高数一全套公式(2020年10月整理).pdf

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1、 1 初等数学基础知识初等数学基础知识 一、一、三角函数三角函数 1公式公式 同角三角函数间的基本关系式:同角三角函数间的基本关系式: 平方关系: sin2()+cos2()=1; tan2()+1=sec2();cot2()+1=csc2() 商的关系: tan=sin/cos cot=cos/sin 倒数关系: tancot=1; sincsc=1; cossec=1 三角函数恒等变形公式:三角函数恒等变形公式: 两角和与差的三角函数: cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)

2、/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 倍角公式: sin(2)=2sincos cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 半角公式: sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 万能公式: sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(

3、/2) 积化和差公式: sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式: 2 sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 2特殊角的三角函数值 )(f 0 )0( 6 )30( 4 )45( 3 )60( 2 )90( cos 1 2/3 2/2 2/1 0

4、 sin 0 2/1 2/2 2/3 1 tan 0 3/1 1 3 不存在 cot 不存在 3 1 3/1 0 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系,依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。 3 诱导公式: 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90 - cos sin ctg tg 90 + cos -sin -ctg -tg 180 - sin -cos -tg -ctg 180 + -sin -cos tg ctg 270 - -cos -sin ctg tg 270 + -cos sin -ctg -tg 360 - -sin cos

5、 -tg -ctg 360 + sin cos tg ctg 记忆规律: 竖变横不变(奇变偶不变),符号看象限(一全,二正弦割,三切,四余弦割 即第一象限全是正的,第二象限正弦、正割是正的,第三象限正切是正的,第四象限余弦、余割是正的) 二、一元二次函数、方程和不等式二、一元二次函数、方程和不等式 acb4 2 = 0 0= 0 1 45 2 1 45 1 2 30 60 3 3 )0( 2 一元二次函数 acbxaxy+= 2 . 1 x 0 2 =+cbxax 一元二次方程 a acbb x 2 4 2 2, 1 + = 有二互异实根 a b x 2 )( 2, 1 = 有一根有二相等实根

6、 无实根 )0( 式 等 不 次 二 元 一 a 0 2 cbxax+ 21 21 )( xxxx xx 或 a b x 2 Rx 0 2 cbxax+ 21 xxx x x 三、三、因式分解与乘法因式分解与乘法公式公式 22 222 222 3322 3322 32233 32233 222 (1)()() (2)2() (3)2() (4)()() (5)()() (6)33() (7)33() (8)222( abab ab aabbab aabbab abab aabb abab aabb aa babbab aa babbab abcabbcca =+ +=+ += +=+ =+ +

7、=+ += += 2 1221 ) (9)()(),(2) nnnnnn abc abab aababbn + =+ 四、等差数列和等比数列四、等差数列和等比数列 () ()() 1 1 1 1 1 22 n n nn aand n aan n nSSnad =+ + =+ 1.等差数列 通项公式: 前 项和公式或 () () 1 1 00 n nn GP aa qaq = 2.等比数列 通项公式, 2 x 1 x 4 () () () 1 1 . 1 1 1 1 n n n aq q Sq naq = = 前 项和公式 五、常用几何公式五、常用几何公式 平面图形平面图形 名称 符号 周长 C

8、 和面积 S 正方形 a边长 C4a Sa2 长方形 a 和 b边长 C2(a+b) Sab 三角形 a,b,c三边长 ha 边上的高 s周长的一半 A,B,C内角 其中 s(a+b+c)/2 Sah/2 ab/2 sinC s(s-a)(s-b)(s-c)1/2 a2sinBsinC/(2sinA) 平行四边形 a,b边长 ha 边的高 两边夹角 Sah absin 菱形 a边长 夹角 D长对角线长 d短对角线长 SDd/2 a2sin 梯形 a 和 b上、下底长 h高 m中位线长 S(a+b)h/2 mh 圆 r半径 d直径 Cd2r Sr2 d2/4 扇形 r扇形半径 a圆心角度数 C2

