《高考数学圆锥曲线的经典性质50条（2020年10月整理）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学圆锥曲线的经典性质50条（2020年10月整理）.pdf（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）（必背的经典结论） 椭椭 圆圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角. 2. PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切. 5. 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab +=上，则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab +=. 6. 若 000 (,)
2、P xy在椭圆 22 22 1 xy ab +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab +=. 7. 椭圆 22 22 1 xy ab += (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 12 FPF=，则椭圆的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb =. . 8. 椭圆椭圆 22 22 1 xy ab +=（ab0）的焦半径公式：）的焦半径公式： 10 |MFaex=+, 20 |MFaex=( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 00 (,)M xy). 9. 设
3、过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11. AB 是椭圆 22 22 1 xy ab +=的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a = ， 即 0 2 0 2 ya xb KAB=。 2 12. 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy
4、ab +=内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab +=+. 13. 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab +=内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab +=+. 双曲线双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内角. 2. PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴
5、为直径的圆相切相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）上，则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab =. 6. 若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0） 外 ， 则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2， 则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab =. 7. 双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 12 FPF=，则双曲线的焦点角
6、形的面积为 12 2 t 2 F PF Sb co =. 8. 双曲线双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,bo）的焦半径公式：）的焦半径公式：( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 当当 00 (,)M xy在右支上时，在右支上时， 10 |MFexa=+, 20 |MFexa=. 当当 00 (,)M xy在左支上时，在左支上时， 10 |MFexa= +, 20 |MFexa= 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、 N 两点， 3 则 MFNF. 10
7、. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11. AB 是双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM =，即 0 2 0 2 ya xb KAB=。 12. 若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab =. 13. 若 00
8、0 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab =. 椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论） 高三数学备课组 椭椭 圆圆 1. 椭圆 22 22 1 xy ab +=（abo）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab =. 2. 过椭圆 22 22 1 xy ab += (a0, b0)上任一点 00 (,)A x
9、y任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y =（常 数）. 3. 若 P 为椭圆 22 22 1 xy ab +=（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 12 PFF=, 21 PF F=，则tant 22 ac co ac = + . 4. 设椭圆 22 22 1 xy ab +=（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记 12 FPF=, 4 12 PFF=, 12 FF P=，则有 sin sinsin c e a = + . 5. 若椭圆 22 2
10、2 1 xy ab +=（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应 准线距离 d 与 PF2的比例中项. 6. P 为椭圆 22 22 1 xy ab +=（ab0） 上任一点,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点， 则 211 2| | 2|aAFPAPFaAF+,当且仅当 2 ,A F P 三点共线时，等号成立. 7. 椭圆 22 00 22 ()() 1 xxyy ab +=与直线0AxByC+=有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC+. 8. 已知椭圆 22 22 1 xy
11、ab +=（ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1） 2222 1111 |OPOQab +=+;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 22 22 4a b ab+ ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ab+ . 9. 过椭圆 22 22 1 xy ab +=（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN =. 10. 已知椭圆 22 22 1 xy ab +=（ ab0） ,A、 B、 是椭圆上的两点， 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0 (,0)P
12、x, 则 2222 0 abab x aa . 11. 设 P 点是椭圆 22 22 1 xy ab +=（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF=，则(1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF = + .(2) 5 1 2 2 tan 2 PF F Sb =. 12. 设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab +=（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB=, PBA=,BPA=，c、e 分别是椭圆的 半焦距离心率，则有(1) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co = .(2) 2 tantan1 e= .(3) 22
13、 22 2 cot PAB a b S ba = . 13. 已知椭圆 22 22 1 xy ab +=（ ab0） 的右准线l与x轴相交于点E， 过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、 B两点,点C在右准线l上， 且BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内
14、、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论） 6 高三数学备课组 双曲线双曲线 1. 双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方 程是 22 22 1 xy ab +=. 2. 过双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,bo）上任一
15、点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y = （常数）. 3. 若 P 为双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 12 PFF=, 21 PF F=，则 tant 22 ca co ca = + （或tant 22 ca co ca = + ）. 4. 设双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记 12 FPF=, 12 PFF=, 12
16、 FF P=，则有 sin (sinsin) c e a = . 5. 若双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e21+时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 7 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项. 6. P 为双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 21 | 2|AFaPAPF+,当且仅当 2 ,A F P 三点共线且P和 2 ,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 7. 双曲线 22 22 1 xy ab =（a0,b0）与直线0AxByC+=有公共点的充要条件是 22222 A aB b
