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1、世间的事物千姿百态,千变万化,有些事物和现象是确定的,有些事物和现象则是不确定的.模糊的或随机的.随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,这是偶然,二是频率的稳定性,这是必然.为了了解随机现象的规律性,产生了概率论这一数学分支概率所研究的随机现象,研究的过程是在“偶然“中寻找“必然“,然后再用“必然“的规律去解决“偶然“的问题,这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。随着新教材的实施,高考中对概率内容的考查已经放在了重要的位置,通过对古典概型,几何概型,条件概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,n次独立重复试验发生了K次的概率以及随机事件的分布列与数学期望等重点
2、内容,一方面考查基本概念和基本方法,另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辩证关系,从而体现了或然与必然的思想下面的例题,可以从求古典概型,几何概型,条件概率及统计等不同的角度反映或然与必然的数学思想【例1】(吉典概型)(2008北京卷文18)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到么丶G工四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(I)求甲、乙两人同时参加4岗位服务的概率;(IT)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.【分析及解】(I记甲、乙两人同时参加4岗位服务为事件三,那么一人l麝(互)一颠一砀即甲、乙两人同时参加且岗位服务的概率是奉.)童艾甲、Z耍蒽同时2蓼熹加同一岗立趸艮务为
3、事件石,颞蜇签/】(E)二C马量窖二责，所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是PCEJ=1-PCE)-心10【例2】(几何概型)Q007海南和宁夏卷,文)设有关于x的一元二次方程训十2ax+仪一0。I若q是从0123四个数中任取的一个数,5是从012三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.工若Q是从区间0.3任取的一个数,5是从区间0.2任取的一个数,求上述方程有实根的概率【分析及解】设事件4为“方程a+2mt+=0有实根“.当a0,50时,方程x“+2ax+史=0有实根的充要条件为q.I)基本事件共12个:(00M(QD(02400D023G0GQDQ马GQ9(89(82).其中第一
4、个数表示Q的取值,第二个数表示5的取值事件4中包含9个基本事件,事件4发生的概率93丶00eT)试验的全部结柬所构成的区域为Ca10Sas308S2).构“成“事“件4“的“区“域为Ca日10Sas30S8S2a么矶.国7-132一王2所以所求的概率为=一一么一一3X2山L【例3】(何概型)把长为a米的线段分成三段,能组成三角形的概率是多少?【分析及解】设分成的三段为xJ:a-x-X则x+y如果这三段能组成三角形,则满足QX+J.Q-X一力1x+(ax-办)。解得工壹7D一L咔他一I一工网J*005.(TT)5次预报中至少有2次准确的概率为1-R(O-BR(D=l-Qx08x(L-08-CQx
5、08x(L-08=1-000032-0.0064*099.(IT)“5次预报中恰有2次准确,日其中第3次预报准确“的概率为08xCx0.8x(L-0.8门=4x08x0J*002.【例5(互斥事件有一个发生的概率)(2008全国I卷理文20)已知5只动物中有1只患有树种疾病,需要通过化验血液来确定悟病的动物、血液化验结果昱阳性的即为患病动物,呈阴性即没惠病。下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定悦病动物为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液湾在一起化验.若绪果昨阳性则表明惹病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定悦病动物为止;若结果昔阴性则在另外2只中任取1只化验.求依方案
6、甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率【分析及解】设么、血分别表示依方案甲需化验1次、2次。卫表示依方案乙需化验3次;4表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知心与B独立万=A+hBRdJ=亢-言PC4J=尘=一P=G心P吾=P(d+一B)=P(d)+P(A.)-PCB)=l+熹2P)二一P二云二02【例6】(分布列与数学期望)(008广东卷理17)随机拉取栋厂的茶种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品s0件.三等品20件.次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利涠分别为6万元、2万元、1万元,而1件欣品亏损2万元,设1件产品的利涂(单位:万元)为
7、.CI求$的分布列:CIT求1件产品的平均利涧(即$的数学期望2:CIID经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为18,一等品率提高为708.如果武时要求1件产品的平均利涂不小于4.73万元,则三等品率最多是多少3【分析及解】(I的所有可能取值有6,2,1,-2;E5一暨一053,E2)一扁0250.02.A06D0Z】一一2)一而20故的分布列为害522P0.630.250.10.02于B井6X0.63一2X0.25+1X0.1+(-2x0.02一4.34CIID设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利涂为E=6x0.7+2x(L-0.7一0.01-J+(-2)x0.01=4
8、.76-x(0三%4.73,即4.76-x4.73,解得x0.03所以三等品率最多为306.【例7】(茎叶图(2008海南.宁夏卷.理,文)从甲、乙两品种的榜花中各抽测了25根榜花的纤维长度(单位mm,结果如下:甲品种:271273280“28528S287“292294“295301“303303307308310314319“323“325325328331“334337“352乙品种:284292“295304“306307312313315315316318318320“322322324327_329331“333336“337343356由以上数据设计了如下茎叶图心根据以上茎叶囹,
9、对甲、乙两品种榜花的纤维长度作比较,写出两个统计结论:Q【分析及解】(1)乙品种棒花的纤维平均长度大于甲品种棒花的纤维平均长度(或乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度).(2)甲品种棒花的纤维长度较乙品种棒花的纤维长度更分散,(或:乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定)甲品种棒花的纤维长度的分散程度比乙品种棒花的纤维长度的分散程度更大).(3)甲品种植花的纤维长度的中位数为307mm,乙品种棒花的纤维长度的中位数为318mm.(4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近)甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀.【例8】(方差)(2008海南,宁夏卷理)4万两个投资项目的利涧率分别为随机变量X和X:,根据市场分析,口和立的分布列分别为25%10史22%8%12%页烈口0.80.2P0.20.50.3(I)在与旦两个项目上各投资100万元,卯和卯分别表示投资项目4和丿所获得的利涧,求方差D,D丑;(TT将x(0x100)万元投资4项目,100一x万元投资一项目,/o表示投资4项目所得利润的方差与投资项目所得利浣的方差的和.求八的最小值,并指出x为何值时,./CO取到最小值(注:,DCQF+)=cDX)
