《高数公式大全（2020年10月整理）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数公式大全（2020年10月整理）.pdf（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 高等数学公式 导数公式：导数公式： 基本积分表：基本积分表： kdxkxC=+ （k 为常数） 1 1 u u x x dxC u + =+ + 1 lndxxC x =+ 2 1 arctan 1 dxxC x =+ + 2 1 arcsin 1 dxxC x =+ cossinxdxxC=+ sincosxdxxC= + 2 2 1 sectan cos dxxdxxC x =+ 2 2 1 csccot sin dxxdxxC x = + sec tansecxxdxxC=+ csc cotcscxxdxxC= + xx e dxeC=+ ln x x a a dxC a =+ 两
2、个重要极限：两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式： sin22sincos= 2222 cos22cos1 1 2sincossin= = = 22 sincos1+= 22 sec1tan= + 2 2 (tan )sec (cot )csc (sec )sectan (csc )csccot ()ln 1 (log) ln xx a xx xx xxx xxx aaa x xa = = = = = = 2 2 2 2 1 (arcsin ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arctan ) 1 1 (arccot ) 1 x x x x x x x x = = = + = +
3、0 sin lim1 1 lim(1) x x x x x e x = += 2 零点定理：零点定理： 设函数( )f x在闭区间, a b上连续， 且( )( )0f af b， 那么在开区间(), a b上至少一点， 使( )0f=。 （考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调 性） 罗尔定理：罗尔定理：如果函数( )f x满足三个条件： （1）在闭区间, a b上连续； （2）在开区间(), a b内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即( )( )f af b=， 那么在(), a b内至少有一点()ab，使得( ) 0f=。 （选择题：选择符
4、合罗尔定理条件的函数；证 明题） 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：如果函数( )f x满足 （1）在闭区间, a b上连续； （2）在开区间(), a b内可导， 那么在(), a b内至少有一点()ab，使等式( )( )( )()f bf afba=成立。 （证明题） 定积分应用相关公式定积分应用相关公式 函数的平均值( ) 1 b a yf x dx ba = 空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离()()() 222 12211212 dM Mxxyyzz=+ 向量b在向量a方向上的投影 () Pr jcos, ab ba b= 设(), xyz aa a
5、 a=，(), xyz bb b b=，则 两向量的数量积cos xxyyzz a baba ba ba b=+是一个数，为a与b的夹角； a与b的夹角 222222 cos xxyyzz xyzxyz a ba ba b aaabbb + = + 。 两向量的向量积 xyz xyz ijk abaaa bbb =，sina bab=。 （考点：利用向量积求三角形的面积） 3 平面的方程： 1、点法式方程：()()() 000 0A xxB yyC zz+=，其中, ,nA B C=为平面的法线向量， () 0000 ,Mxy z为平面上的一点。 2、一般式方程：0AxByCzD+=，其中平面
6、的一个法线向量, ,nA B C=。 3、截距式方程：1 xyz abc +=，, ,a b c为平面在, ,x y z轴上的截距。 平面外任意一点到该平面的距离： 000 222 AxByCzD d ABC + = + 。 、 空间直线的方程： 1、直线的点向式方程（对称式方程） 000 xxyyzz t mnp =，其中直线的一方向向量(), ,sm n p=； 2、直线的参数方程： 0 0 0 xxmt yynt zzpt =+ =+ =+ 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F
7、 yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz = = = = + = + = = + = = + = += + + = + = ，隐函数 ，隐函数 隐函数的求导公式： 时，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )
8、(),( ),(),( 2 2 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： 4 ),(),(),( 3 0)(,()(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( , 0),( 0),( 0)()()( )()()( ),( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxt
9、M t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy = = =+ = = = = = =+ = = = = = 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线 方向导数与梯度：方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yx
10、fyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( += + = + = = 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： = = 不确定时 值时，无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 曲线积分：曲线积分： = = += = = )( )()()()
11、(),(),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况： 则：的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 5 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐
12、 0),(),(),( ),( )0 , 0(),(),(2 1 2 1 2, )()( )coscos( )()(),()()(),(),(),( )( )( 00 ),( ),( 00 =+= + = = += += +=+ +=+ = = yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L
13、三个常用的正项级数：三个常用的正项级数： 1、等比级数 1 1 n n aq = 当1q 时，该级数收敛于 1 a q ； 当1q 时，该级数发散。 2、p级数 1 1 p n n = 当1p 时，该级数收敛； 当1p 时，该级数发散。特别地，当1p =时， 1 1 n n = 称为调和级数。 级数审敛法：级数审敛法： 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u + += = =
14、 = = lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 6 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,( + + = + nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛： + + 时收敛 时发散 级数： 收敛；级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数：幂级数： 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 =+= += = = = + + + + R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其
