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1、. 1 沪科版八年级数学下册知识总结 一元二次方程知识点： 1. 一元二次方程的一般形式 : a0 时，ax 2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的 有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2.一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是 适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大， 且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3.一元二次方程根的判别式 : 当 ax
2、2+bx+c=0 (a 0)时， =b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式 .请注意以 下等价命题： 0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根； 0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当 ax 2+bx+c=0 (a0) 时，如0，有下列公式： . a c xx a b xx)2( a2 ac4bb x)1( 2121 2 2, 1 ，； 5. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） 2 (0)xa a解为：xa 2 ()(0)xab b解为：xab 2 ()(0)axbc c解为：axbc 22 ()() ()axbcxdac
3、解为：()axbcxd （2）因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如： 2 0( ,0)()0axbxa bx axb此类方程适合用提公因式，而且其中一根为0 2 90(3)(3)0 xxx 2 30(3)0 xxx x 22 694(3)4xxx . 2 3 (21)5(21)0(35)(21)0 xxxxx 22 41290(23)0 xxx 2 4120(6)(2)0 xxxx 2 25120(23)(4)0 xxxx （3）配方法 二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，如下所 示： 222 0()()0 22 PP xPxqxq 示例：
4、22233 310()( )10 22 xxx 二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 2222 0 (0)()0 ()()0 22 bbb axbxcaa xxca xac aaa 22 22 2 4 ()() 2424 bbbbac a xcx aaaa 示例： 22221111 210(4 )10(2)210 2222 xxxxx （4）公式法： 一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 当 2 40bac时 ， 右端 是 正 数 因 此 ，方 程 有 两 个不 相 等 的实 根 ： 2 1
5、,2 4 2 bbac x a 当 2 40bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： 1,2 2 b x a 当 2 40bac时，右端是负数因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤： 把方程化成一元二次方程的一般式： 2 0 (0)axbxca，并确定出a、b、c 求出 2 4bac，并判断方程解的情况。 代公式： 2 1,2 4 2 bbac x a （要注意符号） 5当 ax 2+bx+c=0 (a 0) 时，有以下等价命题： . 3 (以下等价关系要求会用公式 a c xx a b xx 2121 ，；=b 2-4ac 分析，不要求背记 ) （1）两根互为相反数 a b =
6、 0 且 0 b = 0 且 0； （2）两根互为倒数 a c =1 且 0 a = c 且 0； （3）只有一个零根 a c = 0 且 a b 0 c = 0 且 b 0； （4）有两个零根 a c = 0 且 a b = 0 c = 0 且 b=0 ； （5）至少有一个零根 a c =0 c=0 ； （6）两根异号 a c 0 a、c 异号； （7） 两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 a c 0 且 a b 0 a、 c 异号且 a、 b 异号； （8） 两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 a c 0 且 a b 0 a、 c 异号且 a、 b 同号； （9）有两个正根 a c 0，
7、a b 0 且 0 a、c 同号，a、b 异号且 0； （10）有两个负根 a c 0， a b 0 且 0 a、c 同号， a、b 同号且 0. 6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当0 时，二次三项式在实数范围内不能 分解.ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x2) 或ax 2+bx+c= a2 ac4bb x a2 ac4bb xa 22 . 7求一元二次方程的公式：x 2 - （x 1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：求出方程的系数应为整数. 8平均增长率问题 -应用题的类型题之一（设增长率为 x） ： (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a
8、(1+x) 2 . （2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年 或第一年 +第二年 +第三年 =总和. 9分式方程的解法： .0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母 公分母 两边同乘最简 去分母法 .0 . 2分母，值验增根代入原方程每个 换元 凑元，设元， 换元法）（ 11几个常见转化： ；或 ； )xx(xx4)xx()xx( )xx(xx4)xx()xx( xx2) x 1 x( x 1 x 2) x 1 x( x 1 xxx4)xx()xx(xx2)xx(xx)1 ( 2121 2 21 2 21 2121 2 21 2 21 21 2 2 2 2 2 2 21
9、2 21 2 2121 2 21 2 2 2 1 . 4 222 121212 ()2xxxxx x， 12 1212 11xx xxx x ， 22 121212 ()()4xxxxx x， 2 121212 |()4xxxxx x， 22 12121212 ()x xx xx xxx， 2 21112 121212 22 212 ()4xxxxxxx x xxx xx x 等 4xx.2 2xx2xx.1 2xx)2( 2 21 2121 21 ）两边平方为（ 和分类为 ； .,)2( 3 4 x x 3 4 x x ) 1( ) 9 16 x x ( 3 4 x x )3( 2 1 2
10、1 2 2 2 1 2 1 因为增加次数两边平方一般不用 和分类为 或； 二次根式知识点： 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为 负数没有平方根， 所以是为二次根式的前提条件， 如，等是二次根式， 而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二 次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性
11、（）表示 a 的算术平方根， 也就是说，（）是一个非负数， 即0 （） 。 注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的 算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性 质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时 应用较多，如若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。 知识点四：二次根式（） 的性质 （）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式 也可以反过来应用：若，则，如：，.
12、. 5 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等 于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数 -a,即； 2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方， 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数， 0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有 差别
13、的，而 2、 相同点： 当被开方数都是非负数， 即时，=；时，无意义， 而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、 3、 a（a0）、 x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2 、（x+y ）2 、 x2+2xy+y2等 （3）最终结果分母不含根号。 知识点八：二次根式的乘法和除法 1.积的算数平方根的性质 ab= a b（a0，b0） 2. 乘法法则 a b= ab（a0，b0） . 6 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于 这两个因式积的算术平方根。 3.除法法则 ab= a b
14、（a0，b0 ） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这 两个数商的算数平方根。 4.有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化 根式 ,也称有理化因式。 知识点九：二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就 把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的 进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算 1 确定运算顺序2
15、 灵活运用运算定律3 正确使用乘法公式 4 分母有理化要及时5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知识点十一：分母有理化 . 7 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 II.分母是多项式 要利用平方差公式 如图 注意： 1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。 勾股定理知识总结： 一基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。 （即：a 2 +b 2 c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质 之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则 22 cab， 22
16、bca， 22 acb） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 . 8 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b2 c 2，那么这 个三 角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证 c 2 与 a 2+b2 是否具有相等关系，若c 2a2+b2，则ABC 是以C为直角的直角三角形（若c 2a2+b2，则ABC是以C 为钝 角的钝角三角形；若c 2a2+b2，则 ABC为锐角三角形）。 （定理中 a，b，c及 222 abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边 长a，b，c满足 222 acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区
