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1、10.3统计案例【高考目标导航】一、考纲点击1.了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用;2.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.二、热点提示1.本部分主要内容是变量的相关性及其几种常见的统计方法.在高考中主要是以考查独立性检验、回归分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来了解一些基本的统计思想;2.本部分在高考中多为选择、填空题,也有可能出现解答题,都为中低档题.【考纲知识梳理】1.回归分析(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法;(2)随机误差:线性回归模型用表示，其中为模型的未知数，称为随机误差.(3)样本点的中心在具有线性相关关系的数据
2、中,回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为:其中称为样本点的中心.(4)相关系数当时,表明两个变量正相关;当时,表明两个变量负相关.的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.2.残差分析(1)总偏差平方和把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来即:(2)残差数据点和它回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应,称为残差.(3)残差平方和.(4)相关指数的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中, 表示解释变量对预报变量变化的贡献率, 越接近于1,表示回归的效果越好.3.独立性检验(
3、1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量.(2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为,其样本频数列联表(称为22列联表)为22列联表总计总计构造一个随机变量,其中为样本容量.(3)独立性检验利用随机变量来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.注: 在独立性检验中经常由得到观测值,则=是否成立？（与的关系并不是=，是的观测值，或者说是一个随机变量，它在，）取不同值时，可能不同，而是取定一组数，后的一个确定的值.【要点名师透析】(一)线性回归分析相关链接1.首先利
4、用散点图判断两个变量是否线性相关.2.求回归方程.(1)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计而来的,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.(2)回归方程中的表示增加1个单位时的变化量为.(3)可以利用回归方程预报在取某一个值时的估计值.3.相关系数利用相关系数来衡量两个变量之间的线性相关的强弱.4.建立回归模型的步骤(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程).(4)按一定规则估计回归方程中的参
5、数(如最小二乘法).(5)得出结果后分析残差是否异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否适合等.注:回归方程只适用于我们所研究的样本的总体,而且一般都有时间性.样本的取值范围一般不能超过回归方程的适用范围,否则没有实用价值.例题解析例测得某国10对父子身高(单位:英寸)如下:(1)对变量进行相关性检验;(2)如果之间具有线性相关关系,求回归方程.(3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子的身高.思路解析:(1)先根据已知计算相关系数,判断是否具有相关关系.(2)再利用分工求出回归方程进行回归分析.解答:(1)所以之间具有很强的线性相关关
6、系.(2)设回归方程为.由.故所求的回归方程为:.(3)当x=73时, .所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子身高约为69.9英寸.(二)非线性回归分析相关链接1.非线性回归模型:当回归方程不是形如时称之为非线性回归模型.2.非线性回归模型的拟合效果:对于给定的样本点,两个含有未知数的模型,其中都是未知参数.可按如下的步骤比较它们的拟合效果:(1)分别建立对应于两个模型的回归方程,其中分别是参数的估计值;(2)分别计算两个回归方程的残差平方和;(3)若,则;反之, 例题解析例为了研究某种细菌随时间x变化时,繁殖个数y的变化,收集数据如下:(1)用天数x作解释变量,繁殖个数y作预报变量,作出这些
7、数据的散点图;(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系;(3)计算残差平方和、相关指数.思路解析:作出散点图分析与哪种曲线拟合转化线性关系进行回归分析.解答:(1)所作散点图如图所示.(2)由散点图看出样本点分析在一条指数函数的周围,于是令,则由计算器得:则有.(3) 则,=24642.8,即解释变量天数对预报变量细菌的繁殖个数解释了99.99%.(三)独立性检验例在调查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关?你所得到的结论在什么范围内有效?思路解析:(1)先由已知作出调查数据的列联表;(2)再根据列联表画出二维
8、条形图,并进行分析;(3)利用独立性检验作出判断.解答:根据题目所给的数据作出如下的联表:根据列联表作出相应的二维条形图,如图所示.从二维条形图来看,在男人中患色盲的比例,要比在女人中患色盲的比例要大,其差值为差值较大,因而我们可以认为“性别与患色盲是有关的”，根据列联表中所给的数据可以有代入公式得。由于10.828,所以我们有99.9%的把握认为性别与患色盲有关系.这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效.注:利用图形来判断两个变量之间是否有关系,可以结合所求的数值来进行比较.作图应注意单位统一、图形准确,但它不能给出我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度,若要作出精确的判断,
9、可以作独立性检验的有关计算.【感悟高考真题】1. （2011山东高考理科7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A）63.6万元 （B）65.5万元 （C）67.7万元 （D）72.0万元【思路点拨】本题可先利用公式求出回归直线方程，再预报广告费用为6万元时销售额.【精讲精析】由表可计算,因为点在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,选B.2. （2011山东高考文科8）某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告
10、费用为6万元时销售额为（ ）（A）63.6万元 （B）65.5万元 （C）67.7万元 （D）72.0万元【思路点拨】本题可先利用公式求出回归直线方程，再预报广告费用为6万元时销售额.【精讲精析】由表可计算,因为点在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,故选B.3. （2010安徽文数）18、（本小题满分13分） 某市2010年4月1日4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）: 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,
11、85,75,71,49,45,() 完成频率分布表；（）作出频率分布直方图；（）根据国家标准，污染指数在050之间时，空气质量为优：在51100之间时，为良；在101150之间时，为轻微污染；在151200之间时，为轻度污染。请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.【命题意图】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识. 【解题指导】（1）首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。()答对下述两条中的一条即可：该市一个月中空气污染指数有2天处
12、于优的水平，占当月天数的，有26天处于良的水平，占当月天数的，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的。说明该市空气质量基本良好。轻微污染有2天，占当月天数的。污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善。【规律总结】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的回答，要选择适当的数据特征进行考察，根据数据特征分析得出实际问题的结论.
13、【考点模拟演练】一、选择题1. 下列属于相关现象的是（ ）利息与利率居民收入与储蓄存款电视机产量与苹果产量某种商品的销售额与销售价格答案：2. 炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有（ ） 确定性关系 相关关系 函数关系 无任何关系答案:B 3. 当时，认为事件与事件（ ）有的把握有关有的把握有关没有理由说它们有关不确定答案：4.设有一个回归方程为，变量增加一个单位时，则（ ） 平均增加个单位 平均增加2个单位平均减少个单位平均减少2个单位答案:C5. 如图所示，图中有5组数据，去掉组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（ ）答案：6. 为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地
14、调查了9965人，得到如下结果（单位：人）不患肺癌患肺癌合计不吸烟7775427817吸烟2099492148合计9874919965根据表中数据，你认为吸烟与患肺癌有关的把握有（ ）答案：7. 在一次实验中，测得的四组值分别是，则与之间的回归直线方程为（ ） 答案：A8已知、之间的数据如下表所示，则与之间的线性回归方程过点（ ） 答案：D9. 某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：广告费24568销售额3040605070则广告费与销售额间的相关系数为（ ）0.8190.9190.9230.95答案：10. 每一吨铸铁成本 (元)与铸件废品率建立的回归方程，下列说法正确的是（ ）废品率每增加1%，成本每吨增加64元废品率每增加1%，成本每吨增加8%废品率每增加1%，成本每吨增加8元如果废品率增加1%，则每吨成本为56元答案：11在对一组数据采用几种不同的回归模型进行回归分析时
