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1、 2 2 函数极限总结 一极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、 基本性质和判别准则等问题的基础理 论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期， 但极限概念真正意 义上的首次出现于沃利斯的无穷算数中，牛顿在其自然哲学的数学原理 一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至 18 世纪下半叶，达朗贝尔等 人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最 先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（- 和-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分 的工具和基础。1 二极限知识点总结 1. 极限定
2、义 函数极限：设函数 f(x)在点的 x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数 A， 对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数 ，使得当 x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数 A 就叫做函数 f(x) 当 xx0时的极限，记作。2 单侧极限：.左极限：或 .右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点 x0以 A 为极限的定义是：对于任意给定的正数（无论它多么小），总存 在正数，使得当 x 满足不等式时，对应的函数值 f(x)都满足不 |x-x|0 0 |)(|Axf
3、 Axf xx = )( lim 0 Axf xx = )( lim)()(左xAxf Axf xx = + )( lim)()(右xAxf AxfxfAxf xx = + )()()( lim 0 )()()()()( 0000lim 0 xfxfxfxfxf xx = + )(xf 0 xx )()()( lim 0 00 xfxfxf xx + = 0 ,xxxxx+ 0 xx 3 3 等式：|f(x)-A|，那么常数 A 就叫做函数 f(x)当 xx。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性2 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。
4、下面 介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则如果（1）当（或）时， （2）， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当 时，有 成立 （2） ,那么，极限存在，且等于 A 【准则，准则合称夹逼定理】 准则： 单调有界数列必有极限 准则 ：设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界，则 在的左(右)极限必定存在3 单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。 柯西准则： 数列收敛的充分必要条件是任给o,存在)(N,使得当Nn, Nm时，有| mn xx成立。2 极限运算相关法则、定
5、理及推论 （1）.设、为同一极限过程下的无穷小 （无穷小） （2）.穷小之积为无穷小 （无穷小） n x n y n z + Nn0 0 nn nnn zxy ayn x = lim azn x = lim n x axn x = lim ),( 0 rxUx Mx |)()()(xhxfxg Axg x xx = )( lim )( 0 Axh x xx o = )( lim )( )( lim )( 0 xf x xx A ),(x 0 rx U ( ) 0 xf )(xf 0 x)(xf 0 x)( xf( ) + xf 0= 0= 4 4 推论：.常数与无穷小之积为无穷小 .有限个无穷
6、小之积为无穷小 （3）.有界函数与无穷小之积为无穷小 （4）.函数极限运算法则 定理：设，则 若，则 推论 1.如果存在，而 c 为常数那么 推论 2. 则 定理（复合函数求极限法则） 设函数是由函数与函数复合而成，在点 的某去心邻域内有定义，若，且存在，当 时，有，则。 两个重要极限：. . 即若， 则 常用等价无穷小：当时， ， 计算极限方法总结 （1）直接带入求极限 0=u 0)(lim=xfBxg=)(lim BAxgxf+=)(lim)(limg(x)f(x)lim BAxgxfxgxf=)(lim)(lim)()(lim 0B B A xg xf xg xf = )(lim )(l
7、im )( )( lim )(limxf)(lim)(limxfcxcf= Axf=)( + Nnn n xfxf)(lim)(lim= )(yxgf=)(uxg=)(yuf=)(xgf 0 x 0 )( lim 0 uxg xx = A xx = lim 0 0 0 ),(x 00 x U 0 )(gux ( )Aufxgf uuxx = limlim 00 )( 1 sin lim 0 = x x x e x x x =+ ) 1 1 ( lim )0)(0)(lim=xfxf exf xf =+ )( 1 )(1 (lim 0 x )1ln(arctanarctantansinxxxxx
