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1、 / 7 1 高等数学（下）期末试卷参考答案 一、单项选择题（每题分，总计分） 。 1、),( 00 yxfx和),( 00 yxfy存在是函数),(yxf在点),( 00 yx连续的（ ） 。 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。 3、设)ln( 222 zyxu+=，则)(ugraddiv（ ） 。 A. 222 1 zyx+ ；B. 222 2 zyx+ ；C. 2222 )( 1 zyx+ ；D. 2222 )( 2 zyx+ 3、设D是xoy面上以) 1, 1(),1, 1(),1, 1 (为顶点的三角形区域， 1 D是
2、D中在第一象限的部分，则积 分+ D dyxyx)sincos( 33 （ ） A.dyx D 1 sincos2 3 ； B. 1 3 2 D ydx； C. + 1 )sincos(4 33 D dyxyx； D.0 4、设为曲面)0( 222 =+RRyx上的10 z部分，则 + +dSyxe yx )sin( 22 22 （ ） 。 A.0； B. 2 sinReR R ； C.R4； D. 2 sinRe2R R 5、设二阶线性非齐次方程)()()(xfyxqyxpy=+ 有三个特解xy = 1 ， x ey = 2 ， x ey 2 3 =，则其通 解为（ ） 。 A. xx eC
3、eCx 2 21 +； B. xx eCeCxC 2 321 +； C.)()( 2 2 1 xxx exCeeCx+； D.)()( 2 2 2 1 xeCeeC xxx + 二、填空题（每题分，总计分） 。 1、函数yxyaxxyxf22),( 22 +=在点) 1, 1 (处取得极值，则常数a_。 2、若曲面2132 222 =+zyx的切平面平行于平面02564=+zyx，则切点坐标为_。 3、二重积分dxeydy y x 11 0 3 的值为_。 4 、 设 空 间 立 体所 占 闭 区 域 为0, 0, 1+yxzyx，上 任 一 点 的 体 密 度 是 / 7 2 zyxzyx+
4、=),(，则此空间立体的质量为_。 5、微分方程 2 yx y y + =的通解为_。 三、计算题（每题分，总计分） 。 1、已知 2 2),(zxyzyxf=及点) 1, 1, 2(A、) 1, 1, 3(B，求函数),(zyxf在点A处沿由A到B方 向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。 2、设),(xyyxfz=具有连续的二阶偏导数，求 yx z 2 。 3、将函数 2 2 3 )( xx xf =展开成x的幂级数，并指出收敛域。 4、设)(xyy =满足方程 x eyyy223=+ ，且其图形在点) 1, 0(与曲线1 2 +=xxy相切，求函数 )(xy。 5、计算 +
5、L zyx ds 222 ，其中L是螺旋线tztytx=,sin8,cos8对应20 t的弧段。 四、计算题（每题分，总计分） 。 1、设0a，计算极限) 321 (lim 32n n a n aaa + + 的值。 2、计算 dvz，其中由不等式 22 yxz+及41 222 +zyx所确定。 3、计算 + + 222 2 )( zyx dxdyazaxdydz ，其中为下半球面 222 yxaz=的下侧，a为大于零的常数。 4、将函数) 11()(=xxxf展开成以 2 为周期的傅立叶级数。 5、设函数)(xf具有连续导数并且满足3) 1 (=f，计算曲线积分dyyxfxdxxxfy L
6、)()( 22 + 的 值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由)2, 1 (到) 1, 2(的任一条逐段光滑曲线。 / 7 3 五、本题分。 可选题 1、对0p，讨论级数 = + 1 1 ) 1( n n n pn 的敛散性。 可 选 题 2 、 设1),( 22 +=yxyxD，),(yxu与),(yxv在D上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， j y v x v i y u x u GjyxuiyxvF + =+=,),(),(， 且 在D的 边 界 曲 线L（ 正 向 ） 上 有 yyxvyxu),(, 1),(，证明 = dGF D 一、单项选择题（每题分，总计分） 。
7、 1、；2、；3、；4、；5、 二、填空题（每题分，总计分） 。 1、-5；2、)2, 2, 1(；3、)1 ( 6 1 1 e；4、 8 1 ；5、Cy y x = 三、计算题（每题分，总计分） 。 1、已知 2 2),(zxyzyxf=及点) 1, 1, 2(A、) 1, 1, 3(B，求函数),(zyxf在点A处沿由A到B方 向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。 解：由条件得 z z f x y f y x f 2,2,2= = = cos,cos,cos 3 2 , 3 2 , 3 1 2, 2, 1 0 =ABAB 3 2 cos, 3 2 cos, 3 1 cos=
