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1、 1 集合的概念与集合的表示 集集 合合 概概 念念 把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。 元素的性质元素的性质 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性 表表 示示 方方 法法 列 举 法 元素不重复 元素无顺序 元素间用“，”隔开 描 述 法 写清楚集合中元素的代号，如xR|x0，不能写成 x2； 说明该集合中元素的性质； 所有描述的内容都写在大括号内。 元素与集合的关系元素与集合的关系 一般地，用大写拉丁字母如 A、B、C 表示集合，用小写拉丁字母 a、 b、c 表示集合中的元素，如果 a 是集合 A 中的元素就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 的元素
2、，就说 a 不属于 A，记作 a A。 常用数集及其记法常用数集及其记法 N 为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或 N+为正整数组成的 集合；Z 为整数组成的集合；Q 为有理数组成的集合，R 为实数组成 的集合。 例题例题 1 判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）R=R； （2）方程组 += = 1 2 xy xy 的解集为x=1，y=2； （3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21； （4）平面内线段 MN 的垂直平分线可表示为P|PM=PN。 答案：答案： （1）R=R 是不正确的，R 通常为 R=x|x 为实数，即 R 本身可表示为全体实数 的集合，而R则表
3、示含有一个字母 R 的集合，它不能为实数的集合。 （2）方程组 += = 1 2 xy xy 的解集为x=1，y=2是不对的，因为解集的元素是有序实数对 （x，y） ，正确答案应为（x，y）| = = 2 1 y x =（1，2）。 （3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21是不正确的。 2 x|y=x21表示的是函数自变量的集合，它可以为x|y=x21=x|xR=R。 y|y=x21表示的是函数因变量的集合，它可以为y|y=x21=y|y1。 （x，y）|y=x21表示点的集合，这些点在二次函数 y=x21 的图象上。 （4）平面上线段 MN 的垂直平分线可表示为P|PM=
4、PN，该命题是正确的。 知识点拨知识点拨： 正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。 特殊数集用特定字母表 示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为（x，y）| = = ? ? y x 的形式；对描 述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。 例题例题 2 已知 a1，1，a2，则 a 的值为_。 答案：答案：a1，1，a2， a 可以等于 1，1，a2。 （1）当 a=1 时，集合则为1，1，1，不符合集合元素的互异性。故 a1。 （2）同上，a=1 时也不成立。 （3）a=a2时，得 a=0 或 1，a=1 不满足，舍去，a=0 时集合为1，1，0。
5、 综上，a=0。 知识点拨知识点拨： 集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同， 无序性指集合中的元素与 顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意 集合元素的互异性、确定性。 随堂练习：随堂练习：下列各组对象中不能构成集合的是（ ） A. 高一（1）班全体女生 B. 高一（1）班全体学生的家长 C. 高一（1）班开设的所有课程 D. 高一（1）班身高较高的男同学 知识点拨知识点拨：根据集合的概念进行判断。因为 A、B、C 中所给对象都是确定的，从而可 以构成集合；而 D 中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构 成集合。若将 D
6、中“身高较高的男同学”改为“身高 175 cm 以上的男同学”，则能构成集合。 答案：答案：D 判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征： （1）确定性， （2）互异性， （3）无序 性， 特别是确定性比较难理解， 是指元素和集合的关系是非常明确的， 要么该元素属于集合， 要么该元素不属于集合，而不是模棱两可。 例例题题 判断以下对象能否组成集合。 （1）高一（1）班的身高大于 1.75 m 的学生； （2）高一（1）班的高个子学生。 答案答案： （1）高一（1）班中身高大于 1.75 m 的学生是确定的，因此身高大于 1.75 m 的学 生可以组成集合。 （2）高一（1）班中的高个子学生没
7、有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合。 3 （答题时间：（答题时间：15 分钟）分钟） 1. 下列集合表示法正确的是（ ） A. 1，2，3，3 B. 全体有理数 C. 00 D. 不等式 x32 的解集是x|x5 2. 下列语句 集合x|0x1可以用列举法表示； 集合1，2，1含有三个元素； 正整数集可以表示为1，2，3，4，； 由 1，2，3 组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1。 正确的是（ ） A. 只有和 B. 只有和 C. 只有 D. 只有和 3. 集合1，3，5，7，9用描述法表示应是（ ） A. x|x 是不大于 9 的非负奇数 B. x|x9，xN C. x|1x9
