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1、二项式定理,一、二项式定理：,nnnn,a b C a,k nk k,n0 n1 n1,n n,C ab C ab C b （ n N ）等号右边的多项式叫做,nk,n,a b 的二项展开式，其中各项的系数C (k 0,1,2,3 n) 叫做二项式系数。,对二项式定理的理解： 二项展开式有n 1项 字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 到 0；字母b 按升幂排列，从 第一项开始，次数由 0 逐项加 1 到n 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数 a, b ，等式都成立，通过对a, b 取不同 的 特 殊 值， 可 为某 些 问题 的 解决 带 来方 便。 在 定 理中 假
2、 设 a 1，b x ，则,nnnn,n0 n1k nkn n,1 x C x C x C x C x （ n N ）,（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式a bn 展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式a bn,二、二项展开式的通项： T, Ck ankbk,k 1n,k 1n,二项展开式的通项T Ck ankbk (k 0,1,2,3 n) 是二项展开式的第 k 1 项，它体现了,二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特 定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广 泛应用,k 1
3、n,对通项T Ck ankbk (k 0,1,2,3 n) 的理解：,字母b 的次数和组合数的上标相同 a 与b 的次数之和为n 在通项公式中共含有a, b, n, k,Tk 1 这 5 个元素，知道 4 个元素便可求第 5 个元素 例 1 C1 3C 2 9C 3 3n1 Cn 等于（） nnnn,n,n,A 4B。3 4,3,4n,C。 1D.,3,4n 1,例 2（1）求(1 2x)7 的展开式的第四项的系数；,1 9,x,3,（2）求(x ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数,奎屯,1,新疆 王新敞,三、二项展开式系数的性质： 对称性： 在二项展开式中， 与首末两端“ 等距离” 的两
4、项的二项式系数相等， 即 C 0 Cn ,C1 Cn1 ,C 2 Cn2 , Ck Cnk , nnnnnnnn 增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。,如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即,n,n,k,n max,n 偶数： C , C 2 ；,n1n1,k,n max,如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即C , Cn 2 Cn 2,二项展开式的各系数的和等于 2n ，令 a 1， b 1即C0 C1 Cn (11)n 2n ； nnn 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等， 令 a 1 ， b 1 即
5、C 0 C 2 C1 C 3 2n1 nnnn 例题：写出(x y)11 的展开式中： 二项式系数最大的项； 项的系数绝对值最大的项； 项的系数最大的项和系数最小的项； 二项式系数的和； 各项系数的和 四、多项式的展开式及展开式中的特定项 （1）求多项式(a a a )n 的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用 12n 二项式定理展开。,x2,2,例题：求多项式(x2 1 2)3 的展开式,（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。 例题：求(1 x)2 (1 x)5 的展开式中 x3 的系数,n,例题：（1）如果在x ,4,2 x,
6、1,的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的 ,有理项。,3,3,1 x,（2）求 x ,2 的展开式的常数项。,【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k 五、展开式的系数和 求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定 例题：已知(1 2x)7 a a x a x2 L a x7 ，求： 0127 （1） a1 a2 L a7 ； （2） a1 a3 a5 a7 ； （3）| a0 | | a1 | L | a7 | .,六、二项式定理的应用： 1、二项式定理还应用与以下几方面： 进行近似计算 证明某些整除性问题或
7、求余数 证明有关的等式和不等式。如证明： 2n 2nn 3, n N 取2n 11n 的展开式 中的四项即可。 2、各种问题的常用处理方法,（1）近似计算的处理方法 当 n 不是很大，| x |比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n 的近似值。,（,）,例题： (1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是 A1.23B1.24C1.33D1.34,（2）整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k 的和或差的形式， 再利用二项式定理展开，这里的k 通常为 1，若 k 为其他数，则需对
