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1、课题：椭圆及其标准方程 椭圆定义：平面内与两个定点 21,F F距离的和等于常数（大于 21F F）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 令椭圆上任一点 M ，则有)22(2 2121 FFcaaMFMF 问题：如图已知焦点为 21,F F的椭圆，且 21F F=2c,对椭圆上任一点 M ，有 aMFMF2 21 ，尝试推导椭圆的方程。 方案一方案二 按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程 2 2 a x + 2 2 b y =1（0ba） ，其中 b 2 = a 2c2 ( b 0 ) ； 选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可
2、得出 2 2 a y + 2 2 b x =1，同样也有 a 2c2 = b2 ( b 0 ) 。 我们所得的两个方程 2 2 a x + 2 2 b y =1 和 2 2 a y + 2 2 b x =1（0ba）都是椭圆的标准方程。 （四）归纳概括，方程特征 1、观察椭圆图形及其标准方程，归纳总结 （1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系： 222 cab)0(ba； （4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定； （5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,
3、b 的值。 x y 1 F 2 F M O x y 1 F 2 F M O M 2 F 1 F 2、归纳总结如下表 标准方程 2 2 a x + 2 2 b y =1)0(ba 2 2 a y + 2 2 b x =1)0(ba 图形 a,b,c 关系 222 cab 222 cab 焦点坐标)0,( c),0(c 焦点位置在 x 轴上在 y 轴上 （五）例题研讨，变式精析 例 1. 判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距以及ba,的值（口答） 1 34 2 2 2 2 yx 1 )3(4 2 2 2 2 yx 143 22 yx 例 2. 已知椭圆两个焦点的坐标分别为)0 ,2(),
4、0 ,2(，并且经过点) 2 3 , 2 5 (；求它的标准方程 . 变式训练 1. 如图，圆的半径为定长r ，A是圆内的一定点， P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线 l 和 半径 OP相交于点 Q ，当点 P在圆周上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 2.已知 B、C是两个定点， |BC|=6， ABC的周长为 16. 问点 A的轨迹是什么曲线？你能写出它的方程 吗？ 椭圆的标准方程 一、填空题 1方程 x 2 25m y 2 16m 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m的取值范围是 _ 解析：因为焦点在y 轴上，所以 16m 25m ，即 m 9 2，又因为 b 225m 0，故 m
5、 25，所以 m 的取值范围为 9 2m 25.答案： 9 2m 25 x y 1 F 2 F M O x y 1 F 2 F M O 2椭圆 x 2 m y 2 n 1(mn0)的焦点坐标是 _ 解析：因为 m nn0，故焦点在 x 轴上，所以 cm n nm ， 故焦点坐标为 (nm ，0)，(nm ，0) 答案： (nm ，0)，( nm ，0) 3已知椭圆的标准方程是 x 2 a 2 y 2 251(a5)，它的两焦点分别是 F1 ，F 2，且 F1F28，弦 AB过点 F1， 则ABF2的周长为 _ 解析：因为 F1F28，即即所以 2c8，即 c4，所以 a2251641，即 a
