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1、 0 高等数学高等数学 历年试题集历年试题集及答案及答案 (2005(2005- -2012016 6) ) 1 20052005 年广东省普通高等学校本科插班生招生考试年广东省普通高等学校本科插班生招生考试 高等数学试题高等数学试题 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分） 1、下列等式中，不成立 的是 A、1 )sin( lim x = x x B、1 1 sin lim x = x x C、0 1 sin lim 0 x = x x D、1 sin 2 0 x lim = x x 2、设)(xf是在（+,）上的连续函数，且+=cedxxf x2 )
2、(，则dx x xf)( = A、 2 2 x e B、cex+2 C、Cex+ 2 2 1 D、Cex+ 2 1 3、设xxfcos)(=，则= ax afxf ax )()( lim A、-xsin B、xcos C、-asin D、xsin 4、下列函数中，在闭区间-1，1上满足罗尔中值定理条件的是 A、|)(=xfx| B、 2 )( = xxf C、 2 1)(xxf= D、 3 )(xxf= 5、已知 x xyu)(=，则 y u = A、 12 )( x xyx B、)ln( 2 xyx C、 1 )( x xyx D、)ln( 2 xyy 二、填空题二、填空题（本大题共 5 小
3、题，每个空 3 分，共 15 分） 6、极限) 1( 1 lim x x ex= 。 7、定积分 21 1 sin x exdx = 。 8、设函数 x x xf + = 2 2 ln)(，则(1) f = 。 9、若函数1 (1),0, ( ) (12 ) ,0. x a xx f x xx + = + 在 x=0 处连续，则 a= 。 10、微分方程 2 22 x xexy dy dx =+的通解是 。 2 三、计算题三、计算题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 11、求极限1( 22 n lim + nnn)。 12、求极限 2 0 2 x0 ln (1) lim x
4、 t dt x + 。 13、已知 1 ln 1arctan 2 2 = x x xy，求 y。 14、设函数)(xyy =是由方程 22 lnarctanyx x y +=所确定的隐函数，求 dx dy 。 15、计算不定积分+dx xxx x ) sin 1 3 11 ( 2 3 。 16、计算定积分 2ln2 ln2 1 1 t dt e 。 17、 求由两条曲线xyxysin,cos=及两条直线 6 , 0 =xx所围成的平面图形绕 x 轴旋转而 成的旋转体体积。 18、计算二重积分+ D dxdyyx)ln( 22 ,其中积分区域41),( 22 +=yxyxD 。 19、求微分方程
5、034 =+yyy满足初始条件6)0( , 2)0(=yy的特解。 20、已知 xy xexyz +=)sin( ，求全微分dz。 四、综合题四、综合题（本大题共 3 小题，第 21 小题 8 分，第 22、23 小题各 6 分，共 20 分） 21、设 2 2 1 )( x xexf =， （1）求)(xf的单调区间及极值； （2）求)(xf的闭区间0，2上的最大值和最小值。 22、证明：当t0时， 111 ln(1) 1 ttt + + 。 23、已知2)(=f，且=+ 0 5sin)( )(xdxxfxf，求 f(0)。 3 20052005 年广东省普通高校本科插班生招生考试年广东省普
6、通高校本科插班生招生考试 高等数学试题答案及评分参考高等数学试题答案及评分参考 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、D 2、B 3、C 4、C 5、A 二、填空题二、填空题（本大题共 5 小题，每个空 3 分，共 15 分） 6、1； 7、0； 8、 9 8 9、 2 e 10、)( 2 2 cxe x + 三、计算题三、计算题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 11、解： 1( 22 lim + nnn n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 22 lim lim = + = + = nn n nnn n n n
7、12、解： 2 0 2 0 )1(ln lim x dtt x x + () 2 0 2 0 )1 (ln lim x dtt x x + = () () 0 2 1 )1ln(2 2 )1(ln 2 )1(ln limlimlim 0 2 0 2 0 = + + = + = + = x x x x x x xxx 13、解： () 2 2 1 ln 1(arctan = x x xy () () () 23 2 2 2 222 2 22 2 2 1 ln 1 ln 12 2 1 1 12 2 1 ln11 1 1 11 1 = + = + = x xx x x x x xxxx x x xx
