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1、2016 年全国高考新课标1 卷文科数学试题 第卷 一、选择题，本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1设集合A=1,3,5,7，B=x|2 x5，则AB=( ) A1,3 B 3,5 C5,7 D1,7 2设 (1+2i)(a+i) 的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( ) A-3 B-2 C2 D 3 3为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 5 6 4ABC的内角A,B,C的对
2、边分别为a,b,c. 已知 2 5,2,cos 3 acA， 则b=( ) A2 B3 C2 D3 5直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1 4 ，则该椭圆的离心率为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 6若将函数y=2sin (2x+ 6 ) 的图像向右平移 1 4 个周期后，所得图像对应的函数为 ( ) Ay=2sin(2x+ 4 ) B y=2sin(2x+ 3 ) C y=2sin(2x 4 ) D y=2sin(2x 3 ) 7如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是 28 3 ，
3、 则它的表面积是( ) A17 B18 C20 D28 8若ab0，0c1，则 ( ) Alogaclogbc B logcalogcb Ca ccb 9函数y=2x 2e|x| 在2,2 的图像大致为 ( ) y x y 2 O - 1 C x2 O- 1 B y x2 O- 1 A x2O- 1 D y 10执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1， 则输出x，y的值满足 ( ) Ay=2x By=3x Cy=4x Dy=5x 11平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A， 3 2 2 2 3 3 1 3 1 ( )sin2sin 3 f xx-xax 1 3 1 3 1
4、 3 1 3 13 题第 21 题为必考题， 每个试 题考生都必须作答，第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在横线上 13设向量a=(x，x+1) ，b=(1，2) ，且ab，则x= . 14已知是第四象限角，且sin(+ 4 )= 3 5 ，则 tan(- 4 )= . 15设直线y=x+2a与圆C：x 2+y2-2 ay-2=0 相交于A，B两点，若 |AB|=2 3，则圆C的面积 为 . 16某高科技企业生产产品A和产品 B需要甲、乙两种新型材料. 生产一件产品A需要甲材 料，乙材料1kg，用 5 个工时；生
5、产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3 个工时，生 产一件产品A的利润为2100 元，生产一件产品B的利润为900 元. 该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品 B的利润之和 的最大值为元. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 只做 6 题，共 70 分. 17. （本题满分12 分） 已知 an 是公差为3 的等差数列，数列bn 满足b1=1，b2= 3 1 ，anbn+1+bn+1=nbn. ( ) 求an 的通项公式； () 求bn的前n项和 . 开始 x 2+y236 是 结束 输出x, y 否 n=n+1 输
6、入x, y, n 1 , 2 n xxyny B E G P D CA 18. （本题满分12 分） 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影 为点D，D在平面PAB内的正投影为点E， 连接PE并延长交AB于点G. ( ) 证明G是AB的中点； ( ) 在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由) ，并求四面体PDEF的体积 19. （本小题满分12 分） 某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进 机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元 . 在机器使用期间，如果备
7、件不足再 购买，则每个500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零 件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数. ( ) 若n=19，求y与x的函数解析式； ( ) 若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于，求n的最小值； ( ) 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易 损零件，分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为
8、决策依据， 购买 1台机器的同时应购买19 个还是 20 个易损零件 20. （本小题满分12 分） 在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y 2=2px( p0) 于点 P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H. ( ) 求 OH ON ； ( ) 除H以外，直线MH与C是否有其它公共点说明理由. 21. （本小题满分12 分） 已知函数f(x)=(x -2)e x+a( x -1) 2. ( ) 讨论f(x) 的单调性； () 若有两个零点，求a的取值范围 . 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题计分