8、幂的底数k 再次构造 和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了 要注意余数的范围，对给定的整数a, b(b 0) ，有确定的一对整数 q 和r ，满足a bq r ， 其中b 为除数， r 为余数， r 0, b ，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数， 要注意转换成正数 例题：求201363 除以 7 所得的余数 例题： 若n 为奇数，则7n C1 7n1 C 2 7n2 Cn1 7 被 9 除得的余数是（） nnn A0B。2C。7D.8,n,4,例题：当n N 且 n 1，求证2 (1 1 )n 3,【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定,
9、综合测试,一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.,1在x 310 的展开式中， x 6 的系数为,（,）,A 27C6B 27C4C 9C6D 9C4 10101010 2 已知a b 0, b 4a ， a bn 的展开式按 a 的降幂排列，其中第 n 项与第 n+1 项相 等，那么正整数 n 等于（） A4B9C10D11,1,3 a 2,3已知（ a ,)n 的展开式的第三项与第二项的系数的比为 112，则 n 是 （,）,B11,C12,D13,（,）,A10 45310 被 8 除的余数是 A1,B2C3
10、,D7,（,）,5 (1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是 A1.23B1.24C1.33D1.34,n,6二项式 2,4 x ,1,x ,(nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开,式有理项的项数是,（,）,A1B2C3D 4 11 7设(3x 3 +x 2 ) n 展开式的各项系数之和为 t，其二项式系数之和为 h，若 t+h=2 72，则展开 式的 x 2 项的系数是（） A 1B1C2D3 2,（）,8在(1 x x 2 )6 的展开式中 x 5 的系数为 A4B5C6D7,xx,9 (3 1 5 1 )n 展开式中所有奇数项系数之和等于 1024，则所有
11、项的系数中最大的值是,（,）,D790,（,）,A330B462C680 10 ( x 1)4 (x 1)5 的展开式中， x 4 的系数为 A40B10C40,D45,5,2,5,11二项式(1+sinx)n 的展开式中，末尾两项的系数之和为 7，且系数最大的一项的值为，,则 x 在0，2内的值为（）,A或,B或C或D或,63663336,525,（,）,在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7 的展开式中,含 x4 项的系数是等差数列 an=3n5 的 A第 2 项B第 11 项C第 20 项D第 24 项,二、填空题：本大题满分 16 分，每小题 4 分，各题只要求直接写出结果.,13
12、 (x 2 1 )9 展开式中 x 9 的系数是,.,2x 14若2x ,34 a a x a x4 ，则a a a 2 a a 2 的值为 . 01402413,若 (x3 x2 )n 的展开式中只有第 6 项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 对于二项式(1-x)1999 ，有下列四个命题： 展开式中 T1000 x 999 ； 1000 = C 1999 展开式中非常数项的系数和是 1； 展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项； 当 x=2000 时，(1-x)1999 除以 2000 的余数是 1 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题：
13、本大题满分 74 分. 17（12 分）若(6 x 1 )n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列 6 x （） 求 n 的值； （）此展开式中是否有常数项，为什么？,6,1,18 （12 分）已知( 2x )n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，求展式中二项 4 式系数最大的项的系数,19（12 分）是否存在等差数列，使,1,0,a a,n1 n2 n3 nn1 n,C a C a C2 aCn n 2n 对任意,n N* 都成立？若存在，求出数列a 的通项公式；若不存在，请说明理由 n,20（12 分）某地现有耕地 100000 亩，规划 10 年后粮食单产比现在增加 2
14、2%，人均粮食占 有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少 亩（精确到 1 亩）？,21. （12 分）设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n N )，若其展开式中，关于 x 的一次项系数为 11， 试问：m、n 取何值时，f(x)的展开式中含 x2 项的系数取最小值，并求出这个最小值.,7,m!,8,m,x,22（14 分）规定C,x(x 1) (x m 1),，其中 xR，,0,x,m 是正整数，且C 1,，这是,n,组合数Cm （n、m 是正整数，且 mn）的一种推广,15,(1) 求C3 的值；,x,x,(C ),C 3,(2) 设 x，当 x 为何值时，1 2 取得最小值？,(3) 组合数的两个性质； Cm Cnm . Cm Cm1 Cm . nnnnn1,是否都能推广到Cm （xR，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式,x 并给出证明；若不能，则说明理由.,
