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1、1-1 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.1 引言 系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。我们学习过“电路分 析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。我们还熟悉汽车在路面运 动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、 变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。 我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。例如，在分 析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会 计算或观测驱动力、阻力、位
2、置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。系统状态变量随时间变化的关 系称为信号，包含了系统变化的信息。 很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的 变量，得到便于测量的电信号。 隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。信号用函 数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。 信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。系统的分析和描述借助于建立系统 输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。 系统的特性千变万化，其中最重要的区别
3、是线性和非线性、时不变和时变。这些区别导致分析方法的 重要差别。本课程的内容限于线性时不变系统。 我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。例如，对于一个电压测 量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形（测量系统输入信号）和测量得到)( in tv 的波形（测量系统输出信号） ， 观察它们之间的相似程度。 为了充分地和规范地描述测量系统的特性，)( out tv 经常给系统输入一个阶跃电压信号，得到系统的阶跃响应，图 1-1 是典型的波形，通过阶跃响应的电压上升 时间（电压从 10上升至 90的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上
4、升时间和过 冲越小，系统特性越好。其中电压上升时间反映了系统的响应速度，小的上升时间对应快的响应速度。如果 被测电压快速变化，而测量系统的响应特性相对较慢，则必然产生较大的测量误差。 信号与系统分析的另一种方法是频域分析。信号频域分析的基本原理是把信号分解为不同频率三角信 号的叠加，观察信号所包含的各频率分量的幅值和相位，得到信号的频谱特性。图 1-2 是从时域和频域观 察一个周期矩形波信号的示意图，由此可以看到信号频域和时域的关系。系统的频域分析是观察系统对不 同频率激励信号的响应，得到系统的频率响应特性。频域分析的重要优点包括：（1）对信号变化的快慢和 系统的响应速度给出定量的描述。例如，
5、当我们要用一个示波器观察一个信号时，需要了解信号的频谱特 性和示波器的模拟带宽，当示波器的模拟带宽能够覆盖被测信号的频率范围时，可以保证测量的准确。 （2） 1-2 为线性系统分析提供了一种简化的方法，在时域分析中需要进行的微分或积分运算，在频域分析中简化成 了代数运算。 信号和系统分析还有复频域分析的方法，对于连续信号和系统，基于拉普拉斯变换，称为域分析 ； 对s 于离散信号和系统，基于变换，称为域分析。基于复频域分析，能够得到信号和系统响应的特征参数，zz 即频率和衰减，分析系统的频率响应特性和系统稳定性等；复频域分析也能简化系统分析，将在时域分析 中需要进行的微分或积分运算简化为复频域中
6、的代数运算。 本课程将学习信号和系统分析的基本方法和原理，包括时域分析、频域分析和复频域分析。随着计算 机技术和数字信号处理技术的发展和应用，离散信号和离散系统的分析方法具有非常广泛的实际应用。本 图 1-1 典型电压测量系统的输入和输出波形 输入信号)( in tv t 0 输出信号)( out tv t 0 过冲 上升时间 )(tf )( 1 kF t 1 k 0 0 图 1-2 周期矩形波信号的时域和频域 1-3 课程在深入学习连续信号和系统的分析方法的基础上，进一步学习离散信号和系统的分析方法。信号和系 统分析的重要工具是信号变换，本课程依据信号变换方法的内在联系，将依次介绍连续周期信
7、号傅里叶级 数（FS） 、连续信号傅里叶变换（FT） 、拉普拉斯变换、离散周期信号傅里叶级数（DFS） 、离散时间傅里叶 变换（DTFT） 、变换，以及用于计算机计算的离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT） 。z 1.2 信号的分类 1.2.1 连续时间信号和离散时间信号 连续时间信号简称为连续信号，在所讨论的信号时间区间内，除了若干不连续点之外，任意时间都有 确定的信号取值。连续信号的符号表示为， 为时间，连续取值。当需要区分连续信号和离散信号时，)(tft 以下标表示连续信号，表示为。图 1-3 是一个连续信号的示意图。a)( a tf 连续信号可分为非奇异信号和奇异信号。当信