9、, 做答时请写清题号 22. （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲 如图，OAB是等腰三角形，AOB=120. 以O为圆心， 1 2 OA为半径作圆 . ( ) 证明：直线AB与O相切； ( ) 点C,D在O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：ABCD. 23. （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin xat yat （t为参数，a0）. 在以坐 标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos. ( ) 说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； ( ) 直线C3的极坐标方程为=0，其
10、中0满足 tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都 在C3上，求a. 24. （本小题满分10 分） ，选修 45：不等式选讲 已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|. ( ) 在答题卡第24 题图中画出y=f(x) 的图像； ( ) 求不等式 | f(x)|1的解集 . 2016 年全国高考新课标1 卷文科数学试 题参考答案 一、选择题，本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C 【12 题解析】 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 13 2 3 14 4 3 15 4 16 21
11、6000 B E G P F D CA 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 只做 6 题，共 70 分. 17解： ( ) 依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2= 3 1 ，解得a1=2 2 分 通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1 6 分 ( ) 由( )知 3nbn+1=nbn，bn+1= 3 1 bn，所以 bn是公比为 3 1 的等比数列 . 9 分 所以 bn 的前n项和Sn= 1 1 1( ) 31 3 1 22 3 1 3 n n 12 分 18( ) 证明：PD平面ABC，PDAB 又DE平面PAB，DEABAB平面PDE 3 分 又PG 平面PDE
12、，ABPG依题PA=PB，G是AB的中点 6 分 ( ) 解：在平面PAB内作EFPA（或EF7 分 理由如下：PCPA，PCPB， PC平面PAB EF PC 作EFPA，EF平面PAC即F是点E在平面PAC内的正投影 . 9 分 连接CG，依题D是正 ABC的重心，D在中线CG上，且CD=2DG 易知DE2 2 3 22 2 33 PG 14 33 VSDE12 分 19解： ( ) 当x19 时，y=3800；当x19 时，y=3800+500(x-19)=500 x-5700. 所以y与x的函数解析式为 3800,19 (*) 5005700,19 x yxN xx 3 分 ( ) 由
13、柱状图知，需更换的易损零件数不大于18 为，不大于19 为，所以n的最小值为 19. 6 分 ( ) 若每台机器都购买19 个易损零件， 则有 70 台的费用为3800，20 台的费用为4300， 10 台的费用为4800，所以 100 台机器购买易损零件费用的 平均数为 1 100 (3800 70+4300 20+480010)=4000. 9 分 若每台机器都购买20 个易损零件，则有90 台的费用为4000， 10 台的费用为4500，所 以 100 台机器购买易损零件费用的 平均数为 1 100 (4000 90+4500 10)=4050. 11 分 比较两个平均数可知，购买1 台
14、机器的同时应购买19 个易损零件 . 12 分 20解： ( ) 依题M(0, t) ，P( 2 2 t p , t). 所以N( 2 t p , t) ，ON的方程为 p yx t . 联立y 2=2px，消去 x整理得y 2=2ty . 解得y1=0，y2=2t. 4 分 所以H( 2 2t p ,2t). 所以N是OH的中点，所以 OH ON =2. 6 分 ( ) 直线MH的方程为 2 p ytx t ，联立 y 2=2px，消去 x整理得y 2-4 ty+4t 2 =0. 解得y1=y2=2t. 即直线MH与C只有一个交点H. 所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点. 12 分 2
15、1解： ( ) f (x)=(x -1)e x+a(2 x -2)=(x -1)(e x+2a). xR 2 分 (1)当a0 时，在 (- ,1) 上，f (x)0 ，f(x) 单调递增 . 3 分 (2) 当a 2 e ， ln(-2a)1 ，在 (ln(-2a),1) 上， f (x)0 ，f(x) 单调递增 . 若a1 ，在 (1,ln(-2a) 上， f (x)0 ，f(x) 单调递增 . 7 分 ( ) (1)当a=0 时，f(x)=(x -2)e x 只有一个零点，不合要求. 8 分 (2) 当a0时，由 ( ) 知f(x) 在(- ,1) 上单调递减；在(1,+ ) 上单调递增 . 最小值f(1)=-e0，若取b0 且bln 2 a ，e b 223 (2)(1)()0 22 a ba ba bb，所以f(x) 有两个零点 . 10 分 (3) 当a0 时，在 (- ,1 上，f(x)0 恒成立；若a 2 e ，由 ( ) 知f(x) 在(1,+ ) 上 单调递增，不存在两个零点. 若a 2 e ，f(x) 在(1,ln(-2a) 上单调递减；在(ln(-2a),+ ) 上单调递增，也不存在两个零点. 综上 a 的取值范围是 (0,1). 12 分