6、41，所以 ABF2 的周长为 4a4 41. 答案： 441 4过点 (3,2) 且与椭圆 x 2 9 y 2 4 1 有相同焦点的椭圆的标准方程是_ 解析：因为 c 2945，所以设所求椭圆的标准方程为 x 2 a 2 y 2 a 251. 由点( 3,2) 在椭圆上知 9 a 2 4 a 251，所以 a 215. 所以所求椭圆的标准方程为 x 2 15 y 2 101. 答案： x 2 15 y 2 101 5已知椭圆的焦点是 F1(0，1)、F2(0,1) ，P是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，则椭圆的 标准方程是 _ 解析：由 PF1PF22F1F2224，得 2a4. 又
7、 c1，所以 b23. 所以椭圆的标准方程是 y 2 4 x 2 3 1. 答案： y 2 4 x 2 3 1 6已知椭圆的两个焦点为F1( 1,0) ，F2(1,0) ，且 2a10，则椭圆的标准方程是 _ 解析：由椭圆定义知 c1，b5 21 24. 椭圆的标准方程为 x 2 25 y 2 241. 答案： x 2 25 y 2 24 1 7若 ABC的两个顶点坐标A(4,0) ，B(4,0) ，ABC的周长为 18，则顶点 C 的轨迹方程为 _ 解析：顶点 C到两个定点 A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨 迹为椭圆，并且 2a10，所以 a5,2 c8，所以
8、 c4，所以 b 2 a 2 c 29，故顶点 C的轨迹方程为 x 2 25 y 2 9 1. 又 A、B、C三点构成三角形， 所以 y0. 所以顶点 C的轨迹方程为 x 2 25 y 2 9 1(y0) 答案： x 2 25 y 2 9 1( y0) 8已知椭圆 x 2 16 y 2 9 1 的左、右焦点分别为F1 、F 2，P是椭圆上的一点， Q 是 PF1的中点，若 OQ 1，则 PF1_. 解析：如图所示， 连结 PF2，由于 Q是 PF1的中点，所以 OQ是PF 12的中位线， 所以 PF22OQ 2， 根据椭圆的定义知， PF1PF22a8，所以PF16. 答案： 6 9设 F1、
9、F2是椭圆 x 2 9 y 2 41 的两个焦点， P 是椭圆上的点，且 PF1PF221，则 PF1F2的面 积等于 _ 解析：由椭圆方程，得a3，b2，c5，PF1PF22a6. 又 PF1PF221，PF14， PF22，由 2 242(2 5) 2 可知 PF1F2是直角三角形，故 PF 1F2的面积为 1 2PF 1PF21 2244. 答 案：4 二、解答题 10已知椭圆 x 22y2a2( a0)的左焦点 F 1到直线 yx2 的距离为 22，求椭圆的标准方程 解：原方程可化为 x 2 a 2y 2 a 2 2 1(a0)，ca 2a 2 2 2 2 a，即左焦点F1 2 2 a
10、，0 . 由已知得 2 2 a2 2 2 2，解得 a22或 a62( 舍去) ，即 a 28. b2a2c2844. 故所求椭圆 的标准方程为 x 2 8 y 2 4 1. 11已知圆 C ：(x3) 2 y 2100及点 A(3,0) ，P是圆 C上任意一点，线段 PA的垂直平分线 l 与 PC相交于点 Q ，求点 Q的轨迹方程 解：如图所示 l 是线段 PA的垂直平分线， AQ PQ . AQ CQ PQ CQ CP 10，且 106. 点 Q的轨迹是以 A、C为焦点的椭圆，且2a10，c3，即 a5，b4. 点 Q的轨迹方程为 x 2 25 y 2 161. 12已知 F1、F2是椭圆
11、 x 2 100 y 2 641 的两个焦点， P是椭圆上任意一点 (1) 若F1PF2 3 ，求 F1PF2的面积； (2) 求 PF1PF2的最大值 解：(1) 设 PF1m ，PF2n( m 0，n0)根据椭圆的定义得 m n20. 在F1PF2中，由余弦定理 得 PF 2 1PF 2 22PF1PF2cosF1PF2 F 1F 2 2，即 m 2 n 22mn cos 3 12 2. m2 n 2mn 144，即( m n) 23mn 144.2023mn 144，即 mn 256 3 . 又SF1PF21 2PF 1PF2sin F1PF2 1 2mn sin 3 ， SF1PF2 1 2 256 3 3 2 64 3 3 . (2) a10， 根据椭圆的定义得PF1PF220. PF1PF22 PF1PF2，PF1 PF2 PF1PF2 2 2 20 2 2100，当且仅当 PF 1PF210时，等号成立 PF1PF2的最大值是 100.
