《圆锥曲线定点、定直线、定值问题（新-修订）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线定点、定直线、定值问题（新-修订）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为 CxC31 （）求椭圆的标准方程；C （）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点） ，且以为直径的圆过椭l:ykxmCABAB，AB 圆的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标Cl 【标准答案】【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，3,1acac 2 2,1,3acb 22 1. 43 xy (II)设，由得， 1122 ( ,), (,)A x yB xy 22 1 43 ykxm xy 222 (34)84(3)0kxmkx
2、m ，. 2222 6416(34)(3)0m kkm 22 340km 2 1212 22 84(3) ,. 3434 mkm xxxx kk 22 22 12121212 2 3(4) () ()(). 34 mk yykxmkxmk x xmk xxm k 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点，(2,0),D1 ADBD kk 12 12 1 22 yy xx (最好是用向量点乘来)， 121212 2()40y yx xxx ， 222 222 3(4)4(3)16 40 343434 mkmmk kkk ，解得，且满足. 22 71640mmkk 12 2 2 , 7 k mk m 2
3、2 340km 当时，直线过定点与已知矛盾；2mk :(2)l yk x(2,0), 当时，直线过定点 2 7 k m 2 :() 7 l yk x 2 ( ,0). 7 综上可知，直线 过定点，定点坐标为l 2 ( ,0). 7 2、已知椭圆 C 的离心率，长轴的左右端点分别为，。 （）求椭圆 C 的方程； 3 e 2 1 A2 , 0 2 A2 , 0 （）设直线与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线与交于点 S。试问：当 m 变化时，点 Sxmy1 1 A P 2 A Q 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。 2 解法一：（）设椭圆的方程为。
4、 1 分C 22 22 xy 1 ab0 ab ，。4 分a2 c3 e a2 c3 222 bac1 椭圆的方程为。5 分C 2 2 2 x y1 4 （）取得，直线的方程是m0, 33 P 1,Q 1, 22 1 A P 33 yx, 63 直线的方程是交点为7 分, 2 A Q 3 yx3, 2 1 S 4, 3 . 若，由对称性可知交点为 33 P 1,Q 1, 22 2 S4,3 . 若点在同一条直线上，则直线只能为。8 分S:x4 以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得m, 1 A P 2 A QS:x4 2 2 x y1 4 xmy1 即， 2 2 my14y
5、4, 22 m4 y2my30 记，则。9 分 1122 P x ,y,Q x ,y 1212 22 2m3 yy,y y m4m4 设与 交于点由得 1 A P 00 S (4,y ), 01 1 yy , 42x2 1 0 1 6y y. x2 设与 交于点由得 10 2 A Q 00 S (4,y ), 02 2 yy , 42x2 2 0 2 2y y. x2 12 00 12 6y2y yy x2x2 1221 12 6ymy12ymy3 x2x2 1212 12 4my y6 yy x2x2 ，12 分 22 12 12m12m m4m4 0 x2x2 ，即与重合，这说明，当变化时
6、，点恒在定直线上。 13 分 00 yy 0 S 0 SmS:x4 解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程是m0, 33 P 1,Q 1, 22 1 A P 33 yx, 63 2 A Q 交点为7 分 3 yx3, 2 1 S 4, 3 . 取得，直线的方程是直线的方程是交点为m1, 8 3 P,Q 0, 1 5 5 1 A P 11 yx, 63 2 A Q 1 yx1, 2 2 S4,1 . 若交点在同一条直线上，则直线只能为。 8 分S:x4 3 以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得m, 1 A P 2 A QS:x4 2 2 x y1 4 xmy1 即，记，则
7、 2 2 my14y4, 22 m4 y2my30 1122 P x ,y,Q x ,y 1212 22 2m3 yy,y y m4m4 。9 分 的方程是的方程是消去得 1 A P 1 1 y yx2 , x2 2 A Q 2 2 y yx2 , x2 y, 12 12 yy x2x2 x2x2 以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证x4 12 12 6y2y , x2x2 即证 1221 3ymy1ymy3 , 1212 2my y3 yy. 式恒成立。 这说明， 当变化时， 点恒在定直线上。 1212 22 6m6m 2my y3 yy0, m4m4 mS:x4 解法
8、三：（）由得即。 2 2 x y1 4 xmy1 2 2 my14y4, 22 m4 y2my30 记，则。6 分 1122 P x ,y,Q x ,y 1212 22 2m3 yy,y y m4m4 的方程是的方程是7 分 1 A P 1 1 y yx2 , x2 2 A Q 2 2 y yx2 , x2 由得9 分 1 1 2 2 y yx2 , x2 y yx2 , x2 12 12 yy x2x2 , x2x2 即 2112 2112 yx2yx2 x2 yx2yx2 2112 2112 ymy3y my1 2 ymy3y my1 1221 21 2my y3yy 2 3yy 12 分
