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1、学 海 无 涯 基本初等函数求导公式,函数的和、差、积、商的求导法则 设u u(x)， v v(x) 都可导，则,反函数求导法则 若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y) 0 ，则它的反函数 y f (x) 在对应 区间 I x 内也可导，且,f (x) ,1 ( y) 或,dx,1,dx,dy 1,dy,复合函数求导法则,学 海 无 涯 设 y f (u)，而u (x) 且 f (u) 及 (x) 都可导，则复合函数 y f (x) 的导数为,dy dy du,g,dxdu dx 或,(x),y f (u)g,. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初
2、等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求 出 可以推出下表列出的公式：,一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程,f (x, y) =0,(1),求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导 出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1设函数 F (x, y) 在点 P(x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数，,且 F (x0 , y0 ) 0 ，,Fy (x0 , y0 ) 0 ，则方程 F (x, y) =0 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能唯,(2),2,一确定一个单值连
3、续且具有连续导数的函数 y f (x)，它满足条件 y0 f (x0 ) ，并有 dy Fx dxFy 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数 y f (x) 代入，得恒等式,学 海 无 涯 F (x, f (x) 0 , 其左端可以看作是 x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍 然恒等，即得 F F dy 0, xy dx 由于 Fy 连续，且 Fy (x0 , y0 ) 0 ，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内 Fy 0 ，于 是得 dy Fx . dxFy 如果 F (x, y) 的二阶
4、偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作 x 的复合函数而再 一次求导，即得,y ,F dy, x ,y F dx,F ,y , x , F ,dx 2x ,d 2 y,y,xy x yyy x .,xx y,yy,F 3,F 2,F 2F 2,F F 2 2F F F F, ,y ,Fx ,F ,Fxx Fy Fyz FxFxy Fy Fyy Fx , ,例 1验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数、当 x =0 时， y 1的隐函数 y f (x)，并求这函数的一阶和二阶导数在 x =0 的值。 解 设 F (x, y) x 2
5、y 2 1，则 Fx 2x, Fy 2y , F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0 .因此 由定理 1 可知，方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数、当 x =0 时， y 1的隐函数 y f (x)。 下面求这函数的一阶和二阶导数,dy Fx dxFy =, 0,xdy y ， dx x0,;,d 2 y,dx 2 =,1,3,22,2,2,y,y,y,y, , 3,y x, ,y x( x ) y, y xy , 1,3,x0,dx 2,d 2 y,。,学 海 无 涯 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定
6、一个一元隐函 数，那末一个三元方程,(3),F ( x, y, z )=0 就有可能确定一个二元隐函数。 与定理 1 一样，我们同样可以由三元函数 F ( x, y, z )的性质来断定由方程 F ( x, y, z )=0 所确定的二元函数 z = (x, y) 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。 隐函数存在定理 2设函数 F ( x, y, z )在点 P(x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内具有连续的偏 导数，且 F (x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程 F ( x, y, z )=0 在点(x0 , y0 , z0
7、 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f (x, y) ，它满足条件 z0 f (x0 , y0 ) ，并有,z x =,Fx,z,Fz , y =,Fy Fz .,(4),这个定理我们不证.与定理 1 类似，仅就公式(4)作如下推导.,由于,F ( x, y , f (x, y)0,将上式两端分别对 x 和 y 求导，应用复合函数求导法则得,z Fx + Fz x =0,z Fy + Fz y =0 。,因为 Fz 连续，且 Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ,所以存在点(x0 , y0 , z0 ) 的一个邻域，在这个邻域内Fz 0，于是得,z x
8、 =,Fx,z,Fz , y =,Fy Fz 。,例2, 2 z,解,Fz = 2z 4 .应用公式(4)，得,设 x 2 y 2 z 2 4z 0 ，求x 2 . 设 F ( x, y, z ) = x 2 y 2 z 2 4z ，则 Fx =2 x , zx x = 2 z 。,再一次 x 对求偏导数，得,x 2,(2 z)2,4,(2 z) x z, 2 z x,学 海 无 涯,.,(2 z)3,(2 z)2 x 2,(2 z)2, ,x, 2 z ,(2 z) x,二、方程组的情形 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且 增加方程的个数，例如，考虑
9、方程组,G(x, y, u, z) 0.,F (x, y, u, v) 0,(5),这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二 元函数。在这种情形下，我们可以由函数 F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二 元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。,隐函数存在定理 3,设函数 F (x, y,u, v) 、G(x, y,u, v) 在点 P0 (x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻,域内具有对各个变量的连续偏导数，又 F (x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ，G(x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ,且偏导
10、 数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):,J (u, v) = u,FF uv (F , G)GG v,u,x J,(x, v),1 (F , G), Gu,在点 P0 (x0 , y0 , u0 , v0 ) 不等于零，则方程组 F (x, y, u, v) 0 ， G(x, y, u, v) 0 在点 (x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 u u(x, y), v v(x, y) ，它满足条件u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , u0 ) ，并有 FxFv GxGv ,v,x J,1 (F , G
11、),(u, x) Gu,5,FuFv Gv,FuFv Gv FuFx GuGx ,(6),u1 (F , G),y J ( y, v) Gv,学 海 无 涯 FyFv GyGv,v1 (F , G),FuFv Gv FuFy GuGy .,FuFv Gv,y J (u, y) Gu 这个定理我们不证.,例3,uv,uv,设 xu yv 0, yu xv 1 ，求 x , y , x 和 y .,解此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后 一种方法来做。 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得,uv, y x x x v.,xx,x u y v u,在,yx,J x y x 2 y 2 0,的条件下，,x u,v yu xv . xx yx 2 y 2 yx,v y,x 2 y 2, xu yv ,u y vx,xx y yx,u ,将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法在 J x 2 y 2 0 的条件下可得 u xv yu ,v xu yv . yx 2 y 2yx 2 y 2,6,
