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1、2.4 测量误差的合成和分配,误差合成理论研究在间接测量中，如何根据若干个直接测量量的误差求总测量误差的问题；误差分配理论则研究在给定系统总误差的条件下，如何将总误差分配给各测量分项，即如何对各分项误差提出要求，以达到系统测量精度要求。,1误差传递公式 设一个被测量 由两个分项 、 ，其函数表达式为 则绝对误差传递公式为 式中 被测量 的绝对误差； 直接测量量 的绝对误差； 直接测量量 的绝对误差。,2.4.1 测量误差的合成,(2-18),(2-19),相对误差传递公式为 式中 被测量 的相对误差； 直接测量 的绝对误差； 直接测量 的绝对误差。,(2-20),同理，当被测量 由m个分项合成
2、时,误差传递公式为 式中 第i个测量分项的测量值； 直接测量量 的绝对误差。 一般，若 的函数关系为和、差关系时，常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方关系时，常先求总合的相对误差比较方便。,(2-21),(2-22),例1：用间接测量法测量电阻消耗的功率，若电阻、电压和电流测量相对误差分别为 、 和 ，问所求功率的相对误差为多少？ 例2：用伏安法测电阻时，若测量电压和电流的相对误差为 、 ，试问所求电阻的相对误差为多少？若 为4%， 为3%， 为多少？,2系统误差的合成 若测量中各种随机误差可以忽略，则总和的系统误差可由各分项系统误差合成。 式中 系统误差的总和； 直接测量各分
3、项的系统误差。,(2-23),3随机误差的合成 若各分项的系统误差为零，则同理可求总合的随机误差 式中 随机误差的总和； 直接测量各分项的随机误差。,(2-24),已知各分项方差，求总合方差的公式为 标准差的计算公式为,(2-25),(2-26),1等准确度分配 当总误差中各分项性质相同（量纲相同）、大小相近时，采用等准确度分法，即分配给各分项的误差彼此相同。 若总误差为 ，各分项的误差为 ；标准差为 ， 令 ； ，则分配给各项的误差为,2.4.2 测量误差的分配,(2-27),(2-28),例：有一个电源变压器，已知初级线圈与两个次级线圈的匝数比N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程
4、为500V的交流电压表测量次级线圈的总电压，要求相对误差小于2%，问应该选用哪个级别的电压表？,2等作用分配 当分项误差性质不同时，采用等作用分配方法。在这种分配方式中，分配给各分项的误差在数值上不一定相等，但它们对测量误差总和的作用是相同的。 对于系统误差，在式（2-23）中，令 。则分配给各分项的误差为,(2-29),对于随机误差，在式（2-25）中，令 ， 则分配给各分项的误差为,(2-30),例：间接测量电阻上消耗的功率，已测出电流为100mA，电压为3V，算出功率为300mW，若要求功率测量的系统误差不大于5%，随机误差的标准差不大于5mW，问电压和电流的测量误差应在多大范围内，才能
5、保证上述功率误差的要求。,3抓住主要误差项进行分配 当分项误差中某项误差特别大时，就可以不考虑次要分项的误差，或酌情分给次要分项少量误差比例，确保主要项的误差小于总合的误差。 若主要误差项有若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配，考虑采用等准确度或等作用分配原则。,2.5 测量结果的描述与处理,对测量结果可采用正确度，精密度和准确度三种评价方法。 1正确度 表示测量结果中系统误差大小程度。系统误差愈大，正确度愈低；系统误差愈小，正确度愈高。,2.5.1 测量结果的评价,2精密度 表示测量结果中随机误差的大小程度，也简称为精度。随机误差的大小可用测量值的标准偏差 来衡量, 越小，测量值越集
6、中，测量的精密度越高；反之，标准确偏差 越大，测量值越分散，测量精密度越低。,3准确度 是测量结果系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度。在一定的测量条件下，总是力求测量结果尽量接近真值，即力求准确度高。,图2.3 测量结果的图形评价,（a）正确度高、精密度低,精密度、正确度均高,（b）精密度高、正确度低,1.误差位对齐法 误差位对齐法采用的方法是测量误差的小数点后面有几位，则测量数据的小数点后面也取几位。,2.5.2 测量数据的整理,例：用一块0.5级的电压表测量电压，当量程为10V时，指针落在大于8.5V的附近区域，这时测量数据应取几位？ 例：用一块0.5级电压表的100V