8、x+= n x x n =+1 xex=1 2 x cosx-1 2 =abxx b =+）（a1 ）（1, 0ln1=aaaxax 5 5 例 1. 【解】 （2）约零因子求极限 例 2.求极限 【说明】x1 表明 x 与 1 无限接近，但。所以 x-1 这一零因子可以约 去。 【解】 （3）分子分母同除求极限（公式法） 例 3.求极限 【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限， 可通过分子分母同除来求。 【解】 【注】（1）一般分子分母同除 x 的最高次方 （2） (4)分子(分母)有理化求极限 例 4.求极限 【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式 ) 138( 2 1 l
9、im + xx x () 6 138 138 138 138 2 1 1 2 1 11 2 1 2 1 lim limlim limlimlim lim = + = += += + x xx xx xx x xx xxx x 1 1 4 1 lim x x x 1x 4) 1)(1( ) 1( ) 1)(1)(1( 2 1x 2 1 limlim =+= + xx x xxx x 13 2 23 lim x xx x 3 1 1 3 1 1 13 3 3 23 x limlim = + = x x x xx x mm nm nm b a bxbxb axaxa n n m m m m n n
10、n n x = = + + = + 0 0 1 1 0 1 1 lim )13( 22 lim + + xx x 6 6 【解】 例 5.求极限 【解】 【注】本题除使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子分离极限式中的非零因子是解题 的关键。 (5)应用两个重要极限求极限 【说明】两个重要极限是和 例 6.求极限 【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：先凑出 1，在凑，最后凑 指数部分。 【解】 0 13 2 13 )13)(13( )13( 22 22 2222 22 lim limlim = + = + + =+ + + xx xx xxxx xx x xx 3 0 sin1
11、1tan lim x xx x + 4 1sintan 2 1 sintan 1sin1tan 1 1sin1tan sintan1sin1tan 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 lim limlim limlim = = + = + = + = x xx x xx xxx xxx xx x xx x xx xx 1 sin lim 0 = x x x e x x x =+ ) 1 1 ( lim x x 1- 1 lim + + x x x 1 + 2 2 1 2 1 x 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1-x 1 limlimlim e x x x x x x x xx =
12、 + += += + 7 7 (6)用等价无穷小两代换求极限 【说明】(1）常见的等价无穷小有: 当 x0 时，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x）=e x-1， 1-cosx=,， 。 （2）等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式因式； （3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选首选。 例 7.求极限 【解】 例 8.求极限 【解】 (7)用洛必达法则求极限 例 9.求极限 【说明】和型的极限，可通过洛必达法则来求。 【解】 【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。 2 x 2 1 abxx b =+）（a1）（1, 0ln1=aaaxa
13、 x n x x n =+1 x xx x cos-1 )1ln( lim 0 + 2 2 1 cos1 )1ln( 2 limlim 00 = = + x xx x xx xx x xx x 3 0 tan )1ln( lim + 6 1 3 2 1 3 1cossin tan sin 2 2 0 2 0 3 0 3 0 limlimlimlim = = = = x x x x x xx x xx xxxx 2 2 0 )sin1ln(2cosln lim x xx x + 0 0 3 sin1 1 2cos 2 2 2sin 2 sin1 2sin cos 2sin2 )sin1ln(2c
14、osln 2 0 2 0 2 2 0 lim limlim = + = + = + xxx x x x x x x x xx x xx 8 8 例 10.设函数连续，且，求极限 【解】由于，于是 (8)用对数恒等式求极限 例 11.求极限 【解】 【注】对于形势的未定式，也可用公式 因为 例 12.求极限 )(f x0f(0) dttxf x x dtttx x )( 0 )( 0 x lim 0 duuf x duuf x dttxf utx )( 0 )( 0 )( 0 x = = 2 1 )0()0( )0( )( )( 0 0 )()( 0 )( 0 )()( 0 )()()( 0 )
15、( 0 )()( 0 )( 0 )( 0 )()( 0 lim limlim limlim 0 00 00 = + = + + = + + = = ff f xf x uf x x dt x xxfduuf x dttf x xxfduuf x xxfxxfdttf x duuf x x tdttf x dttf x x dttxf x x tdttx x x xx xx )( )(lim xg xf x x x 2 0 )1ln(1 lim + () () () 2 1ln12 1ln1 2 0 2 0 )1ln(2 lim 0 0 lim 1ln1 limlim eeeex x x x x x x x x x x x =+ + + + 1 )( )(lim xg xf
