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1、- 1 - 有理数 1.有理数: (1)凡能写成形式的数,都是有理数.正整)0pq , p ( p q 为整数且 数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和 分数统称有理数.注意:0 即不是正数,也不是负数;-a 不一 定是负数,+a 也不一定是正数;不是有理数; (2)有理数的分类: 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 (3)注意:有理数中,1、0、-1 是三个特殊的数,它们有自己的 特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数 也有自己的特性; - 2 - (4)自然数 0 和正整数;
2、a0 a 是正数;a0 a 是负数; a0 a 是正数或 0 a 是非负数;a 0 a 是负数或 0 a 是非正数. 2数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数; 0 的相反数还是 0; (2)注意: a-b+c 的相反数是-a+b-c;a-b 的相反数是 b-a;a+b 的相反数是-a-b; (3)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0 的绝对值是 0,负数的绝对值是它 的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原 点的距离; (2) 绝对值
3、可表示为 :或 ; 绝 )0a (a )0a (0 )0a (a a )0a (a )0a (a a - 3 - 对值的问题经常分类讨论; (3) ; ;0a1 a a 0a1 a a (4) |a|是重要的非负数,即|a|0;注意: |a|b|=|ab|, . b a b a 5.有理数比大小: (1)正数的绝对值越大,这个数越大; (2)正数永远比 0 大,负数永远比 0 小; (3)正数大于一切负数; (4)两个负数比大小,绝对值大的反而小; (5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大; (6)大数-小数 0,小数-大数 0. 6.互为倒数:乘积为 1 的两个数互为倒数;注意:0 没有
4、倒数; - 4 - 若 a0,那么的倒数是;倒数是本身的数是1;若 ab=1 a a 1 a、b 互为倒数;若 ab=-1 a、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值; (3)一个数与 0 相加,仍得这个数. 8有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a ; (2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 9有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数; 即 a-b=a+(-b). 10 有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号为正,异号为负
5、,并把绝对值相乘; - 5 - (2)任何数同零相乘都得零; (3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零 ; 各个因式都不为零, 积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba; (2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc) ; (3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac . 12有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意: 零不能做除数,.无意义即0 a 13有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数; (2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当 n 为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n
6、为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n . 14乘方的定义: - 6 - (1)求相同因式积的运算,叫做乘方; (2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数, 乘方的结果叫做幂; (3)a2是重要的非负数,即 a20;若 a2+|b|=0 a=0,b=0; (4)据规律 底数的小数点移动一位,平方数的 10010 11 01 . 0 1 . 0 2 2 2 小数点移动二位. 15科学记数法 : 把一个大于 10 的数记成 a10n的形式,其中 a 是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这
7、个近似数的精确到那一位. 17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止, 所有数字,都叫这个近似数的有效数字. - 7 - 18.混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算 简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则. 19.特殊值法:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而 进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 几何图形的初步认识 1、我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形。几何图形分 为立体图形和平面图形。 2、有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的 各部分不都在同一平面内,它们是立体图形。 3、有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各
8、 部分都在同一平面内,它们是平面图形。 4、将由平面图形围成的立体图形表面适当剪开,可以展开成平 面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 5、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。 几何体简称为体。 - 8 - 6、包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种。 7、面与面相交的地方形成线(线有直的和曲的) ,线和线相交的 地方是点(点无大小之分) 。 8、点动成线,线动成面,面动成体。 9、几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基 本元素。 10、正方体的 11 种展开图: “141 型” , 中间一行 4 个作侧面, 上下两个各作为上下底面, 共有 6 种