8、从而 ) 1 , 1, 2( coscoscos + + = A z f y f x f l f = 3 10 点 A 的梯度方向是2, 4, 22,2 ,2= AA zxyfgradl 所以方向导数的最大值是6224242 222 =+= l f / 7 4 2、设),(xyyxfz=具有连续的二阶偏导数，求 yx z 2 。 解： 2121 ,xff y z yff x z += += 2221211 222211211 2 21 21 2 )( )()( fxyffyxf fxffyxff f y f y y f yff yx z yyx z += += + + =+ = = 3、将函数
9、 2 2 3 )( xx xf =展开成x的幂级数，并指出收敛域。 解： n n n n n n n n n x x x xxxxxx xf = + = = += += + + = + + = = 0 1 00 2 2 ) 1( 1 2 ) 1( 2 1 2/1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 )( 收敛域为) 1 , 1(。 4、设)(xyy =满足方程 x eyyy223=+ ，且其图形在点) 1, 0(与曲线1 2 +=xxy相切，求函数 )(xy。 解：由条件知)(xyy =满足1)0(, 1)0(=yy 由特征方程2, 1023 21 2 =+rrrr,对应齐次方程的通解
10、 xx eCeCY 2 21 += 设特解为 x Axey = * ，其中 A 为待定常数，代入方程，得 x xeyA22 * = 从而得通解 xxx xeeCeCy2 2 21 +=,代入初始条件得0, 1 21 =CC 最后得 x exxy)21 ()(= 5、计算 + L zyx ds 222 ，其中L是螺旋线tztytx=,sin8,cos8对应20 t的弧段。 解：dtdtzyxds ttt 65 222 =+= 8 65 8 arctan 8 65 8 65 2 0 2 0 22222 = + = + t t dt zyx ds L 四、计算题（每题分，总计分） 。 / 7 5 1
11、、设0a，计算极限) 321 (lim 32n n a n aaa + + 的值。 解：设) 11()( 1 = = xnxxs n n ，则原问题转化为求和函数在 a x 1 =处的值 而 2 1 1 11 1 1 )1 (1 )()()()( x x x x xxxxxxxxxnxxs n n n n n nn n = = = = = = 故所求值为 2 ) 1( 1 = a a a s 2、计算 dvz，其中由不等式 22 yxz+及41 222 +zyx所确定。 解： 8 15 4 1 22sin 2 cossin2sincos 2 1 4 4 0 4 0 2 1 3 2 1 2 4
12、0 2 0 = = = rd drrddrrrdddvz 3、计算 + + 222 2 )( zyx dxdyazaxdydz ，其中为下半球面 222 yxaz=的下侧，a为大于零的常数。 解：取 xoy 为xoy面上的圆盘 222 ayx+，方向取上侧，则 + = + = + += += + + + 223 0 2 2 2 0 2 22 2 222 2 3 2 3sincos2 1 )32( 1 )()( 1 )( 1)( aaaadrrdd a dxdyadvaz a dxdyazaxdydzdxdyazaxdydz a dxdyazaxdydz a zyx dxdyazaxdydz a
13、 Dxy xoyxoy 34 4 4 0 3 2 2 1 2 1 sincos4 1 aa a a adrrd a a = += + = 4、将函数) 11()(=xxxf展开成以 2 为周期的傅立叶级数。 解：所给函数在 1 , 1上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以 2 为周期的函数时，它在整个实轴上均 / 7 6 连续，因此其付立叶级数在 1 , 1内收敛于函数本身。 12 1 0 0 = xdx a， 22 1 0 1) 1(2 cos2 n xdxnxa n n = ，), 2 , 1(0=nbn ) 11(cos 1) 1(2 2 1 )( 1 22 += = xxn n xf
14、n n 5、设函数)(xf具有连续导数并且满足3) 1 (=f，计算曲线积分dyyxfxdxxxfy L )()( 22 + 的 值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由)2, 1 (到) 1, 2(的任一条逐段光滑曲线。 解：由条件有 2 2 2222 12 2)()(f x f x fffxxfxxyf y yxfx x =+=+ =+ 设 1 = fz，则得 21 2 3 112 Cx x zf x z x z+= 代入条件得xxfC3)(0=，从而原积分变为 =+= +=+ L LL dxxxdxxxxdyxydxx dyyxdxxyxdyyxfxdxxxfy 1812273)3(939 )3()9()()( 2 1 32 2 1 3232 3222 五、本题分。 可选题 1、对0p，讨论级数 = + 1 1 ) 1( n n n pn 的敛散性。 解：p1 时级数 = + 1 1 ) 1( n n n pn 绝对收敛；p1 时分散。 可 选 题 2 、 设1),( 22 +=yxyxD，),(yxu与),(yxv在D上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， j y v x v i y u x u GjyxuiyxvF +
