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1、1 考点 42 恒过定点的直线 含参的直线方程,大都可以改写成 00 ()yyk xx的形式, 由直线的点斜式方程可知,直线必定过点 00 (,)xy,利用直线恒过定点可以妙解数学问题 【例】 若直线lykx3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值 范围是 _ 【答案】 3090 【易错易混】 直线从 CA运动到 CB ,是直线的斜率k 3 3 ,对应的倾斜角为 (30, 90) ,不包括 90 1若 kR ,直线y+2=k(x1)恒过一个定点,则这个定点的坐标为() A ( 1, 2)B ( 1,2) C ( 2,1)D (2,1) 【答案】 A 【解析】y+2=k
2、(x1)是直线的点斜式方程,它经过定点为(1, 2) 故选 A 【规律方法】解含有参数的直线恒过定点的问题 要点阐述 典型例题 小试牛刀 2 方法 1:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题 目中含参数直线所过的定点,从而问题得解 方法 2:分项整理,含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为0 的形式,然后含参 数的项和不含参数的项分别为零,解此方程组得到的解即为已知直线恒过的定点 2若0abc,则直线0axbyc必经过的一个定点是() A( 1,1)B( 1,1) C( 1, 1)D( 1, 1) 【答案】 C 【解析】由0abc,得
3、c ba,故 0axbyc可化为110a xb y,所以必经过的一 个定点是( 1, 1) 3三条直线:0 xy,0 xy,3xay构成三角形,则a的取值范围是() A1aB12aa, C1aD1a,2a 【答案】 A 【秒杀技】若a=1, 或a=1 则有两条直线平行,构不成三角形,选出答案A 4直线ymx2m1 恒过一定点,则此点是_ 【答案】 ( 2,1) 【解析】把直线方程化为点斜式y1m(x2)显然当x 2 时y1,即直线恒过定点( 2,1) 5直线20axby的系数 a , b 满足341ab,则直线必过定点_ 【答案】( 6, 8) 【解析】 341ab , 31 44 ba, 3
4、1 20 44 axay 4380axayy,4380axyy, 解方程组 430 80 xy y , , 得 6 8 x y , 定点为( 6, 8) 1 直线130kxyk,当 k 变化时,所有直线都通过定点() 考题速递 3 A( 0,0)B( 0,1) C( 3,1)D( 2,1) 【答案】 C 【解析】直线方程整理为k(x3)(y1)=0,过定点( 3,1) 2 不论 m 怎么变化,直线221340mxmym恒过定点() A( 1,2)B( 1, 2) C( 2,1)D( 2, 1) 【答案】 B 3 两直线 3axy 20 和( 2a1)x5ay10 分别过定点A,B,则 |AB|
5、 的值为() A 89 5 B17 5 C 13 5 D11 5 【答案】 C 【解析】直线3axy20 过定点A(0, 2),直线( 2a 1)x5ay1 0,过定点B1,2 5 , 由两点间的距离公式,得|AB| 13 5 4已知直线l:5ax 5ya 30 (1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围 【解析】( 1)将直线l的方程整理为y 3 5 a(x 1 5), l的斜率为a,且过定点A( 1 5, 3 5) 而点A( 1 5, 3 5)在第一象限,故 l过第一象限 4 不论a为何值,直线l总经过第一象限 (2)直线OA的斜率为k 3 5 0 1 5 0 3l不经过第二象限,a3 蒲丰试验 一天 , 法国数学家蒲丰请许多朋友到家里, 做了一次试验 蒲丰在桌子上铺好一张大白纸, 白纸上画满了等 距离的平行线, 他又拿出很多等长的小针, 小针的长度都是平行线的一半蒲丰说: “请大家把这些小针往这 张白纸上随便仍吧 ! ”客人们按他说的做了 蒲丰的统计结果是:大家共掷2212 次 , 其中小针与纸上平行线相交704 次,22107043 142蒲丰说: “这个数是 的近似值每次都会得到圆周率的近似值, 而且投掷的次数越多, 求出的圆周率近似值越精 确”这就是著名的“蒲丰试验” 数学文化