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1、 1 第一讲 选择题速解方法 七大方法巧解选择题 题型解读 题型地位 选择题是高考数学试卷的三大题型之一 选择题的分数一般占全 卷的 40%左右 解选择题的快慢和成功率的高低对于能否进入做题的 最佳状态以及整个考试的成败起着举足轻重的作用 如果选择题做得 比较顺手，会使应试者自信心增强，有利于后续试题的解答 题型特点 数学选择题属于客观性试题，是单项选择题，即给出的四个选项 中只有一个是正确选项，且绝大部分数学选择题属于低中档题一般 按由易到难的顺序排列， 主要的数学思想和数学方法能通过它得到充 分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法 的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以
2、选择题已成为具有较好区分 度的基本题型之一其主要体现在以下三个方面： (1)知识面广，切入点多，综合性较强； (2)概念性强，灵活性大，技巧性较强； (3)立意新颖，构思精巧，迷惑性较强 由于解选择题不要求表述得出结论的过程，只要求迅速、准确作 出判断，因而选择题的解法有其独特的规律和技巧因此，我们应熟 练掌握选择题的解法， 以 “准确、 迅速” 为宗旨， 绝不能 “小题大做” 解题策略 数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探 求结果； 二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足 题干条件其解法的基本思想有以下两点： (1)充分利用题干和选择支提供的信息，快速、准确
3、地作出判断， 2 是解选择题的基本策略 (2)既要看到通常各类常规题的解题思想， 原则上都可以指导选择 题的解答，更应看到，根据选择题的特殊性，必定存在着一些特殊的 解决方法其基本做法如下：仔细审题，领悟题意；抓住关键， 全面分析；仔细检查，认真核对 另外，从近几年高考试题的特点来看，选择题以认识型和思维 型的题目为主，减少了繁琐的运算，着力考查逻辑思维与直觉思维能 力，以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，且许多题目 既可用通性通法直接求解，也可用“特殊”方法求解所以做选择题 时最忌讳： (1)见到题就埋头运算， 按着解答题的解题思路去求解， 得到结果 再去和选项对照， 这样做花费时
4、间较长， 有时还可能得不到正确答案； (2)随意“蒙”一个答案准确率只有 25%！但经过筛选、淘汰， 正确率就可以大幅度提高 总之，解选择题的基本策略是“不择手段” 例析 方法一 直接法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关 概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、 准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出 的选项“对号入座” ，从而确定正确的选择支这类选择题往往是由 计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直 接求解 例1 已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则 a1a10 等于( ) 3 A7 B5 C.
5、5 D7 思维启迪 利用基本量和等比数列的性质，通过解方程求出 a4， a7，继而求出 q3. 答案 D 解析 解法一：由题意得 a4a7a1q3a1q62， a5a6a1q4 a1q5a21q98， q32， a11 或 q31 2， a18. a1a10a1(1q9)7. 解法二：由 a4a72， a5a6a4a78 解得 a42， a74 或 a44， a72. q32， a11 或 q31 2， a18. a1a10a1(1q9)7. 探究提高 直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用 的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断 提高用直接法解选择题的能力，准确
6、把握题目的特点.一般来说，涉 及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法. 跟踪训练 1 2015 浙江高考 如图，设抛物线 y24x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在 抛物线上，点 C 在 y 轴上，则BCF 与ACF 的面积之比是( ) 4 A.|BF|1 |AF|1 B.|BF| 21 |AF|21 C.|BF|1 |AF|1 D.|BF| 21 |AF|21 答案 A 解析 由题可知抛物线的准线方程为 x1.如图所示，过 A 作 AA2y 轴于点 A2，过 B 作 BB2y 轴于点 B2，则S BCF SACF |BC| |AC| |B
7、B2| |AA2| |BF|1 |AF|1. 方法二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量 运算或推理，直接选择出正确结论的方法这类题目常涉及一些似是 5 而非、很容易混淆的概念或性质，这需要平时注意辨析有关概念，准 确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题 以保证正确选择一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容 易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱” 例2 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，给出下列条件， akb(kR)；x1x2y1y20；(a3b)(2ab)；a b|a|b|； x21y22x22y212x1x2
8、y1y2. 其中能够使得 ab 的个数是( ) A.1 B2 C.3 D4 思维启迪 本题考查两个向量共线的定义， 可根据两向量共线的 条件来判断，注意零向量的特殊性 答案 D 解析 显然是正确的， 这是共线向量的基本定理； 是错误的， 这是两个向量垂直的条件；是正确的，因为由(a3b)(2ab)，可 得(a3b)(2ab)，当 1 2时，整理得 a 3 21b，故 ab；当 1 2时，易知 b0，ab；是正确的，若设两个向量的夹角为 ， 则由 a b|a|b|cos，可知 cos1，从而 0，所以 ab；是正确 的，由 x21y22x22y212x1x2y1y2，可得(x1y2x2y1)20
