《2020高中数学第四章导数应用单元测试1北师大版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高中数学第四章导数应用单元测试1北师大版选修1-1（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第四章导数应用 ( 时间： 100 分钟，满分：120 分) 一、选择题 ( 本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1使函数f(x)x2cos x在0 ， 2 上取最大值的x为( ) A0 B. 4 C. 3 D. 2 解析： 选 B.f(x) 12sin x，f(x) 在0 ， 4 上单调递增， 4 ， 2 上单调递减， 选 B. 2定义在R 上的函数f(x) 的图像如图所示，则关于x的不等式xf(x)0，又xf(x)0， x( ， 1) 当x( 1，1)时，f(x)0 ， 又xf(x)0 ， x(0 ，1) 综上可知解集为
2、( ， 1)(0， 1)故选 C. 3函数f(x) xax在x1 ， 4 上单调递减，则实数a的最小值为 ( ) A1 B2 C3 D4 解析：选D.依题意得，当x1 ， 4 时，f(x) 1 a 2x 0，即a2x恒成立注 意到x1 ， 4 时，y2x的最大值是244，因此，实数a的最小值为4，选 D. 4.f(x) 是f(x) 的导函数，若f(x) 的图像如图所示，则f(x) 的图像可能是( ) 解析：选 C.由导函数的图像可知，当x0 ， 即函数f(x) 为增函数；当 0xx1 时，f(x)x1时，f(x)0，即函数f(x) 为增函数观察 2 选项易知C正确 5函数f(x) x 33ax
3、 a在(0 ， 1)内有最小值，则a的取值范围为 ( ) A0a1 B0a1 C 1a1 D0a0 时，令f(x)0 得xa( 舍) ，xa，由题意知0a1. 0a1 时，f(x)0；在x1 附近的左侧，f(x)0 ，所以f(1) 是极小值 7 已知函数f(x) x 3ax24在 x 2处取得极值， 若m，n 1， 1 ， 则f(m) f(n) 的最小值为 ( ) A 13 B 15 C10 D15 解析：选A.f(x) 3x 22ax，由题意 f(2) 124a0，a3. f(x) 3x 26x，其对称轴 x1，开口向下，当n 1，1 时， f(n)最小f( 1) 9， 令f(x) 3x(x
4、2) 0，则x0 或x2， 当x( 1，0)时，f(x)0 ， 当m 1，1 时，f(m)最小f(0) 4， 故f(m) f(n) 的最小值为13. 8如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( ) A( l 6) 3 B( l 3) 3 C( l 4) 3 D. 1 4( l 4) 3 解析：选 A.设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则 4r2hl，hl 4r 2 ，V r 2hl 2r 22 r 3(0 r0， r l 6是其唯一的极值点当 r l 6时， V取得最大值，最大值为( l 6) 3，故选 A. 9. 函数f(x) ax m (1 x) n 在区间 0 ，1 上的图
5、像如图所示，则m，n的值可能是 ( ) Am1，n 1 Bm1，n 2 3 Cm2，n 1 Dm3，n 1 解析：选 B. 观察图像易知，a0，f(x) 在0 ，1 上先增后减，但在0，1 2 上有增有减且 不对称 对于选项 A，m1，n1 时，f(x) ax(1x) 是二次函数，图像应关于直线x1 2对称， 不符合题意 对于选项 B，m1，n2 时，f(x) ax(1 x) 2 a(x 32x2 x) ，f(x) a(3x 24x 1)a(x1)(3x 1)， 令f(x) 0，得x1 或x 1 3， f(x) 在 0， 1 3 上单调递增，符合题意 对于选项 C，m2，n1 时，f(x) a
6、x 2(1 x)a(x 2 x 3) ，f (x) a(2x3x 2) ax(2 3x) ， 令f(x) 0，得 0 x2 3， f(x) 在 0， 2 3 上单调递增，不符合题意 对于选项 D，m3，n1 时，f(x) ax 3(1 x) a(x 3x4) ， f(x) a(3x 24x3) ax 2(3 4x) ， 令f(x) 0，得 0 x3 4， f(x) 在 0， 3 4 上单调递增，不符合题意 10已知函数f(x) |xe x| ，关于 x 的方程 f2(x) tf(x) 10(t R) 有四个不等实数 根，则t的取值范围为 ( ) A( e 2 1 e ， ) B(2 ， e 2
7、1 e ) C( e 21 e ， 2) D( ， e 2 1 e ) 解析：选 D.设g(x) xe x，g ( x) e x(1 x) ，当x 1 时，g(x)0 ，g(x) 单调递增， 当x1 时，g(x)0 ，g(x) 单调递减，且x，g(x) 0. g(x)最小g( 1) 1 e，g(0) 0， f(x)|xe x| 的图像如图， 由题意知，f(x) 有两个不等正值使方程成立设为a，b(a 1 e. 由根与系数的关系 t 240 tab0 1ab ， 4 taba 1 a在 (0， 1 e) 递减， a1 ae 1 e，故 t(e 1 e) ，即 t的取值范围为 ( ， e 21 e
