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1、函数的奇偶性 【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：；（4）由定义不
2、难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定
3、义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且=-，则既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与
4、一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间a,b和-b，-a上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间a,b上是增函数（减函数），则在区间-b，-a上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区
5、间a,b和-b，-a上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间a,b上是增函数（减函数），则在区间-b，-a上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数【解析】(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(
6、x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数；(4)，f(x)为奇函数；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数；(6)，f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦
7、.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数【解析】(1)的定义域是，又，是奇函数（2）的定义域是，又，是偶函数（3），为非奇非偶函数（4）任取x0则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) xR时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x
8、)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函数 B-|g(x)|是奇函数C| +g(x)是偶函数 D
9、|- g(x)是奇函数【答案】A例2.已知函数，若对于任意实数都有，判断的奇偶性.【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数，都有，可以令为某些特殊值，得出.设则，.又设，则，是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行.举一反三：【变式1】 已知函数，若对于任意实数，都有，判断函数的奇偶性.【答案】偶函数【解析】令得，令得由上两式得：，即是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为 【答案】 -1【解析】考虑到均为奇函
10、数，联想到奇函数的定义，不妨寻求与的关系+= ， 当时， 而， 在上的最小值为-1 【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题过程如下：时，的最大值为5，时的最大值为3，时的最小值为-3，时，的最小值为-3+2=-1举一反三：【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-2
11、6法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.例4. 已知是定义在R上的奇函数，当时，求的解析式【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，当时， =又奇函数在原点有定义，【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.（2）已知奇
12、函数的定义域是R，当时，求的解析式.【答案】（1）；（2）例5. 定义域在区间2，2上的偶函数，当x0时，是单调递减的，若成立，求m的取值范围【思路点拨】根据定义域知1m，m1，2，但是1m，m在2，0，0，2的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数的性质：，可避免讨论【答案】【解析】由于为偶函数，所以，因为x0时，是单调递减的，故，所以，解得故m的取值范围是【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1m，m转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1m与m大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化另外，需注意的是不要忘记定义域类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知
13、是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数的单调递增区间【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。【答案】0，1和（，1【解析】 是偶函数，且在0，+）上是减函数，在（，0上是增函数设u=1x2，则函数是函数与函数u=1x2的复合函数当0x1时，u是减函数，且u0，而u0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数当x1时，u是增函数，且u0，而u0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数同理可得当1x0或x1时，是减函数所求的递增区间为0，1和（，1【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两
14、个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围本例中，x1时，u仍是减函数，但此时u0，不属于的减区间，所以不能取x1，这是应当特别注意的例7. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a0时，函数为非奇非偶函数.当.【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当时，且上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当时，上单调递减，上的最小值为上的最小值为综上：.举一反三：【变式1】 判断的奇偶性【答案】当时，函数既是奇函数，又是偶函数；当时，函数是奇函数【解析】对进行分类讨论若，则，定
