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1、,反比例函数,一、经典内容解析 1.反比例函数的概念 (1)(k0)可以写成(k0)的形式，注意自变量 x 的指数为-1，在 解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 k0 这一限制条件； (2)(k0)也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析 式中的 k，从而得到反比例函数的解析式；,(3) 反比例函数,的自变量x0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点.,3.反比例函数的性质(与正比例函数对比),1,，,注：,(1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别 讨论，不能一概而论.,(2) 正比例函数,与反比例函数,，,当,时，两图象没有交点；,
2、当时，两图象必有两个交点， 且这两个交点关于原点成中心对称. (3) 反比例函数与一次函数的联系.,4.反比例函数,中比例系数 k 的几何意义,(1)过双曲线,(k0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为.,(2)过双曲线,(k0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得,三角形的面积为,2,二、典型例题分析 1.反比例函数定义 2 【例 1】如果函数 y kx2k k 2 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的 值是多少？ 1.反比例函数 y 2 的图像位于（ ） x A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限,6,x,2.若双曲线 y
3、经过点A（m，2m），则 m 的值为（ ）,A. 3B. 3C. 3D. 3 3.已知某反比例函数的图象经过点（m，n），则它一定也经过点（ ） A. （m，n） B. （n，m）C. （m，n） D. （m，n）,x,4（2007 陕西）在ABC 的三个顶点 A(2， 3)，B(4， 5)，C(3，2) 中，可能在 反比例函数 y k (k 0) 的图象上的点是 ,5.若点 P（4，m）关于y 轴对称的点在反比例函 y= （x0）的图象上，则m 的值是 2.反比例函数的表示 【例 2】已知 y y y ， y 与x 成正比例， y 与x 2 成反比例，且 1212 x 2时和x 3时，y的值
4、都是19，求y与x间的函数解析式 若 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，则 y 是 z 的（ ） A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 已知 y 与(x 2) 成反比例关系，且当 x 1时， y 4 ， 则 y 关于 x 的函数解析式为 已知y1 与x 成正比例（比例系数为k1），y2与x 成反比例（比例系数为k2），若函数 y y1 y2,12,的图象经过点（1，2），（2， 1 ），则8k 5k ,2 3.反比例函数的增减性问题.,112233,3,【例 3】在反比例函数 y 1 的图像上有三点x ，y ，x ，y ，x ，y 。,x 若 x1 x2 0
5、x3 则下列各式正确的是（ ）,A y3 y1 y2 B y3 y2 y1 C y1 y2 y3 D y1 y3 y2,时，有,1在反比例函数图象上有两点 A(，)，B()，当 ，则 m 的取值范围是( ). Am0 Bm0 Cm0.5 Dm0.5,时，,2：已知反比例函数的图象上两点 A(，)，B(，)，当 有，则 m 的取值范围是 .,3：若反比例函数,上，有三点 A(，)，B(，)，C(，)，且,，则，的大小关系是 .,x,11221,2,4.设有反比例函数 y k 1 ，(x , y ) 、(x , y ) 为其图象上的两点，若 x 0 x,时， y1 y2 ，则k 的取值范围是 4.
6、反比例函数与图象的面积问题. (1)求函数解析式 1如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF 的面积为 3.求这 个反函数的解析式.,2.（2007 山东枣庄）反比例函数 y k 的图象如图所示，点 M 是该函 x 数图象上一点，MN 垂直于 x 轴，垂足是点 N，如果SMON2，则 k 的值为（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 (2)求图形面积的问题 1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于 A、B 两点，分别以 A、B 两点为圆心， 画与 y 轴相切的两个圆，若点 A 的坐标为(1，2)，求图中两个阴影面积的和.,4,C,B,A,(第 2 题图),y
7、,x,O,(3)求特殊点组成图形的面积,1如图，反比例函数 y=,与一次函数 y=-x+2 的图象相交于 A、B 两点.,(1)求 A、B 两点的坐标； (2)求AOB 的面积. 5. k 的几何意义及应用 点 P 为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是 12 个 （平方单位），则解析式为 如图，反比例函数 y 5 的图象与直线 y kx(k 0) 相交于 A、B x 两点，AC y 轴，BC x 轴，则ABC 的面积等于 个面积单位. 如图，已知双曲线 y k (x0)经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F，交 BC 于点 E，且四边 x 形 OEBF 的面积为 2，则 k 。,
8、6.反比例函数和一次函数的综合,与 y=mx-m(m0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ),例 1函数 y=,A,5,B,C,E,O,F,x,y,(第 3 题图),k,1. 已知反比例函数 y （k0），当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，那么一次,x 函数 ykxk 的图象经过（ ）,kb,2. 已知一次函数 ykxb 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数 y x 的图象在（ ）,A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限,x,3在同一坐标系中，函数 y k 和 y kx 3 的图像大致是 （ ）,A B C D,22,x,4.（2007 浙
