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1、- 1 - 有理数 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整)0pq , p ( p q 为整数且 数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和 分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一 定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的 特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数 也有自己的特性； - 2 - (4)自然数 0 和正整数；
2、a0 a 是正数；a0 a 是负数； a0 a 是正数或 0 a 是非负数；a 0 a 是负数或 0 a 是非正数. 2数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数； 0 的相反数还是 0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-a-b； (3)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它 的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原 点的距离； (2) 绝对值
3、可表示为 ：或 ； 绝 )0a (a )0a (0 )0a (a a )0a (a )0a (a a - 3 - 对值的问题经常分类讨论； (3) ； ；0a1 a a 0a1 a a (4) |a|是重要的非负数，即|a|0；注意： |a|b|=|ab|, . b a b a 5.有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比 0 大，负数永远比 0 小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 0，小数-大数 0. 6.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有
4、倒数； - 4 - 若 a0，那么的倒数是；倒数是本身的数是1；若 ab=1 a a 1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值 减去较小的绝对值； （3）一个数与 0 相加，仍得这个数. 8有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ； （2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即 a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负
5、，并把绝对值相乘； - 5 - （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零 ； 各个因式都不为零， 积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc） ； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . 12有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意： 零不能做除数，.无意义即0 a 13有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n
6、为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n . 14乘方的定义： - 6 - （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数， 乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即 a20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的 10010 11 01 . 0 1 . 0 2 2 2 小数点移动二位. 15科学记数法 ： 把一个大于 10 的数记成 a10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这
7、个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止， 所有数字，都叫这个近似数的有效数字. - 7 - 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算 简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则. 19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而 进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 几何图形的初步认识 1、我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形。几何图形分 为立体图形和平面图形。 2、有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的 各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 3、有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各
8、 部分都在同一平面内，它们是平面图形。 4、将由平面图形围成的立体图形表面适当剪开，可以展开成平 面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 5、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。 几何体简称为体。 - 8 - 6、包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。 7、面与面相交的地方形成线（线有直的和曲的） ，线和线相交的 地方是点（点无大小之分） 。 8、点动成线，线动成面，面动成体。 9、几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基 本元素。 10、正方体的 11 种展开图： “141 型” ， 中间一行 4 个作侧面， 上下两个各作为上下底面， 共有 6 种
9、基本图形。 - 9 - “132 型” ，中间 3 个作侧面，共 3 种基本图形。 “222 型” ，两行只能有 1 个正方形相连。、“33 型” ，两 行只能有 1 个正方形相连。 11、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确 定一条直线（公理） 。 12、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相 交，这个公共点叫做它们的交点。 - 10 - 13、射线和线段都是直线的一部分。 14、 点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 和 MB， 点 M 叫做线段 AB 的中点。 15、两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段 最短。（公理） 16、连接两
10、点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 17、一般地，用一个大写字母表示一个点，用两个大写字母（也 就是两个点）或者一个小写字母来表示直线。 18、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是 角的顶点，这两条射线是角的两条边。 19、把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 1；把 一度的角 60 等分， 每一份叫做 1 分的角， 记作 1 ； 把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1。 20、角的度、分、秒是 60 进制的。 - 11 - 21、以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 22、从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，
11、叫做这个角的平分线。 23、 如果两个角的和等于 90 （直角） ， 就是说这两个叫互为余角， 即其中的每一个角是另一个角的余角。 24、 如果两个角的和等于 180 （平角） ， 就说这两个角互为补角， 即其中一个角是另一个角的补角。 25、等角的补角相等，等角的余角相等。 代数初步知识 1. 代数式：用运算符号“ ”连接数及表示 数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限 制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母 所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字 母也是代数式. 2.列代数式的几个注意事项： - 12 - （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘
12、通常使用“ ” 乘，或 省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“”乘，不用“ ”乘，也不能 省略乘号； （3） 数与字母相乘时， 一般在结果中把数写在字母前面， 如 a5 应写成 5a； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如 a 应写成a； 2 1 1 2 3 （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除 式联系，如 3a 写成的形式； a 3 （6）a 与 b 的差写作 a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差， 当分别设两数为 a、b 时，则应分类，写做 a-b 和 b-a . 3.几个重要的代数式：（m、n 表示整数） （1） a与b的平方差是 ： a2-b2
13、 ； a与b差的平方是 ： （a- b）2 ； - 13 - （2）若 a、b、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位 整数是：100a+10b+c； （3）若 m、n 是整数，则被 5 除商 m 余 n 的数是： 5m+n ； 偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n、 n+1 ； （4）若 b0，则正数是:a2+b ，负数是 ： -a2-b ，非负数是 ： a2 ，非正数是：-a2 . 整式的加减 1单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或 虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，
14、叫单项 式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中 所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3多项式：几个单项式的和叫多项式. 4多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项 式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项 的次数叫多项式的次数；注意：（若 a、b、c、p、q 是常数） - 14 - ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含 字母的代数式叫整式. 整式分类为： . 多项式 单项式 整式 6同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项 式是同类项. 7合并同类项法则：系数
15、相加，字母与字母的指数不变. 8去（添）括号法则 ： 去（添）括号时，若括号前边是“+”号， 括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各 项都要变号. 9整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把 多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母 的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的 升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般 应该进行升幂（或降幂）排列. - 15 - 一元一次方程 1等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：“等 量就能代入”！ 2等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上（或减去）
16、同一个数或同一个 整式，所得结果仍是等式； 等式性质 2： 等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数， 所得结果仍是等式. 3方程：含未知数的等式，叫方程. 4方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解； 注意：“方程的解就能代入”！ 5移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移 项的依据是等式性质 1. 6一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1， 并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. - 16 - 7一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已 知数，且 a0）. 8 一元一次方程的最简形式 ： ax=b（x 是未知数， a、 b 是已知数， 且 a0）. 9一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 去分母 去括号 移项 合并