9、，从而 x1y2x2y1 0，于是 ab. 探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念， 应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法， 同时要将共线向量与向量 中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系 6 起来，能够从不同的角度来理解共线向量. 跟踪训练 2 设 a，b，c 是空间任意的非零向量，且相互不共线， 则以下命题中：(a b) c(c a) b0；|a|b|ab|；若存在唯 一实数组 ，使 cab，则 a，b，c 共面；|ab| |c|a c b c|. 真命题的个数是( ) A.0 B1 C.2 D3 答案 B 解析 由向量数量积运算不满足结合律可知错
10、误； 由向量的加 减法三角形法则可知，当 a，b 非零且不共线时，|a|b|ab|，故 正确； 当 0 时，cab 成立，但 a，b，c 不一定共面， 故错误； 因为|a cb c|(ab) c|ab|c|cosab，c|ab| |c|， 故错误答案为 B. 方法三 特例检验法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、 特殊 位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验， 从而做出正确的选择 常用的特例有特殊数值、 特殊数列、 特殊函数、 特殊图形、特殊角、特殊位置等 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集 合的所有元素、某种关系恒成立” ，这样
11、以全称判断形式出现的题目， 其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不 7 真” ，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略 例3 设椭圆 C： x2 4 y 2 3 1 的长轴的两端点分别是 M，N，P 是 C 上异于 M，N 的任意一点，则 PM 与 PN 的斜率之积等于( ) A.3 4 B3 4 C.4 3 D4 3 思维启迪 本题直接求解较难，运算量较大，可利用特殊位置进 行求解，由 P 为 C 上异于 M，N 的任一点，故可令 P 为椭圆短轴的 一个端点 答案 B 解析 取特殊点，设 P 为椭圆的短轴的一个端点(0， 3)，又取 M(2,0)，N(2,0)，所以 k
12、PM kPN 3 2 3 2 3 4，故选 B. 探究提高 用特殊值法解题时要注意： (1)所选取的特例一定要简 单，且符合题设条件；,(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；,(3) 当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时， 要根据题设要 求选择另外的特例代入检验，直到找到正确选项为止. 跟踪训练 3 如图，在棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P、 Q 满足 A1PBQ，过 P、Q、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其 体积之比为( ) 8 A.31 B21 C.41 D. 31 答案 B 解析 将 P、Q 置于特殊位置：PA1，QB，此时仍满足条件 A1PBQ(0)，则有
13、 VCAA1BVA1ABCV ABCA1B1C1 3 .故选 B. 方法四 排除法 数学选择题的解题本质就是去伪存真， 舍弃不符合题目要求的选 项，找到符合题意的正确结论筛选法(又叫排除法)就是通过观察分 析或推理运算各项提供的信息或通过特例对于错误的选项，逐一剔 除，从而获得正确的结论 例4 2016 山东潍坊模拟已知函数 yf(x)的定义域为x|x R 且 x0，且满足 f(x)f(x)0，当 x0 时，f(x)ln xx1，则 函数 yf(x)的大致图象为( ) 9 思维启迪 结合函数的奇偶性、单调性、定义域、特殊自变量所 对应函数值与零的大小等对选项进行验证排除 答案 A 解析 因为函
14、数 yf(x)的定义域为x|xR 且 x0，且满足 f(x) f(x)0，所以 f(x)为奇函数，故排除 C、D，又 f(e)1e10. 若函数 yf(x) a|x|恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为_ 思维启迪 研究函数零点的个数问题可转化为图象交点的个数， 11 进而考虑数形结合法求解 答案 (1,2) 解析 作出函数 f(x)的图象，根据图象观察出函数 f(x)的图象与 函数 y1a|x|的图象交点的情况，然后利用判别式等知识求解 画出函数 f(x)的图象如图所示 函数 yf(x)a|x|有 4 个零点，即函数 y1a|x|的图象与函数 f(x) 的图象有 4 个交点(根据图象知
15、需 a0) 当 a2 时， 函数 f(x)的图象与函数 y1a|x|的图象有 3 个交点 故 a2. 当 ya|x|(x0)与 y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x) 的图象与 y1a|x|的图象有 5 个交点， 此时，由 yax， yx25x4 得 x2(5a)x40. 当 0 得(5a)2160， 解得 a1，或 a9(舍去)， 12 则当 1a2 时，两个函数图象有 4 个交点 故实数 a 的取值范围是 1af(x)，则有( ) A.e2016f(2016)e2016f(0) B.e2016f(2016)f(0)，f(2016)f(0)，f(2016)e2016f(0) D.e2016f(2016)f(0)，f(2016)f(x)，并且 ex0， 所以 g(x)g(0)，g(2016)f(0)，f(2016) e2016 f(0)，f(2016)e2016f(0) 探究提高 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式， 特别是 研究整个问题复杂时， 单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情 景进行研究. 跟踪训练 6 若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等， 即 ABCD， ACBD，ADBC，给出下列五个命题： 四面体 ABCD 每组对棱相互垂直； 四面体 A