8、，xN D. x|0 x9，xZ 4. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ） A. x|x1 B. y|（y1）20 C. x1 D. 1 5. 集合 M（x，y）|xy0，xR，yR是指（ ） A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集 C. 第一、三象限内的点集 D. 第二、四象限内的点集 6. （x，y）|xy6，x，yN用列举法表示为_ _。 1. D 2. D 解析： 表示无限集， 不能一一列举， 故不正确； 含有相同的元素， 不正确； 、正确。 3. A 4. C 解析：A、B、D 三项表示的集合都是1，而 C 选项表示含有一个方程的集合。 5. D 解析：xy0 且 y0
9、 或 x0。因此集合 M 表示第二、四象限内的点 集。 6. （0，6） ， （1，5） ， （2，4） ， （3，3） ， （4，2） ， （5，1） ， （6，0） 4 集合的运算 子子 集集 真真 子子 集集 定定 义义 对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的 任意一个元素都是集合 B 中的元素， 称集合 A 为集合 B 的子集 若集合 AB，但存在元素 xB，且 x A，称集合 A 是集合 B 的真子集 符号语言符号语言 若任意 xA，有 xB，则 AB。 若集合 AB，但存在元素 xB，且 x A，则 A B 表示方法表示方法 A 为集合 B 的子集，记作 AB 或 B A。 A
10、不是 B 的子集时， 记作 AB 或 B A。 若集合 A 是集合 B 的真子集， 记作 A B 或 BA。 性性 质质 AA A AB，BCAC AB，且 BCAC 子集个数子集个数 含 n 个元素的集合 A 的子集个数为 n 2 含 n 个元素的集合 A 的真子集个数为 n 21 空空 集集 不含任何元素的集合，记为。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为 A；若 A 非空（即 A），则有 A。 集合的运算： 1. 并集的概念 （1）自然语言表示：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集。 （2）符号语言表示：AB=x|xA，或 xB。 （3）图
11、形语言（Venn 图）表示：。 2. 交集的概念 （1）自然语言表示：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集。 （2）符号语言表示：AB=x|xA，且 xB。 （3）图形语言表示（Venn 图） ：。 3. 补集的概念 （1）自然语言表示：对于集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素所组成的集 合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集。 （2）符号语言表示：A=x|xU，且 xA。 5 （3）图形语言表示（Venn 图） ：，阴影部分表示A。 例例题题 1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。 （1）表示
12、空集； （2）空集是任何集合的真子集； （3）1，2，3不是3，2，1； （4）0，1的所有子集是0，1，0，1； （5）如果 AB 且 AB，那么 B 必是 A 的真子集； （6）AB 与 BA 不能同时成立。 思路导航：思路导航：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即 答案答案： （1）不正确。应该改为：，表示这个集合的元素是。 （2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。 这是因为空集与空集相等， 而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。 由此也发 现了，如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等。 （3）
13、不正确。1，2，3与3，2，1表示同一集合。 （4）不正确。0，1的所有子集是0，1，0，1，。 （5）正确。 （6）不正确。A=B 时，AB 与 BA 能同时成立 知识点拨知识点拨：结合本题，要注意以下几点： （1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确。空集有专用的 符号“”，不能写成，也不能写成 。 （2）分析空集、子集、真子集的区别与联系。 （3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是 不是都有相同的元素与之对应，而不必考虑各元素的顺序。 （4）不正确。注意到是每个集合的子集。所以这个说法不正确。 （5）正确。AB 包括两种情形：AB 和
14、 A=B。 （6）不正确。A=B 时，AB 与 BA 能同时成立。 例例题题 2 已知集合 A=x|ax23x+2=0，aR，若 A 中元素至多只有一个，求 a 的取值 范围。 知识点拨知识点拨： 对于方程 ax23x+2=0， aR 的解， 要看这个方程左边的二次项的系数， a=0 或 a0 时， 方程的根的情况是不一样的。 则集合 A 的元素也不相同， 所以首先要分类讨论。 答案答案： （1）a=0 时，原方程为3x+2=0 x= 3 2 ，符合题意； （2）a0 时，方程 ax23x+2=0 为一元二次方程，=98a0a 8 9 。 当 a 8 9 时，方程 ax23x+2=0 无实根或
15、有两个相等实数根，这都符合题意。 综合（1） （2） ，知 a=0 或 a 8 9 。 6 例例题题 3 设集合 Ax|xa|1，xR，Bx|1x5，xR。若 AB，则实数 a 的取值范围是（ ） A. a|0a6 B. a|a2 或 a4 C. a|a0 或 a6 D. a|2a4 知识点拨知识点拨：本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。 由|xa|1 得1xa1，即 a1xa1。 AB 可以分两种情况来讨论，一种是 A 集合在 B 集合的左边，一种是 A 集合在 B 集合的 右边。 如图，由图可知 a11 或 a15，所以 a0 或 a6。 答案：答案：C 随堂练习：随堂练习：满足1，3A=1，3，5的所有集合 A 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 知识点拨知识点拨：根据 AB 的定义可知，集合1