9、 11 22 11 2 32m 2m3yy m4m4 24. 2m 3yy m4 这说明，当变化时，点恒在定直线上。13 分mS:x4 3、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值Ex 为，离心率为21 2 e 2 （）求椭圆的方程；E （） 过点作直线 交于、两点， 试问 ： 在轴上是否存在一个定点，为定值？1, 0EPQxMMP MQ 若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由M 解：（I）设椭圆 E 的方程为,由已知得：。 。 。 。 。2 分 22 22 xy 1 ab ac21 c2 a2 4 椭圆 E 的方程为。 。 。 。3 分 a2 c1 222
10、bac1 2 2 x y1 2 （）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：M(m,0) 1122 P(x ,y ),Q(x ,y ) 11221212 MP(xm,y ),MQ(xm,y ),MP MQ(xm) (xm)y y 。 。 。 。 。 5 分 2 121212 x xm(xx )my y 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为：，则llyk(x1) 由得 2 2 x y1 2 yk(x1) 222 x2k (x1)20 7 分 2222 (2k1)x4k x(2k2)0 22 1212 22 4k2k2 xx, xx 2k12k1 2 22 12121212 2 k y yk (x
11、1)(x1)k x x(xx ) 1 2k1 所以9 分 222 2 222 2k24kk MP MQmm 2k12k12k1 222 2 (2m4m1)k(m2) 2k1 对于任意的值，为定值，所以，得，kMP MQ 22 2m4m12(m2) 5 m 4 所以；11 分 57 M( ,0),MP MQ 416 当直线 的斜率不存在时，直线l 121212 1 l:x1,xx2,x x1,y y 2 由得 5 m 4 7 MP MQ 16 综上述知，符合条件的点存在，起坐标为13 分M 5 ( ,0) 4 法二：假设存在点，又设则：M(m,0) 1122 P(x ,y ),Q(x ,y ),
12、 1122 MP(xm,y ),MQ(xm,y ) =.5 分 1212 MP MQ(xm) (xm)y y 2 121212 x xm(xx )my y 当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为，llxty1 由得7 分 2 2 x y1 2 xty1 2 2 (t2)y2ty 10 1212 22 2t1 yy,yy t2t2 2222 121221212 22 t2tt22t2 x x(ty1) (ty1)t y yt(yy ) 1 t2t2 22 1212 22 2t2t44 xxt(yy )2 t2t2 9 分 2 2 222 2t24m1 MP MQm t2t2t2 222 2
13、 (m2)t2m4m1 t2 设则MP MQ 222 2 (m2)t2m4m1 t2 11 分 2222 222 (m2)t2m4m1(t2) (m2)t2m4m120 2 2 m20 2m4m120 5 m 4 7 16 5 M( ,0) 4 当直线 的斜率为 0 时，直线，由得：ll:y0 5 M( ,0) 4 55257 MP MQ( 2) (2)2 441616 5 综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。 。 。 。13 分M 5 ( ,0) 4 4、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右x 2 4xy 2 5 e 焦点作与坐标轴不垂直的直线 ，交椭圆
14、于、两点。FlAB （I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；( ,0)M mOF()MAMBAB m （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、CAxxNCBN 三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。N 解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知 22 22 1(0) xy ab ab 1b 故椭圆方程为 22 2 2 2 5 5 ab a a 2 2 1 5 x y （）由（I）得，所以，设 的方程为（）(2,0)F02ml(2)yk x0k 代入，得 设 2 2 1 5 x y 2222 (51)202050kxk xk 112
15、2 ( ,), (,),A x yB xy 则, 22 1212 22 20205 , 5151 kk xxx x kk 12121212 (4),()yyk xxyyk xx 112212122121 (,)(,)(2 ,),(,) MAMBxm yxm yxxm yyABxx yy 12212112 (),()0,(2 )()()()0 MAMBABMAMBABxxm xxyyyy 由， 22 2 22 204 20,(85 )0 5151 kk mm km kk 2 8 0,0 855 m km m 当时，有成立。 8 0 5 m()MAMBAB （）在轴上存在定点，使得、三点共线。依题意知，直线 BC 的方x 5 ( ,0) 2 NCBN 11 ( ,)C xy 程为， 令，则 21 11 21 () yy yyxx xx 0y 1211221 1 2121 ()y xxy xy x xx yyyy 的方程为、在直线 上，l(2),yk xAB
