《北师大版三角形的证明(全章节复习题)（最新版-修订）新修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版三角形的证明(全章节复习题)（最新版-修订）新修订（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第 1 页 共 32 页 等腰三角形（基础）知识讲解等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和 作图 3. 理解并掌握等腰三角形、 等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用， 初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形1.等腰三角形 有两条边相等
2、的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底， 两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示， 在ABC 中， ABAC， ABC 是等腰三角形， 其中 AB、 AC 为腰， BC 为底边,A 是顶角，B、C 是底角 2.等腰三角形的作法2.等腰三角形的作法 已知线段 a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使 AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段 BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点 A; 3.连接 AB,AC. ABC 为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图
3、形； (2)BC； (3)BDCD，AD 为底边上的中线. 第 2 页 共 32 页 (4)ADBADC90，AD 为底边上的高线. 结论 ： 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的 对称轴. 4.等边三角形4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等 腰三角形， 有三条对称轴， 每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称 轴. 要点诠释：要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为 钝角（或直角）.A1802B，BC . 180 2 A （2）等边三角形与等腰三角
4、形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形 不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角” 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 60. 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三 线合一” 2.等腰三角形中重要线段的性质2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任
5、一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距 离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成 ： 在一个三 角形中，等角对等边. 要点诠释 ： 要点诠释 ： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆判定定理得到的结论 是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三
6、角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等” ，因为还未判定它是一个等腰 三角形 2.等边三角形的判定定理2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有 30角的直角三角形3. 含有 30角的直角三角形 第 3 页 共 32 页 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法要点四、反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后 推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命
7、 题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法. 要点诠释 ：要点诠释 ： 反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的 命题一般证明步骤如下： （1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发， 经过推理论证， 得出与学过的概念、 基本事实， 以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 【典型例题】【典型例题】 类型一、等腰三角形中有关角度的计算题类型一、等腰三角形中有关角度的计算题 1、如图，在ABC 中，D 在 BC 上，且 ABACBD，130，求2 的度数. 举一反三：举一反
8、三： 【变式】已知：如图，D、E 分别为 AB、AC 上的点，ACBCBD，ADAE，DECE， 求B 的度数 类型二、等腰三角形中的分类讨论类型二、等腰三角形中的分类讨论 2、在等腰三角形中，有一个角为 40，求其余各角 第 4 页 共 32 页 3、已知等腰三角形的周长为 13，一边长为 3，求其余各边 举一反三：举一反三： 【变式】已知等腰三角形的底边 BC8，且|ACBC|2，那么腰 AC 的长为( )cmcm A10或 6 B10 C6 D8或 6cmcmcmcmcmcm 类型三、等腰三角形的性质及其运用类型三、等腰三角形的性质及其运用 4、如图，在ABC 中，边 ABAC 求证：A
9、CBABC 举一反三：举一反三： 【变式】已知 ： 如图，在ABC 中，AB=AC，A=60，BD 是中线，延长 BC 至点 E，使 CE=CD 求证：DB=DE 第 5 页 共 32 页 5、已知：如图，ABC 的两条高 BE、CD 相交于点 O，且 OB=OC，求证： ABC 是等腰三角形 举一反三 【变式 1】如图，在ABC 中，AB=AC，BAD=CAE，点 D、E 在 BC 上，试说明 ADE 是等腰三角形 类型三、 含有 30角的直角三角形类型三、 含有 30角的直角三角形 6. 如图所示，ABC 中，ACB=90，CDAB，垂足是 D，A=60.求证：BD=3AD. 举一反三：举
10、一反三： 第 6 页 共 32 页 【变式】如图，等边三角形 ABC 内一点 P，AP=3，BP=4，CP=5，求APB 的度数 类型四、反证法类型四、反证法 7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60。 举一反三： 【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若 a21，则 a1”是假命题的反例是（） A . a= 2 B . a= 1 C . a=1 D. a=2 【巩固练习】【巩固练习】 一.选择题一.选择题 1. 已知一个等腰三角形两边长分别为 5，6，则它的周长为( ) A16 B17 C16 或 17D10 或 12 2. 用反证法证明命题：如果 ABCD，ABEF，那么
11、 CDEF，证明的第一个步骤是（） A. 假设 CDEF ; B. 假设 ABEF C. 假设 CD 和 EF 不平行 D. 假设 AB 和 EF 不平行 3. 将两个全等的且有一个角为 30的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一 条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 4. 已知实数 x，y 满足|x4|+(y8)20，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 （） A20 或 16B20 C16D以上答案均不对 第 7 页 共 32 页 5. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则
12、ABC50B 度数是（ ） BDF A60 B70 C80 D不确定 6. 如图，在ABC 中，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，若ADB=93，则A=（） A31B46.5C56D62 二.填空题二.填空题 7如图，ABC 中，D 为 AC 边上一点，ADBDBC，若A40，则CBD_ 8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大 30，则顶角的度数为 9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_. 10. 等腰三角形的一个角是 70，则它的顶角的度数是 . 11.如图，AD 是ABC 的边 BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC 是等腰三角形 的是_
13、（把所有正确答案的序号都填写在横线上） BAD=ACD；BAD=CAD；AB+BD=AC+CD；ABBD=ACCD 12. 如图，ABC 的周长为 32，且 AB=AC，ADBC 于 D，ACD 的周长为 24，那 么 AD 的长为 . 第 8 页 共 32 页 三.解答题三.解答题 13已知：如图，ABC 中，ABAC，D 是 AB 上一点，延长 CA 至 E，使 AEAD 试确定 ED 与 BC 的位置关系，并证明你的结论 14.如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，BECE 于点 EADCE 于点 D 求证：BECCDA 15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角 第 9 页
14、共 32 页 角的平分线的性质（基础）角的平分线的性质（基础） 【学习目标】【学习目标】 1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质 2掌握角平分线的判定及角平分线的画法 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、角的平分线的性质要点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点诠释：要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若 CD 平分ADB，点 P 是 CD 上一点，且 PEAD 于点 E，PFBD 于点 F，则 PEPF. 要点二、角的平分线的判定要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角
15、两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释：要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若 PEAD 于点 E，PFBD 于点 F，PEPF，则 PD 平分ADB 要点三、角的平分线的尺规作图要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E. （2）分别以 D、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在AOB 内部交于点 C. 1 2 （3）画射线 OC. 射线 OC 即为所求. 要点四、三角形角平分线的性质要点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点， 此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三 边的距离相等. 第 10 页 共 32 页 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心. 三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：ABC 的 内心为，旁心为，这四个点到ABC 三边所在直线距离相等. 1 P 234 ,P P P 【典型例题典型例题】 类型一、角的平分线的性质类型一、角的平分线的性质 1如图，ACB90,BD