9、基本图形。 - 9 - “132 型” ,中间 3 个作侧面,共 3 种基本图形。 “222 型” ,两行只能有 1 个正方形相连。、“33 型” ,两 行只能有 1 个正方形相连。 11、经过两点有一条直线,并且只有一条直线。简述为:两点确 定一条直线(公理) 。 12、当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相 交,这个公共点叫做它们的交点。 - 10 - 13、射线和线段都是直线的一部分。 14、 点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 和 MB, 点 M 叫做线段 AB 的中点。 15、两点的所有连线中,线段最短。简单说成:两点之间,线段 最短。(公理) 16、连接两
10、点间的线段的长度,叫做这两点的距离。 17、一般地,用一个大写字母表示一个点,用两个大写字母(也 就是两个点)或者一个小写字母来表示直线。 18、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是 角的顶点,这两条射线是角的两条边。 19、把一个周角 360 等分,每一份就是 1 度的角,记作 1;把 一度的角 60 等分, 每一份叫做 1 分的角, 记作 1 ; 把 1 分的角 60 等分,每一份叫做 1 秒的角,记作 1。 20、角的度、分、秒是 60 进制的。 - 11 - 21、以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制。 22、从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,
11、叫做这个角的平分线。 23、 如果两个角的和等于 90 (直角) , 就是说这两个叫互为余角, 即其中的每一个角是另一个角的余角。 24、 如果两个角的和等于 180 (平角) , 就说这两个角互为补角, 即其中一个角是另一个角的补角。 25、等角的补角相等,等角的余角相等。 代数初步知识 1. 代数式:用运算符号“ ”连接数及表示 数的字母的式子称为代数式.注意:用字母表示数有一定的限 制,首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母 所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字 母也是代数式. 2.列代数式的几个注意事项: - 12 - (1)数与字母相乘,或字母与字母相乘
12、通常使用“ ” 乘,或 省略不写; (2)数与数相乘,仍应使用“”乘,不用“ ”乘,也不能 省略乘号; (3) 数与字母相乘时, 一般在结果中把数写在字母前面, 如 a5 应写成 5a; (4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如 a 应写成a; 2 1 1 2 3 (5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除 式联系,如 3a 写成的形式; a 3 (6)a 与 b 的差写作 a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差, 当分别设两数为 a、b 时,则应分类,写做 a-b 和 b-a . 3.几个重要的代数式:(m、n 表示整数) (1) a与b的平方差是 : a2-b2
13、 ; a与b差的平方是 : (a- b)2 ; - 13 - (2)若 a、b、c 是正整数,则两位整数是: 10a+b ,则三位 整数是:100a+10b+c; (3)若 m、n 是整数,则被 5 除商 m 余 n 的数是: 5m+n ; 偶数是:2n ,奇数是:2n+1;三个连续整数是: n-1、n、 n+1 ; (4)若 b0,则正数是:a2+b ,负数是 : -a2-b ,非负数是 : a2 ,非正数是:-a2 . 整式的加减 1单项式:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或 虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数,
14、叫单项 式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中 所有字母指数的和,叫单项式的次数. 3多项式:几个单项式的和叫多项式. 4多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项 式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项 的次数叫多项式的次数;注意:(若 a、b、c、p、q 是常数) - 14 - ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5整式:凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含 字母的代数式叫整式. 整式分类为: . 多项式 单项式 整式 6同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项 式是同类项. 7合并同类项法则:系数
15、相加,字母与字母的指数不变. 8去(添)括号法则 : 去(添)括号时,若括号前边是“+”号, 括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括号里的各 项都要变号. 9整式的加减:整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把 多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母 的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的 升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般 应该进行升幂(或降幂)排列. - 15 - 一元一次方程 1等式与等量:用“=”号连接而成的式子叫等式.注意:“等 量就能代入”! 2等式的性质: 等式性质 1:等式两边都加上(或减去)
16、同一个数或同一个 整式,所得结果仍是等式; 等式性质 2: 等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数, 所得结果仍是等式. 3方程:含未知数的等式,叫方程. 4方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解; 注意:“方程的解就能代入”! 5移项:改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项.移 项的依据是等式性质 1. 6一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1, 并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. - 16 - 7一元一次方程的标准形式: ax+b=0(x 是未知数,a、b 是已 知数,且 a0). 8 一元一次方程的最简形式 : ax=b(x 是未知数, a、 b 是已知数, 且 a0). 9一元一次方程解法的一般步骤: 整理方程 去分母 去括号 移项 合并