《2020高中数学第2章圆锥曲线与方程章末综合检测苏教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高中数学第2章圆锥曲线与方程章末综合检测苏教版选修2-1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第 2 章 圆锥曲线与方程 一、填空题 ( 本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分把答案填在题中横线上) 1. 椭圆 x 2 20 y 2 k 1 的焦距为6，则k的值为 _ 解析：由已知2c6，c 3，而c 2 9， 20 k 9 或k 209，k11 或k29. 答案： 11 或 29 2.双曲线 mx 2 y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则m_. 解析：由题意知，mb0)，则有 2b 2 a 2 a 2 c c1 ，即 2b 2 a 2， b 2 c 1， 得e 2 2 . 答案： 2 2 4. 与x 24y21 有相同的渐近线，且过 M(4 ，3) 的双曲线方程为_
2、解析：设方程为x 24y2 (0)，将M(4，3) 代入方程得4，所以方程为 x 2 4 y 21. 答案： x 2 4 y 21 5. 已知双曲线3x 2y29，则双曲线右支上的点 P到右焦点的距离与点P到右准线的距 离之比等于 _ 解析：即求离心率，双曲线化为标准方程 x 2 3 y 2 9 1， 可知a3，ca 2 b 2 39 23，e c a 23 3 2. 答案： 2 6. 若抛物线y 22px 的焦点与椭圆 x 2 6 y 2 2 1 的右焦点重合，则p的值为 _ 解析：椭圆 x 2 6 y 2 2 1 的右焦点为 (2 ，0)，而抛物线y 22px 的焦点为 ( p 2，0)
3、，则 p 2 2， 故p4. 答案： 4 2 7. 设O为坐标原点， F为抛物线y 24x 的焦点，A是抛物线上一点，若OA AF 4， 则点A的坐标是 _ 解析：由题意得F(1，0)，设A( y 2 0 4 ，y0) ，则OA ( y 2 0 4 ，y0) ，AF (1 y 2 0 4 ，y0) ，由OA AF 4，解得y02，此时点A的横坐标为 y 2 0 4 1，故点A的坐标是 (1 ， 2) 答案： (1 ， 2) 8. 设P是椭圆 x 2 25 y 2 161 上的任意一点，又点 Q的坐标为 (0， 4) ，则PQ的最大值为 _ 解析：设P的坐标 (x，y) ，则PQ 2 x 2(
4、y4) 225(1 y 2 16) ( y4) 2 9 16( y 64 9 ) 2 625 9 ( 4y4)， 当y4 时，PQ 2 最大， 此时PQ最大，且PQ的最大值为 25（ 1 4 2 16）（ 44） 28. 答案： 8 9. 以双曲线 x 2 9 y 2 161 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 _ 解析：由题意知圆心坐标应为(5 ，0)又因为点 (5 ，0)到渐近线y 4 3x 的距离为 4， 所以圆的方程为x 2 y 210 x9 0. 答案：x 2 y 210 x90 10. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭 圆上的点的最
5、短距离为3，则这个椭圆方程为_ 解析：由题意知 ac3 c a 1 2 ，解得 a23 c3 ， 椭圆方程为 x 2 12 y 2 9 1 或 y 2 12 x 2 9 1. 答案： x 2 12 y 2 9 1 或 y 2 12 x 2 9 1 11. 已知两点M( 2，0) ，N(2 ，0) ，点P为坐标平面内的动点， 满足 |MN | |MP | MN NP 0，则动点P(x，y) 的轨迹方程为_ 解析：设P(x，y) ，M( 2， 0) ，N(2 ，0) ，则MN (4，0) ，|MN | 4， MP ( x2，y) ， NP (x2，y) ； 由|MN | |MP | MN NP 0
6、， 得 4（x2） 2 y 2 4( x2) 0， 化简整理得y 2 8x. 答案：y 2 8x 12. 设过点P(x，y) 的直线分别与 x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与 点P关于y轴对称，O为坐标原点， 若BP 2PA 且OQ AB 1，则点P的轨迹方程是 _ 解析：设P(x，y) ，则Q(x，y) ，又设A(a，0) ，B(0 ，b) ，则a0，b0. 3 于是BP (x，yb) ，PA (ax，y) ，由BP 2PA 可得a3 2x，b3y，所以 x0，y0. 又AB ( a，b) ( 3 2x，3y) ， 由OQ AB 1 可得3 2x 23y21( x0，y0) 答
7、案： 3 2x 2 3y21( x0，y0) 13. 抛物 线y 2 x上 存在两点关于直 线ym(x 3) 对称，则m的 取值范围是 _ 解析：法一：设两对称点的坐标为A(x1，y1) ，B(x2，y2) 且AB所在直线的方程可设为：y 1 m xb， 代入y 2x，得 y 2 mymb0， y1y2m， 且m 24mb 0. 设A、B的中点为 (x0，y0) ，则y0 y1y2 2 m 2， 又A、B的中点在直线ym(x3)上，所以x0 5 2， 又(x0，y0) 在直线y 1 m xb上 by01 m x0 m 2 5 2m ， 代入并整理得：m 210， 10m10， m的取值范围是
8、( 10，10) 法二：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2) ，且A、B的中点为 (x0，y0) ，依题意， 则有： y 2 1x1 y 2 2x2 y1y2 x1x2 1 m y1y22y0， x1x22x0 y0m（x0 3） y 2 0 x0 得： (y1y2)(y1y2) x1x2， 将代入上式得：y0 m 2， 将代入得：x0 5 2， 将代入得 m 2 2 5 2， m 210， 10m10. m的范围是 ( 10，10) 答案： ( 10，10) 4 14. 已知F1，F2为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0 且ab) 的两个焦点，P为双曲线右
