线性代数（性质公式整理）

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1、线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式 n 阶行列式 | a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann | 是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 a1j 1a2j2 anj n 的代数和，这里j1j2 jn是 1， 2， n 的一个排列。当 j1j2 jn是偶排列时，该项的前面带 正号；当 j1j2 jn是奇排列时，该项的前面带负号，即 | a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann | = (-1) j 1j2jn j1j2j n a1j1a2j 2 anj n (1.1) 这里 j1j2j n 表示对所有n 阶排列求和。式(1.1)称为 n 阶行

2、列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一 个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用j 1j2 jn表示排列 j1j2jn的逆序 数。 3.偶排列与奇排列如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇 排列。 4.2 阶与 3 阶行列式的展开 |a b cd | = ad - bc， | a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 | = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32- a13a22a31-a12a21a33- a11a23a32 5.余子式与代数余子式在n 阶行列

3、式 | a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann |中划去 aij所在的第i 行，第 j 列 的 元 素 ， 剩 下 的 元 素 按 原 来 的 位 置 排 法 构 成 的 一 个n-1阶 的 行 列 式 | | a11 a1,j-1a1,j+1 a1n ai-1,1ai-1,j-1ai-1,j+1ai-1,n ai+1,1ai+1,j-1ai+1,j+1ai+1,n an1 an,j-1an,j+1 ann | | 称为 aij的余子式， 记为 Mij；称(-1) i+j Mij为aij的代 数余子式，记为Aij，即 Aij= (-1) i+j Mij。 6.伴随矩阵 由矩

4、阵A的行列式 |A| 所有的代数余子式所构成的形如 A11A21An1 A12A22An2 A1nA2nAnn ， 称为 A 的伴随矩阵，记作A?。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即|A T | = |A|行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例 )，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k 提出行列式记号外。 4.如 果 行 列 式 某 行 ( 或 列 )是 两 个 元 素 之 和 ， 则 可 把 行 列 式 拆 成 两 个 行 列 式 之 和 ： | a1+ b1a2+ b2a3+ b3 c1c2c3 d1

5、d2d3 | = | a1a2a3 c1c2c3 d1d2d3 | + | b1b2b3 c1c2c3 d1d2d3 | 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变： | a1a2a3 b1b2b3 c1c2c3 | = | a1a2a3 b1+ ka1b2+ ka2b3+ ka3 c1c2c3 | 6.代数余子式的性质行列式任一行元素与 另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n 阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A| = ai1Ai1+ ai2Ai2+a inAin = aikAik n k=1 |A| 按 i 行展开的展开式 |

6、A| = a1jA1j+ a2jA2j+anjAnj= akjAkj n k=1|A| 按 j 列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于 副对角线 的 n 阶行列式的值|A| = (-1) n(n-1) 2 a1na2,n-1an1 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果 A 和 B 分别是 m 阶和 n 阶矩阵，则 | A? OB| = | AO ?B| = |A| |B| | OA B?| = | OA B?| = (-1) mn |A| |B| 4.范德蒙行列式 | 111 x1x2 xn x1 2 x2 2 xn 2 x1 n-1 x

7、2 n-1 xn n-1 | = (xi-xj)1j i n 5.抽象 n 阶方阵行列式公式(矩阵 ) 若 A、B都是 n 阶矩阵， A?是 A 的伴随矩阵， 若 A 可逆， i(i = 1,2 ,n) 是 A 的特征值： |AT| = |A|；|? | = ? ? |? |；|AB|=|A|B|；|A2| = |A| 2； |A ?| = |A|n-1 |A -1 | = 1 |A|； |A| = i n i=1 ；若? ，则 |? | = |? |，且特征值相同。 ? ? = ? ?= |? |? 一般情况下： |?|?|?| 五、行列式的计算 1.数字型行列式 将行列式化为上下三角，再按

8、行或列展开； 化简技巧：将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行 )ki倍都加到同一列 (行 )。 逐行 (或逐列 )相加 利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式 数学归纳法验证n=1 时命题正确；假设n=k 时命题正确；证明n=k+1 时，命题正确。 验证 n=1 和 n=2 时命题都正确， 假设 nk 命题正确，证明 n=k， 命题正确。 对于 n 阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。 2.抽象型行列式通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项 )等来 恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。 利用单位矩阵 ?= ? -? = ? -? 恒等变形来计