9、江宁波）如图，是一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=的图像，则关于x 的方程 kx+b=的解为( ),x (A)xl=1，x2=2 (B)xl=-2，x2=-1 (C)xl=1，x2=-2 (D)xl=2，x2=-1,k,5. 已知反比例函数 yx （k0），当 x0 时，y 随 x 的增 大而增大，那么一次函数 ykxk 的图象经过（ ）,A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限 6.（2007 湖北潜江）如图，反比例函数 y 5 的图象与直线 y kx(k 0) 相 x 交于 B 两点，AC y 轴，BC x 轴，则ABC 的面积等于
10、 个面积单位. 例 2如图，已知 A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象的两个交点.,6,(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围.,解：(1) 点 A(-4，2)和点 B(n，-4)都在反比例函数 y=,的图象上，,解得 又由点 A(-4，2)和点 B(2，-4)都在一次函数 y=kx+b 的图象上，,解得,反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 y=-x-2. (2) x 的取值范围是 x2 或-4x0 . 例 3直线 y=k1x+b 与双曲线 y=只有个交点 A(1，2
11、)，且与 x 轴、y 轴分别交 于 B，C 两点，AD 垂直平分 OB，垂足为 D，求直线、双曲线的解析式.,解：点 A(1，2)在,上,， ,7,A(1，2)，B(2，0)在直线,上,解得 直线解析式为,.,例 4如图，已知直线,与双曲线,交于 A、B 两点，且点 A 的,横坐标为 4. (1)求 k 的值；,(2)若双曲线,上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC 的面积；,解：(1)点 A 横坐标为 4， 当 = 4 时，=2., 点 A 的坐标为(4，2)., 点 A 是直线,与双曲线,的交点，, k=42=8.,8,9,7.反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；
12、绕原点顺（逆） 时针旋转90 后的解析式 1如图，一次函数 y x b 与反比例函数 y k 的图象相交于 A、B 两点，若已知一个交 x 点为 A（2，1），则另一个交点 B 的坐标为（）,A. （2，1） C. （1，2）,B.（2，1） D. （1，2）,3,2,2反比例函数的图象经过点 M (3, ) ，将其图象向上平移,2 个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为,3若将反比例函数 y k 的图象绕原点 O 逆时针旋转90 后经过点 A（-2，3），则反比例,x 函数的解析式为：,x,x,8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题 1已知 k10k2，则函数 yk1x 和 y
13、k2 的图象大致是（） x yyyy xx,ABCD 2如图，已知直线 y1 x m 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，,x,y,D,C,B,A,O,（第 24 题图）,2,x,与双曲线 y k （x0）分别交于点 C、D，且点 C 的坐标为（-1，2）, 分别求出直线及双曲线的解析式； 求出点 D 的坐标； 利用图象直接写出当 x 在什么范围内取值时， y1 y2 ,9.求双曲线与直线交点问题；数形结合等思想方法的应用,；,1反比例函数中 y= 5 ，当 x2 时，y 的取值范围是 x 当 y-1 时，x 的取值范围是 .,2一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 2 的图象如图，则
14、关于 x 的 x,2,),方程 kx+b=的解为( x (A) xl=1，x2=2 (C) xl=1，x2=-2,(B) xl=-2，x2=-1 (D) xl=2，x2=-1,如图，利用函数图象解不等式 x 1 ， x 则不等式的解集为 不解方程，利用函数的图象判断方程 2 x 0 的 x 解的个数为,5如图，已知直线 y 1 x 与双曲线 y k (k 0) 交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为4 2x,（1）求k 的值；,k,（2）若双曲线 y (k 0) 上一点C 的纵坐标为 8，,x 求AOC 的面积；,（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线 y k (k 0) 于 P、Q,x
15、两点（ P 点在第一象限），若由点 A、B、P、Q 为顶点组 成的四边形面积为24 ，求点 P 的坐标,29 图,O,x,A,y,B,（第 26 题图）,（第 27 题图）,10,10反比例函数中的综合问题及探究性问题,1,2 3,1将 x ,1,x,代入反比例函数 y 中，所得函数值记为 y,1,，将 y1 的值代入 x y1 1 中，,得到 x2 的值；并将 x2 的值再次代入函数 y 1 中，所得函数值记为 y2，再将 y2 的值 x,2,x,代入 x y 1中得到 x3 ，并再次将 x3 代入函数 y 1 中，所得函数值记为 y3，,如此继续下去 完成下表.,观察上表，你发现了什么规律？猜想 y2007= ,2如图，已知点 A 在反比例函数的图象上， AB x轴于点B ， 点 C（0，1），且ABC 的面积是 3，求反比例函数的解析式.,3已知点 A (a, b),且ab 0 ，AMy 轴于点 M，点 N (c,0) 在 x 轴上， AMN 的面积是