9、支上异 于顶点的任意一点，O为坐标原点下面四个命题： PF1F2的内切圆的圆心必在直线xa上； PF1F2的内切圆的圆心必在直线xb上； PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上； PF1F2的内切圆必通过点(a，0) 其中真命题有_( 写出所有真命题的代号) 解析：设PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则PAPB， F1AF1M，F2BF2M，又点P在双曲线右支上，所以PF1PF22a，故F1MF2M2a，而F1M F2M2c，设M点坐标为 (x， 0)，则由F1MF2M 2a可得 (xc) (cx) 2a解得xa， 显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，
10、故正确 答案： 二、解答题 ( 本大题共6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.( 本小题满分 14 分 ) 如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m. (1) 试建立坐标系，求抛物线的标准方程； (2) 若水面上升1 m，求水面宽度 解： (1) 如图，以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系， 设抛物线的标准方程为x 2 2py( p0) 由已知条件可知，点B的坐标是 (4 ， 4) ，代入方程，得4 2 2p( 4)，即 p2. 所以，所求抛物线标准方程是x 2 4y. (2) 若水面上升1 m，则y 3，代入x 2 4y， 得x 24
11、( 3)12， x23，所以这时水面宽为43 m. 16. ( 本小题满分14 分 ) 已知双曲线过点 (3 ， 2)， 且与椭圆4x 29y236 有相同的焦点 (1) 求双曲线的标准方程； (2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程 解： (1) 把椭圆方程化为标准形式为 x 2 9 y 2 4 1，焦点坐标为F1( 5，0) ，F2(5，0) 故设双曲线的标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0) ，则 a 2 b 2 5 9 a 2 4 b 2 1 ，解得 a 23 b 22， 故所求双曲线的标准方程为 x 2 3 y 2 2 1. (2) 由(1) 知双曲线的
12、右准线方程为x 35 5 ，即为抛物线的准线方程故设抛物线的标 准方程为y 2 2px( p0)，则有 p 2 35 5 ，故p6 5 5 . 所以抛物线的标准方程为y 2 125 5 x. 5 17. ( 本小题满分14 分 ) 已知双曲线 x 2 9 y 2 271 与点 M(5 ，3) ，F为右焦点， 试在双曲线上 求一点P，使PM 1 2PF最小，并求出这个最小值 解：双曲线的右焦点F(6，0) ，离心率e 2，右准线为l：x3 2. 作 MNl于N，交双曲 线右支于P，连结FP，则PFePN2PN?PN 1 2PF . 此时PM 1 2PF PMPNMN 53 2 7 2为 最小值
13、在 x 2 9 y 2 271 中，令 y3，x 212? x23； 又x0，取x23. 即当所求P点的坐标为 (23，3) 时，PM 1 2PF 取最小值 7 2. 18. ( 本小题满分16 分 ) 已知F1，F2是椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的左、右焦点，点N( 2， 1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足NM F2M 0； (1) 求椭圆C的方程； (2) 设P为椭圆C上一点，且F1PF2 3 ，求F1PF2的面积 解： (1) 由已知，点N( 2， 1) 在椭圆上， 有 2 a 2 1 b 21， 又NM F2M 0，M在y轴上，M为NF2的中点， 2
14、c0，c2. 有a 2b22， 由，解得b 22( b 2 1 舍去 ) ， a 24，故所求椭圆 C的方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2) 设PF1m，PF2n， 则SF1PF2 1 2mn sin 3 3 4 mn. 由椭圆的定义知PF1PF22a，即mn4. 又由余弦定理得PF 2 1PF 2 22PF1PF2cos 3 F1F 2 2，即m 2n2 mn(22) 2. 由 2，得 mn8 3， SF1PF2 2 3 3. 6 19. ( 本小题满分16 分 ) 已知抛物线y 22px( p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4， 且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.
15、 过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB 的中点为M. (1) 求抛物线方程； (2) 过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标； (3) 以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m，0) 是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系 解： (1) 抛物线y 22px 的准线为x p 2， 于是 4 p 2 5， p2. 抛物线方程为y 24x. (2) 点A的坐标是 (4 ，4)，由题意得B(0 ，4) ，M(0，2) ， 又F(1 ，0) ，kFA 4 3； MNFA，kMN 3 4， 则FA的方程为y 4 3( x1)， MN的方程为y2 3 4x. 解方程组 y 4 3（ x1） y2 3 4x ，得 x 8 5 y4 5 ， 点N的坐标为 ( 8 5， 4 5) (3) 由题意得，圆M的圆心是点 (0，2) ，半径为 2. 当m4 时，直线AK的方程为x 4，此时，直线AK与圆M相离， 当m4 时，直线AK的方程为y 4 4m (xm)， 即为 4x(4 m)y 4m0， 圆心M(0 ，2) 到直线AK的距离d |2m8| 16（m4） 2， 令d2，解得m1. 当m1 时，直线AK与圆M相离； 当m1 时，直线AK与圆M相切； 当m1时，直线AK与圆M相交 20. ( 本小题满分16 分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 x 2 9 y 2 5
