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1、全国高中数学联赛模拟试题(十)第一试一、选择题：(每小题6分，共36分)1、设集合M=-2,0,1，N=1,2,3,4,5，映射f：MN使对任意的xM，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是(A)45 (B)27 (C)15 (D)112、已知sin2q=a，cos2q=b，0de(如12430，13531等)，则在所有的五位数中“凸”数的个数是(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134二、填空题：(每小题9分，共54分)1、过椭圆 上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH(H为垂足)，并延长PH到Q，使得HQ=lPH(l1).当点P在椭圆上运动时，点Q的
2、轨迹的离心率的取值范围是 .2、已知异面直线a、b所成的角为60，过空间一点P作与a、b都成角a(03、不等式 的解集为 .4、设复数z满足条件|z-i|=1，且z0，z2i，又复数w使得 为实数，则复数w-2的辐角主值的取值范围是 .5、设a1,a2,a2002均为正实数，且 ，则a1a2a2002的最小值是 .6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码(如12883，787480889等)，否则称它为“非优选”数码(如2348756，958288等)，则长度不超过n(n为自然数)的所有“优选”数码的个数之和为 .三、(20分)已知数列an是首项为2，公
3、比为 的等比数列，且前n项和为Sn.(1) 用Sn表示Sn+1;(2) 是否存在自然数c和k，使得 2成立.四、(20分)设异面直线a、b成60角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动.求线段AB中点P的轨迹方程.五、(20分)已知定义在R+上的函数f(x)满足(i)对于任意a、bR+，有f(ab)=f(a)+f(b);(ii)当x1时，f(x)0，p、qR+，集合B=(p,q)|f( )+ =0，p、qR+.试问是否存在p、q，使 ，说明理由.第二试一、(50分)如图，AM、AN是O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平
4、行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P.若 ，求证：POQ=60.MAPQNLO二、(50分)已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an(n1).求所有的正整数n，使得1+5anan+1是完全平方数.三、(50分)设M为坐标平面上坐标为(p2002,7p2002)的点，其中p为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数：(1) 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点;(2) 三角形的内心是坐标原点.参考答案第一试一、选择题：题号123456答案ACBDDB二、填空题：1、 ; 2、 ;3、 ; 4、 ;5、40022002; 6、 .三、(1) ; (2)不存在.四、 .五、不存在.第二试一、证略;二、n=3.三、 p2,7,11,13时，324个;p=2时，162个;p=7,11,13时，180个.
