c33abc（a,b,c R+）, a+b+c 3 3 abc（当且仅当 a=b=c 时取等号） ； 6. 1 n (a1+a2+an) 12 n n a aa(ai R+,i=1,2,，n)，当且仅当 a1=a2=an取等号； 变式：a2+b2+c2ab+bc+ca; ab( a+b 2 )2 (a,b
4、 R+) ; abc( a+b+c 3 )3(a,b,c R+) a 2ab a+b ab a+b 2 a 2+b2 2 b.(0ab) 7.浓度不等式：bn an b a bn0,m0; 应用一：求最值应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y3x 2 1 2x 2 （2）yx 1 x 2 2 解题技巧：解题技巧： 技巧一：凑项技巧一：凑项 例 1：已知 5 4 x ，求函数 1 42 45 yx x =+ 的最大值。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数技巧二：凑系数 例 1. 当时，求(82 )yxx=的最大值。 技巧三：技巧三： 分离分离
5、例 3. 求 2 710 (1) 1 xx yx x + = + 的值域。 技巧四：换元技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。 22 (1)7(1 +10544 =5 tttt yt ttt + = + ） 当,即 t=时, 4 259yt t +=（当 t=2 即 x1 时取“”号）。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( ) a f xx x =+的单的单 调性。调性。例：求函数 2 2 5 4 x y x + = + 的值域。
6、 解：令 2 4(2)xt t+=，则 2 2 5 4 x y x + = + 2 2 11 4(2) 4 xtt t x =+= + + 因 1 0,1tt t =，但 1 t t =解得1t = 不在区间)2,+，故等号不成立，考虑单调性。 因为 1 yt t = +在区间)1,+单调递增，所以在其子区间)2,+为单调递增函数，故 5 2 y 。 所以，所求函数的值域为 5 , 2 + 。 2已知01x，求函数(1)yxx=的最大值.；3 2 0 3 x，求函数(2 3 )yxx=的最大值. 条件求最值条件求最值 1.若实数满足2=+ba，则 ba 33 +的最小值是 . 分析： “和”到
7、“积”是一个缩小的过程，而且 ba 33 定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： ba 33 和都是正数， ba 33 +632332= +baba 当 ba 33 =时等号成立，由2=+ba及 ba 33 =得1= ba即当1= ba时， ba 33 +的最小值是 6 变式：若 44 loglog2xy+=，求 11 xy + 的最小值.并求 x,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。 3 3 2：已知0,0 xy，且 19 1 xy +
8、=，求xy+的最小值。 技巧七技巧七、已知已知 x，y 为正实数，且为正实数，且 x 2 2y 2 2 1 1，求，求 x 1y 2 的最大值的最大值. . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 aba 2b 2 2 。 同时还应化简1y 2 中 y2前面的系数为 1 2 ， x 1y 2 x 21y 2 2 2 x 1 2 y 2 2 下面将 x， 1 2 y 2 2 分别看成两个因式： x 1 2 y 2 2 x 2( 1 2 y 2 2 )2 2 x 2y 2 2 1 2 2 3 4 即 x 1y 2 2 x 1 2 y 2 2 3 4 2 技巧八：技巧八：已知已知 a，b 为
9、正实数，为正实数，2baba30，求函数，求函数 y 1 ab 的最小值 的最小值. . 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题一是通过消元，转化为一元函数问题， 再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式，对本 题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式 放缩后，再通过解不等式的途径进行。 法一：a302b b1 ， ab302b b1 b2 b 230b b1 由 a0 得，0b15 令 tb+1，1t16，ab2t 234t31 t 2（t16 t ）
10、34t16 t 2t16 t 8 ab18 y 1 18 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。 法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab 令 uab 则 u 22 2 u300， 5 2 u3 2 ab 3 2 ，ab18，y 1 18 点评：本题考查不等式ab ba + 2 ）（ + Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知 不等式230abab=+）（ + Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与+之间的关系，由此想 到不等式ab ba + 2 ）（ + Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. 变式：
11、1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值. 4 4 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，ab 2 a 2b 2 2 ，本题很简单 3x 2y 2 （ 3x ）2（ 2y ）2 2 3x2y 2 5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再 向“和为定值”条件靠拢。 W0，W23x2y2 3x 2y 102 3x 2y 10( 3x )2( 2y )2 10(3x2y)2
12、0 W 20 2 5 应用二：利用基本不等式证明不等式应用二：利用基本不等式证明不等式 1已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba+ 222 1）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 例 6：已知 a、b、cR+，且1abc+ +=。求证： 111 1118 abc 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又 112 1 abcbc aaaa + = ，可由此变形入手。 解：a、b、cR+，1abc+ +=。 112 1 abcbc aaaa + =。同理 12 1 ac bb ， 12 1 ab
13、cc 。 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 111222 1118 bcacab abcabc = 。当且仅当 1 3 abc=时取等号。 应用三：应用三：基本不等式与恒成立问题基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且 19 1 xy +=，求使不等式xym+恒成立的实数m的取值范围。 解：令,0,0,xyk xy+= 19 1 xy +=， 99 1. xyxy kxky + += 109 1 yx kkxky += 103 12 kk 。16k ，(,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若) 2 lg(),lg(lg 2 1 ,
14、lglg, 1 ba RbaQbaPba + =+=，则RQP,的大小关系是 . 分析：1 ba 0lg, 0lgba 2 1 =Q（pbaba=+lglg)lglg Qabab ba R= + =lg 2 1 lg) 2 lg( RQ 四不等式的解法四不等式的解法. 1.一元一次不等式的解法。一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 3.简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一并使每一 5 5 个因式中最高次项的系数为正个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大
15、根的右上方依 次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现( )f x的符号变化规律，写出 不等式的解集。如如 （1 1）解不等式 2 (1)(2)0 xx+。 （答： |1x x 或2x = ） ； （2 2）不等式 2 (2)230 xxx的解集是_ （答： |3x x 或1x = ） ； （3 3）设函数( )f x、( )g x的定义域都是 R，且( )0f x 的解集为 |12xx，( )0g x 的解集 为，则不等式( )( )0f x g x 的解集为_ （答：(,1)2,)+） ； （4 4）要使满足关于x的不等式092 2 +axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式 086034 22 +xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是_. （答： 81 7,) 8 ） 4 4分式不等式的解法分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分 解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一 般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
