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1、蝴蝶模型蝴蝶模型 一、蝴蝶模型与任意四边形一、蝴蝶模型与任意四边形 4321 SSSS 在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面 积之积相等。 在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面 积之积相等。 推导：推导：由等积变形模型可知： OC AO S S BOC AOB OC AO S S COD AOD COD AOD BOC AOB S S S S 2 4 3 1 S S S S 即 4321 SSSS 二、蝴蝶模型与梯形二、蝴蝶模型与梯形 4321 SSSS 21 SS 推导：推导： 同上 过点A作三角形ABC的高， 过点D 1 h 作 BC
2、D 的高 2 h BCAD/ （两平行线之间高相等） 21 hh 1 2 1 hBCS ABC 2 2 1 hBCS BDC BDCABC SS 3231 SSSS 21 SS 三、蝴蝶模型与平行四边形三、蝴蝶模型与平行四边形 （一） 4321 SSSS 4321 SSSS 推导推导： 同上 （同底等高） BCDABC SS ACDBCD SS 4241 SSSS 2324 SSSS 21 SS 43 SS ODOB OCOA 31 SS 42 SS （二） 即：对角平行四边形面积乘积相等即：对角平行四边形面积乘积相等 4321 SSSS （在平行四边形 ABCD 内作两条分别平行于两组相对边
3、的线段 GH、EF） 推导：推导：连接 GE、EH、HF、FG，过点 E 作 EM 垂直于 GH 于点 M EMOGS OGE 2 1 EMOGSS 1平行四边形 1 2 1 SS OGE 同理可得： 3 2 1 SS OGF 2 2 1 SS OFH 4 2 1 SS EOH 由蝴蝶定理可知： EOHOGFOFHOGE SSSS 4321 2 1 2 1 2 1 2 1 SSSS 4321 SSSS 四、蝴蝶模型与长方形四、蝴蝶模型与长方形 （一） 4321 SSSS 4321 SSSS （二） 即：对角长方形面积乘积相等即：对角长方形面积乘积相等 4321 SSSS 五、蝴蝶模型与正方形五
4、、蝴蝶模型与正方形 “子母图”两共线相邻的正方形“子母图”两共线相邻的正方形 在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即 a/b、c/d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。 例例 1：如下图所示，在梯形 ABCD 中，对角线 BD，AC 相交于点 O，AOD 的面 积是 6，AOB 的面积是 4，那么梯形 ABCD 的面积是多少？ 分析：梯形 ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积， 由蝴蝶定理容易求出三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积，进而可以求出梯形 ABCD 的面积。 解：由蝴蝶定理可知：SBOC=
5、 SAOD= 6 SDOC= 6 6 4 = 9 梯形ABCD的面积是9 + 6 + 4 + 6 = 25 答：梯形 ABCD 的面积是 25。 例例 2：如图，求阴影部分的面积。 （单位 cm2） 分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等” ，可直接求出阴 影部分的面积。 解：（cm2）S阴影= 28 6 12 = 14 答：阴影部分的面积为 14 平方厘米。 例例 3：下图是两个正方形，大正方形边长是 8，小正方形边长是 6，求图中阴影 部分的面积。 （单位：厘米） 分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为 容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一
6、重要结论可知，连接 AC， 所以 AC 平行于 GE， 由梯形的蝴蝶定理可知， 三角形 AOG 和三角形 COE 面积相等， 因此，阴影部分的面积就等于三角形 GCE 的面积，即小正方形面积的一半。 解：连接 AC ACGE 由梯形的蝴蝶定理可知：SAOG= SCOE （cm2）S阴= SCOE+ SGOE= SGCE= 1 2 6 6 = 18 答：阴影部分的面积为 18 平方厘米。 2812 6 AB DC 4 6 O A B C D E F G O 练习题练习题 1. 如图， 某公园的外轮廓是四边形 ABCD， 被对角线 AC， BD 分成四个部分， AOB 面积为 1 平方千米，BOC 面积为 2 平方千米，COD 的面积为 3 平方千米。 公园由 6.92 平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千 米？ 2. 如图，长方形 ABCD 被 CE、DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，求余下的四边形 OFBC 的面积。 3. 如图，在长方形 ABCD 中，ABP 的面积为 30 cm2，CDQ 的面积为 80 cm2， 求阴影部分的面积。 4. 如图，四边形 ABCG 和 CDEF 都是正方形，DC 等于 12 厘米，CB 等于 10 厘米， 求阴影部分的面积。