7、量程进行测量，指示值为85.35V，试确定有效数字位数。,2有效数字表示法 （1）有效数字 所谓有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字算起到含有存疑数字为止的各位数字。一般数据的最后一位是欠准确度的估计字，称为存疑数字。,（2）数字的舍入规则 （1） 小于5舍去舍去部分的数值小于所保留末位的0.5个单位时，末位不变。 （2） 大于5进1舍去部分的数值大于所保留末位的0.5个单位时，末位增1。 （3） 等于5时，取偶数舍去部分的数值恰好等于所保留末位的0.5个单位时，则当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，末位增1（将末位凑成偶数）。,例：将下列数据舍入到小数第二位。 12.434412
8、.43 63.7350163.74 0.694990.69 25.325025.32 17.695517.70 123.1150123.12 需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正确结果为0.69 ，错误做法是： 0.694990.69500.6950.70。 在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。,常用被测量的量值和它的不确定度共同表示测量结果，表达式为 式中 测量值的算术平均值； 被测量的不确定度，一般为 在实际应用中，常以绝对误差的形式表示。,2.5.3 测量结果的表示方法,(2-31),(
9、2-32),1将测量数据按先后次序列表。 2用公式 求算术平均值。 3用公式 求每一次测量值的 剩余误差。 4用公式 计算标准差的估计 值 。,2.5.4 等精度测量结果的数据处理,5.按莱特准则判断粗大误差，即根据 剔除坏值。 6.重新计算 和 ，再判别有无粗大误差。 7.用公式 求算术平均值的标准 差估计值。 8.用公式 求算术平均值的不确 定度。 9.写出测量结果的表达式 。,实验曲线的绘制，通常采用平滑法和分组平均法。 1平滑法作图 如图2.4（a）所示，先将实验数据 标在直角坐标上，再将 各点用折线依次相连，然后从起点到终点作一条平滑曲线，使其满足以下等量关系 式中 曲线以下的面积和
10、； 曲线以上的面积和。,2.5.5 实验曲线的绘制,(2-33),平滑法作图示意,如图2.4(b)，将所有实验数据 标在坐标上，先标出相邻的两个数据点连线的中点，再将所有中点连成一条光滑的曲线；或用3个数据点连线的重心点连成一条光滑曲线。由于取中点（或重心点）的过程就是取平均值的过程，所以减小了随机误差的影响。,2分组平均法,分组平均法作图示意,2.6 最佳测量方案选择,最佳测量方案是使总误差为最小的测量方案，是使系统误差和随机误差都减少到最小的测量方案。即做到 即上述和式中每一项都达到最小时，总误差就会最小。,例：测量电阻R消耗的功率时，可间接测量电阻值R，电阻上的压降U，流过电阻的电流I，
11、设电阻、电压、电流测量的相对误差分别为R=2%，U=2%， I=3%，试确定测量的最佳方案。,本章小结,由于仪器误差、人身误差、方法误差和环境误差的原因，所有的测量结果与真值都会有误差。 误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 绝对误差仅能说明测量结果偏离实际值的情况；相对误差可以说明测量的准确度，可分为实际相对误差、示值相对误差、满度相对误差。,根据测量误差的性质，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。 在实际测量时应根据误差性质进行判断和处理。 粗大误差明显偏离测量结果，是不允许的，可采用莱特准则予以剔出。 系统误差反映了测量的正确度，一般采用加修正值或典型的电路技术来消除或减小。,随机误差反映了测量的精密度，体现了各种随机变量对测量结果的影响，是不可避免的，常采用多次等精度测量来减小随机误差的影响。 测量时应兼顾误差大小、测量的难易程度及其他因素选择最佳测量方案。,