8、x x x x 14、解法一：设 22 lnarctan),(yx x y yxF+=，则 2222 2 2 1 1 1 ),( yx x x y x y yxFx + + = 22 yx yx + + = 2 分 5 分 5 分 2 分 2 分 5 分 2 分 4 222 2 2 11 1 1 ),( yx y x x y yxFy + + = 22 yx yx + = 故 () () , , , yx yx yxF yxF dx dy y x + = （xy） 。 解法二：方程 22 lnarctanyx x y +=可写为 )ln( 2 1 arctan 22 yx x y += 视)(
9、xyy =，上式两边对 x 求导得 2222 22 2 1 1 1 yx yyx x yxy x y + + = + ， 即 2222 yx yyx yx yxy + + = + ， 所以yxyxy+= )( ，推出 yx yx y dx dy + = （xy） 15、解： +dx xxx x 2 3 sin 1 3 11 cxxx x +=cot 3ln 3 ln 2 3 3 2 （每项的原函数求对各得 1 分，总体答案写对得 5 分） 16、解：令ue=1，则 2 2 1 2 ,1 u udu dtue + =+= 2ln2 2ln 1 1 dt e + = 3 1 2) 1 ( 2 uu
10、 u 643 2arctan2 1 1 2 3 1 3 1 2 = = + = udu u 6 分 17、解：由两条曲线xyxysin,cos=及两条直线 6 , 0 =xx所围成的平面图形 如图所示（要画出草图，不画图不扣分） ，依题意，旋转体的体积为 () = 6 0 22 sincos dxxxV 4 3 2sin 2 2cos 6 0 6 0 = xxdx 5 分 18、解：采用极坐标变换sin,cos=yrx，则 5 分 4 分 3 分 4 分 5 分 1 分 3 分 6 分 3 分 5 () + D dxdyyx 22 ln = 2 0 2 1 ln2rdrrd ()32ln8 2
11、 ln2 2 1 2 2 1 2 = = r rr 19、解：方程034 =+yyy的特征方程为 034 2 =+ 解出1, 3 21 = 可知方程的通解为 xx ececy += 2 3 1 由上式可得 xx ececy = 2 3 1 3 用初始条件6)0( , 2)0(=yy代入上面两式得 = =+ 63 , 2 21 21 cc cc 解出6, 4 21 =cc 故所求的特解为 xx eey +=64 3 20、解： xyxy xyeexyy x z += )cos( xy exxyx y z = 2 )cos( 故 dy y z dx x z dz + = () dy exxyxdx
12、xyexyy xyxy += 2 )cos(1)cos( 四、综合题四、综合题（本大题共 3 小题，第 21 小题 8 分，第 22、23 小题各 6 分，共 20 分） 21、解： 2 2 1 )( x xexf =的定义域为),(+， 2 2 1 2) 1 ()( x exxf = 令0)( =xf，解出驻点（即稳定点）1, 1 21 =xx 列表 x ) 1,( -1 （-1，1） 1 ), 1 ( + )( xf 0 + 0 )(xf 单调减 极小 单调增 极大 单调减 可知极小值 e f 1 ) 1(= 3 分 5 分 2 分 3 分 5 分 2 分 4 分 5 分 2 分 4 分
13、6 极大值 e f 1 ) 1 (= （2）因)(xf在0，2上连续，由（1）知)(xf在（0，2）内可导，且在（0，2） ，内只有一个 驻点1=x（极大值点） ，因( ) 2 2 2, 6 1 ) 1 (, 0)0( e fff=，且 2 21 (0)0(2)(1)fff ee = 故 2 2 1 )( x xexf=在闭区间0，2上的最大值为 e f 1 ) 1 (=，最小值为0)0(=f 22、证明：设ln,)(=xf则1, 1 )( +=ttx x xf 由拉格朗日中值定理知，存在一点()1, +tt，使 )( )()1 (ftftf=+，即 11 1ln= + t ， 又因 111
14、1 tt + ，故 111 ln 1 1 ttt + + 23、解：应用分部积分法 + 0 sin)( )(xdxxfxf += 00 0 cos)( sin)( sin)(xdxxfxxfxdxxf ),0()(sin)(cos)(sin)( 00 0 ffxdxxfxxfxdxxf+= 由题意有3)0(, 2)(, 5)0()(=+ffff所以 6 分 5 分 8 分 1 分 4 分 6 分 2 分 4 分 7 20062006 年广东省普通高校本科插班生招生考试年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学试题高等数学试题 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是符 合题目要求的） 1、函数1)( 3 +=xxf在x = 0 处 A. 无定义 B. 不连续