8、 ) 所以选D. 二、填空题 ( 本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在题中横线上) 11 两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续行驶，已知A车向北行驶速度为30 km/h， B车向东行驶速度为40 km/h ，那么A、B两车间直线距离的增加速度是_ km/h. 解 析 ：设A、B两车 的行 驶 时间 为t小时 ，则A、B两 车间 的直 线距 离s （30t） 2 （ 40t） 250t (km) s(t) 50，A、B两车间直线距离的增加速度为50km/h. 答案： 50 12一个边长为12 cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然 后做成一个无盖方盒，要
9、使方盒的容积最大，x的值应为 _ 解析：V4x(6x) 24( x 312x236x)(0 x0) ，令f(x)0 得， 0x0，a0) 在x3 时取得最小值，则a_ 解析：f(x) 4x a x2 4xa x4 a(x0，a0) ，当且仅当4xa x，即 x a 2 时等号 成立，此时f(x) 取得最小值4a. 又由已知x3 时，f(x)min4a， a 2 3，即a36. 5 答案： 36 三、解答题 ( 本大题共5 小题，共 55 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16(本小题满分10 分) 已知f(x) ax 3 bx 2 c的图像经过点 (0 ，1)，且在x1 处的 切线方
10、程是yx. (1) 求yf(x) 的解析式； (2) 求yf(x) 的单调递增区间 解： (1)f(x) ax 3 bx 2 c的图像经过点 (0 ，1) ，则c1， f(x) 3ax 22bx， f(1) 3a2b1. 切点为 (1 ，1) ，则f(x) ax 3 bx 2c 的图像经过点 (1 ，1)， 所以abc1 解得a1，b 1 即f(x) x 3 x 21. (2)f(x) 3x 22x0 得 x 2 3. 单调递增区间为( ， 0)，( 2 3， ) 17 ( 本小题满分10 分) 已知函数f(x) ax 3( a1)x 227( a2)xb的图像关于原点 成中心对称，求f(x)
11、 在区间 4，5 上的最值 解：函数f(x) 的图像关于原点成中心对称，则f(x) 是奇函数，所以a 1，b0. 于是f(x) x 327x， f(x) 3x 227. 当x( 3，3) 时，f(x)0. 又函数f(x) 在 4，5 上是连续函数 f(x) 在( 3，3) 上是单调递减函数，在( 4， 3)和(3 ，5) 上是单调递增函数 f(x) 的最大值是f( 3) 54，f(x) 的最小值是f(3) 54. 18 ( 本小题满分10 分) 已知函数f(x) x1ln x对任意x(0，) ，f(x) 2bx 恒成立，求实数b的取值范围 解：依题意对任意x(0， ) ，f(x) 2bx恒成立
12、 等价于x1ln x2bx在 (0 ， ) 上恒成立 可得b1 1 x ln x x 在(0， ) 上恒成立， 令g(x) 1 1 x ln x x ， g(x) ln x2 x 2， 令g(x) 0，得x e 2. 列表如下： x (0 ，e 2) e 2 (e 2，) g(x)0 g(x)1 1 e 2 函数yg(x)的最小值为g(e 2) 11 e 2， 根据题意b的取值范围为 b|b1 1 e 2 19(本小题满分12 分) 已知函数f(x) x 2ex. (1) 求f(x) 的极小值和极大值； (2) 当曲线yf(x) 的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围 解： (1)
13、f(x) 的定义域为 (， ) ， f(x) e xx( x2) 当x( ， 0)或x(2， ) 时，f(x) 0； 当x(0， 2) 时，f(x) 0. 所以f(x) 在 ( ， 0) ，(2 ， ) 上单调递减，在(0，2) 上单调递增 6 故当x0 时，f(x)取得极小值，极小值为f(0) 0；当x2 时，f(x) 取得极大值，极 大值为f(2) 4e 2. (2) 设切点为 (t，f(t) ，则l的方程为yf(t)(xt) f(t) 所以l在x轴上的截距为 m(t) t f（t） f（t） t t t2 t2 2 t2 3. 由已知和得t( ， 0) (2， ) 令h(x) x 2 x
14、( x0)， 则当x(0， ) 时，h(x) 的取值范围为 22， ) ；当x( ， 2) 时，h(x) 的取值范围是 ( ， 3) 所以当t( ， 0) (2， ) 时，m(t) 的取值范围是 ( ， 0) 22 3， ) 综上，l在x轴上的截距的取值范围是( ， 0) 223， ) 20(本小题满分13 分) 已知函数f(x) e x， xR. (1) 若直线ykx1 与f(x) 的反函数的图像相切，求实数k的值； (2) 设x0，讨论曲线yf(x) 与曲线ymx 2( m0)公共点的个数 解： (1)f(x) 的反函数为g(x) ln x设直线ykx 1 与g(x) ln x的图像在P(
15、x0， y0) 处相切，则有y0kx01ln x0，kg(x0) 1 x0，解得 x0e 2， ke 2，所以 ke 2. (2) 当x0，m0 时，曲线yf(x) 与曲线ymx 2( m0)的公共点个数即方程f(x) mx 2 根的个数 由f(x) mx 2? m e x x 2，令(x) e x x 2? (x) xe x（x2） x 4， 则(x) 在(0 ，2) 上单调递减，这时(x) (2) ， ) ； (2) 是y(x) 的极小值，也是最小值 所以对曲线yf(x) 与曲线ymx 2( m0)公共点的个数，讨论如下： 当m 0， e 2 4 时，有 0 个公共点； 当me 2 4 时，有 1 个公共点； 当m e 2 4 ， 时有 2 个公共点 综上所述，当x0 时，若 0me 2 4 ，曲线yf(x) 与ymx 2 有两个公共点