9、r2r(a/360) Sr2(a/360) 圆环 R外圆半径 r内圆半径 D外圆直径 d内圆直径 S(R2-r2) (D2-d2)/4 椭圆 D长轴 d短轴 SDd/4 5 立方图形立方图形 名称 符号 表面积 S 和体积 V 正方体 a边长 S6a2 Va3 长方体 a长 b宽 c高 S2(ab+ac+bc) Vabc 圆柱 r底半径 h高 C底面周长 S底底面积 S侧侧面积 S表表面积 C2r S底r2 S侧Ch S表Ch+2S底= Ch+2r2 VS底h r2h 圆锥 r底半径 h高 Vr2h/3 球 r半径 d直径 V4/3r3 d3/6 S=4r2 d2 基本初等函数基本初等函数 名

10、 称 表达式 定义域 图 形 特 性 常 数 函 数 Cy = R y C 0 x 6 幂 函 数 xy = 随而异, 但在 + R上 均有定义 00.20.40.60.811.21.41.61.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 y=x y=x-1 y=x1/3 y=x-2 y=x3 过点(1,1); 0时在 + R 单增; 0时在 + R 单减 指 数 函 数 1 0 = a a ay x R -2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 (0,1) y=ax y=ax

11、 x 0a1 0a1 O(1,0) x y 过点()1,0 1a单增 10 a单减 () () log log1,log 10, ,0 logloglog, logloglog, loglog, log log0,1 , log log(0) (0) a aa aaa aaa p aa c a c x a x a M N MNMN M MN N MPM b bc a ax x ax x = =+ = = = = = 正 弦 函 数 xysin= R -/2 O x y 1 -1 /2 3/2 2 奇函数 = 2T 1y 余 弦 函 数 xycos= R O x y 1 -1 /23/2 2-/

12、2 偶函数 = 2T 1y 7 正 切 函 数 xytan= 2 + kx Zk O x y /2-/2 奇函数 =T 在每个周期 内单增 余 切 函 数 xycot= kx, Zk - O y x 奇函数 =T 在每个周期 内单减 反 正 弦 函 数 xyarcsin= 1 , 1 -/2 /2 1 -1 y x o 奇函数 单增 22 y 反 余 弦 函 数 xyarccos= 1 , 1 /2 1-1 y xo 单减 y0 反 正 切 函 数 xyarctan= R /2 -/2 y xo 奇函数 单增 22 y 反 余 切 函 数 xycotarc= R y x o /2 单减 y0

13、极限的计算方法极限的计算方法 一、初等函数:一、初等函数: 8 ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )() 1.lim( 2.lim0lim0, :lim0 3.lim0, :0lim0 0 4.lim 00 CC C f xMf xf x f xCC f x f xMf x C f xC C C C C = = = = = + = 是常值函数) 若(即是有界量),(即 是无穷小量), 特别 若(即是有界量) 特别 ( ) () 5. 0 1 0 ., .(sin ,1 ,ln1 ) x A Bxx exxx+ 未定式 型 分子 分母含有相同的零因式 消去零因式 等价无穷小替

14、换 常用 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,lim, limlim fxf xfx Cfxgx gxg xgx = 洛必达法则 :要求存在 且存在 此时 ( )2 ., .,. . A B C 型 忽略掉分子 分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大 保留最高阶的无穷大 再化简计算 分子 分母同除以最高阶无穷大后 再化简计算 洛必达法则 ( ) 型型或转化为数有理化通过分式通分或无理函 型 0 0 , 3 ( ) = = 0 0 1 0 0 1 04转化为 ( ) ( ) ( )().1lim17 06 005 1 0 0 0 或求对数来计算通过型 型 型 求对数 求对数 exx x =+ 二、分段函数:二、分段函数:,.分段点的极限用左 右极限的定义来求解 切线方程切线方程为:)( 000 xxxfyy= 法线方程法线方程为)( )( 1 0 0 0 xx xf yy = 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导

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