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1、1 第一章常用逻辑用语 ( 时间： 120 分钟；满分：160 分) 一、填空题 ( 本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请把答案填在题中横线上) 1给出命题：若函数yf(x) 是幂函数，则函数yf(x) 的图象不过第四象限在它的 逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_ 解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、 否命题是假命题 故 它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个 答案： 1 2下列命题中，真命题是_ ?x0R， ex00； ?x R,2 xx2； ab0 的充要条件是 a b 1； a1，b1 是ab1 的充分条件 解析：因为
2、 ?xR，e x0，故排除；取 x2，则 2 2 22，故排除； ab0，取a b0，则不能推出 a b 1，故排除；应填. 答案： 3命题“若x 21，则 x1 或x1”的逆否命题是_ 解析：命题的条件为“x 21”，结论为“ x1 或x1”，否定结论作条件，否定条 件作结论，即为其逆否命题 答案：若 1x1，则x 21 4下列命题： Gab(G0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件； 若角，满足 cos cos 1，则 sin()0； 若不等式 |x4|0； 函数ysin xsin |x| 的值域是 2,2 其中正确命题的序号是_( 把你认为正确的命题序号都填上) 解析：当Gab(G0
3、)时，有G2ab，所以a，G，b成等比数列，但当a，G，b成等 比数列时，还可以有Gab，所以Gab(G0)是a，G，b成等比数列的充分不必要 条件，故正确； 当 cos cos 1 时，有 cos cos 1 或 cos cos 1，即2k1 (k1Z) ，2k2(k2Z) 或2k3(k3Z) ，2k4(k4Z) ，这时 2(k1k2) 2(k1，k2Z) 或2(k3k4) (k3，k4Z) ，必有 sin() 0， 故正确； 由于 |x4| 的最小值等于0，所以当a0时，不等式 |x 4|a的解集是空集，如果不 等式 |x4|0，故正确； 函数ysin xsin |x| 2sin x，x0
4、 0，x0 ，所以该函数的值域为 2,2 ，故正 确 答案： 5给出命题：?x( ， 1) ，使x 3x2； ?xR，有x 2 40. 其中的真命题是 _( 填序号 ) 解析：方程x 22 的解只有无理数 x2，所以不存在有理数x使得方程x 22 成立， 2 故为假命题；比如存在x0，使得 0 302，故为假命题，显然正确 答案： 6若非空集合A，B，C满足ABC，且B不是A的子集，则“xC”是“xA”的 _条件 解析：xA?xC，但是xC不能推出xA. 答案：必要不充分 7“a 1 8”是“对任意的正数 x,2x a x1”的 _条件 解析：a 1 8? 2x a x 2x 1 8x2 2x
5、 1 8x 1，另一方面对任意正数x,2x a x1 只要 2x a x2 2x a x2 2a1?a 1 8. 答案：充分不必要 8已知命题p：关于x的不等式x 22ax40 对? xR 恒成立；命题q：函数y (4 2a) x 是 R上的减函数若“pq”为真命题， “pq”为假命题，则实数a的取值范围 是_ 解析：由x 2 2ax40 对? xR恒成立，得 (2a) 2440，解得 2a2. 所以p： 2a1，解得a3 2. 所以q：a3 2. 由“pq”为真，“pq”为假知，p与q中必有一真一假，即p真q假或p假q真 所以 2a2， a 3 2 或 a 2或a2， a3 2， 从而得 3
6、 2 a1，则必定是锐角 其中真命题的序号是_( 请把所有真命题的序号都填上) 解析：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy1”， 是真命题； “相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”， 显然 是假命题； b 1，4b 24( b 2 b) 4b40，“若b 1，则x 22bx b 2 b0 有实数根”为真命题，其逆否命题也是真命题； 当 7 3 时， sin cos 1 成立，此命题是假命题 答案： 13已知命题p：x 2 x6，q：xZ，则使得xM时，“p且q”与“綈q”同时为假 命题的x组成的集合M _. 解析：xM时，“p且q”与
7、“綈q”同时为假命题，即xM时，p假且q真故令x 2 x6，xZ，解得x 1,0,1,2，从而所求的集合M 1,0,1,2 答案： 1,0,1,2 14已知“关于x的不等式 x 2 ax2 x 2 x1 0，原不等式化为x 2 ax20. ?x R时， 2x 2( a3)x 10 恒成立， (a3) 280. 322am，s(x) ：x 2 mx10. 如 果对 ?xR，r(x) 与s(x) 有且仅有一个是真命题求实数m的取值范围 解： sin xcos x2sin x 4 2， 当r(x) 是真命题时，m0 恒成立， 有m 240， 2m 2. 当r(x) 为真，s(x) 为假时，m2，同时
8、m 2 或m2，即m 2； 当r(x) 为假，s(x) 为真时，m2且 2m2， 即2m2. 综上，实数m的取值范围是m 2或2m2. 18( 本小题满分16 分) 已知不等式 |xm|1 成立的充分不必要条件是 1 3x 1 2，求实数 m 的取值范围 解：由不等式|xm|1 得m 1xm 1； 因为不等式|xm|1成立的充分不必要条件是 1 3 x0，即x0，y0或x0，y0，y0 时， |xy| xy|x| |y| ， 当x0，y2，Px|x3，则“xM或xP”是“x (MP) ”的什么条件？ (2) 求使不等式4mx 2 2mx 10 恒成立的充要条件 解： (1)xM或xP?xR，x(MP) ?x(2,3) ， 因为xM或xPx(MP) ， 但x(MP) ?xM或xP. 故“xM或xP”是“x(MP) ”的必要不充分条件 (2) 当m0 时，不等式 4mx 2 2mx10 恒成立 ? 4m0， 4m 216m 0， ? 4m0.又当 m0 时，不等式 4mx 22mx 10，对xR恒成立 故使不等式4mx 22mx 10 恒成立的充 要条件是 4m0.