8、号和信号的各阶导数在整个时间区间都是连续时，称为 非奇异信号；当信号或信号的某阶导数存在不连续点（跳变点）时，称为奇异信号。注意，如果一个信号 本身是连续的，但若干次求导以后的导函数存在不连续点，则是奇异信号。一个非奇异信号和一个奇异信 号相加或相乘，其结果通常仍为一个奇异信号。 离散时间信号简称为离散信号，在所讨论的信号时间区间内，信号只在一些离散时间点取值，其他时 间无定义。离散信号的符号表示为，为离散点序数，取整数值。这里用下标表示离散信号，以区)( d nfnd 分连续信号和离散信号。图 1-4 是一个离散信号的示意图。注意，在离散点之间，信号无定义，不要理解 为信号取零值。 离散信号
9、通常来自于对连续信号的抽样，并且经常是等间隔抽样。相邻两个抽样点之间的时间间隔称 为抽样周期或抽样间隔，用表示 ； 单位时间的抽样点数称为抽样率，用表示，有。信号抽样 s T s f ss /1 Tf 满足关系。在离散信号分析中，经常隐去时间的概念，因此也称为离散序列。)()( sad nTfnf 实际中还经常用到模拟信号和数字信号的概念。所谓模拟信号，信号的时间和幅值都连续取值。本课 程中不区分模拟信号和连续信号。所谓数字信号，信号的时间和幅值都离散取值。实际中的信号抽样，由 于模数转换器（A/D 转换器）的位数限制，抽样得到的离散点的信号幅值都是离散的，所以是数字信号。 )( a tf 0
10、 图 1-3 连续信号 t 图 1-4 离散信号 )( d nf 0-11 23 45678 -2 n 1-4 1.2.2 周期信号和非周期信号 周期信号是以一定时间间隔周期重复的信号，无始无终。 连续周期信号满足关系 （1-)()( aa Ttftf 1） 称为连续周期信号的周期。T 离散周期信号满足关系 （1-)()( dd Nnfnf 2） 取正整数，称为离散周期信号的周期。N 1.2.3 能量有限信号和能量无限信号 一个连续信号的能量定义为)( a tf （1- ttfEd)( 2 aa 3） 当为复信号时，。信号的能量可理解为：假设是一个电压信号或电)( a tf)()()( aa
11、2 a tftftf )( a tf)( a tf 流信号，它作用在一个 1电阻上时所消耗的能量为信号能量。 一个离散信号的能量定义为)( d nf （1-4） n nfE 2 dd )( 当为复信号时，。)( d nf)()()( dd 2 d nfnfnf 对于连续信号和离散信号， 当信号的能量为有限值时称为能量有限信号， 否则称为能量无限信号。 式 （1- 3）和式（1-4）中取信号的绝对值，表示信号能量的定义对复信号也成立。 1.3 典型信号 1.3.1 典型连续非奇异信号 1. 三角信号 三角信号有正弦和余弦两种表示形式，为方便起见，本教材选择余弦函数的表示方式。三角信号的一般 表达
12、式为 （1-)cos()(tMtf 1-5 5） 式中为信号幅值，为角频率，为初始相位。以后在提到三角信号的初始相位时，均指余弦表示方式M 下的初始相位。 三角信号的角频率、 频率和周期满足关系 ：。 当三角信号的角频率fT 21 f T0 时为直流信号，直流信号是三角信号的一个特例。图 1-5 是一个三角信号的典型波形。 2. 指数信号 指数信号的表达式为 （1- at Atfe)( 6） 式中和均为实数，为时的信号幅值，为衰减系数，当时，随时间增大而增加；AaA0ta0a)(tf 当时，随时间增大而减小。图 1-6 是指数信号的典型波形。0a)(tf 3. 复指数信号 复指数信号的表达式为
13、 （1- at Atfe)( 7） 式中和既可为实数也可为复数，有以下几种情况。Aa （1）当和都为实数时，就是一个指数信号。指数信号是复指数信号的一个特例。Aa)(tf （2）当为实数，为复数时，设Aa （1-ja 8） 有 （1- t Atf )j( e)( 9） 图 1-6 指数信号波形 at Atfe)( t 0 A 0a0a 图 1-5 三角信号波形 t 0 M T )cos()(tMtf 1-6 根据欧拉公式 （1- tt tt t t sinjcose sinjcose j j 10a） （1- )ee ( j2 1 sin )ee ( 2 1 cos jj jj tt tt t
14、 t 10b） 于是有 （1-tAtAtf tt sinejcose)( 11） 此时的实部和虚部都是一个指数包络的三角函数，复数的实部和虚部分别表示衰减系数和角频率。)(tfa 当时，有0 （1-tAtAtfsinjcos)( 12） 它的实部和虚部都是无衰减的三角函数。 （3）如果和都为复数，设Aa （1- j ej j a AIRA 13） 则有 （1- )sin(ej)cos(e ee)( )j(j tAtA Atf tt t 14） 其实部和虚部分别是一个指数包络的三角函数，复数的模和辐角分别表示指数包络三角函数的幅值和初A 始相位，复数的实部和虚部分别表示衰减系数和角频率。a 复指数信号是一个抽象的信号， 实际中并不存在复指数信号， 但借助于复指数信号， 可以表示指数信号、 三角信号和指数包络三角信号，描述了幅值、衰减、频率和相位等特征量。 4. 三角信号的复指数表示 一个三角信号可以用一对共轭复指数信号表示，根据欧拉公式，它们满足关系 1-7 （1- tt tt tt AA MM M tMtf j 2 j 1 jjjj )( j)( j ee ee 2 ee 2 ee 2 )cos()( 15） （M 是实数，A1、