9、算 |A+B| 形式的行列式。 3.行列式 |A| 是否为 0 的判定 若 A= 1,2, ,n是 n 阶矩阵，那么 行列式 |A|=0 ?矩阵 A 不可逆 ?秩 r(A) ? ( i ? )时，有 aij= 0的矩阵称为上(下)三角阵。 对称阵：满足 AT= A，即 aij= aji的矩阵称为对称阵 反对称阵：满足 A T = -A ，即 aij= -a ji，aii = 0的对称阵称为反对称阵。 正交阵： ATA = AAT= E 的矩阵称为正交阵，即AT= A-1 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。 伴随矩阵：见(一.1.6) A?= |A| A-1 五、可逆矩阵 1.主要

10、定理 ：若 A 可逆则 A 的逆矩阵唯一且|A| 不为 0。行列式不为0 则矩阵可逆。 2.概念 设 A 是 n 阶方阵如果存在n 阶矩阵 B 使得 AB = BA = E成立， 则称 A 是可逆矩阵 或非奇异矩阵，B是 A 的逆矩阵，记成A-1 = B 3.可逆的充要条件存在n 阶矩阵 B使得 AB=E |A| 0，或秩 r(A)=n，或 A 的列 (行)向量线性无关 齐次方程组Ax=0 只有零解 矩阵 A 的特征值不全为0 4.逆矩阵的运算性质若 k 0，则 (kA) -1 = 1 k A-1 若 A， B可逆，则 (AB) -1 = A-1B-1；特别地 (A2)-1= ( A-1) 2

11、 若 AT可逆，则 ( A T )-1= ( A-1) T；( A-1 )-1= A；| A-1| = 1 |A| 注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地(A + B) -1 A-1+ B-1 5.求逆矩阵的方法若 |A| 0，则 A-1= 1 |A| A? 初等变换(A|E) 行初等变换 (E|A -1 ) 用定义求B，使得 AB=E或 BA=E ，则 A 可逆且 A-1= B 分块矩阵，设B,C都可逆，则 BO OC -1 = B-1O OC -1 ； OB CO -1 = OC-1 B-1O 六、初等变换、初等矩阵 1.主要结论： 用初等矩阵P 左乘 A，所得 PA矩阵就是矩阵A 做了一

12、次和矩阵P 同样的行变 换；若是右乘就是相应的列变换。 2.初等变换 设 A 是m n矩阵， (倍乘 )用某个非零常数k(k 0) 乘 A的某行 (列)的每个元 素， (互换 )互换 A 的某两行 (列)，(倍加 )将 A 的某行 (列)元素的 k 倍加到另一行 (列)。称为初 等变换。 3.初等矩阵 由 E经过一次初等变换所得的矩阵 倍乘初等矩阵E2(k)= 100 0k0 001 互换初等矩阵E12= 010 100 001 倍加初等矩阵E31(k) = 100 010 k01 4.等价矩阵 矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B，则称 A 与 B 等价，记成 A ? B。若 A ? ErO

13、 OO，则后者称为 A的等价标准形。(A 的等价标准型是与A 等价的所有矩阵中的最 简矩阵。 ) 5.初等矩阵与初等变换的性质 初等矩阵的转置仍然是初等矩阵； 初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵 Ei -1 (k) = Ei( 1 k )，Eij -1 = Eij， Eij -1 (k) = Eij(-k ) P 1AP2左行右列 当 A 时可逆矩阵时，则A 可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵P1， P2， ，PN，使得 PNP2P1A = E 七、矩阵的秩 1.求秩的主要方法： 经过初等变换矩阵的秩不变；如果 A 可逆， 则r(AB)= r(B) ，r(BA)

14、= r(B) 2.矩阵的秩 设 A是 mn 矩阵，若 A中存在 r 阶子式不等于0， 且所有 r+1 阶子式均为0， 则称矩阵 A 的秩为 r，记成 r(A)，零矩阵的秩规定为0。 3.矩阵的秩的性质 r(A) = r ? 矩阵 A 中非零子式的最高阶数是r r(A) ? ?A 中每一个r 阶子式全为0 r(A) r ?A 中有 r 阶子式不为0 特别地， r(A) = 0 ? A = O ； A O ? r(A) 1 若 A 是 n 阶矩阵， r(A) = n ?|A| 0 ? A 可逆 r( A) n ?|A| = 0 ? A 不可逆 若 A 是 mn 矩阵，则 r(A min m, n)

15、 4.矩阵的秩的公式 r(A) = r(A T) ； r( ATA) = r(A) 当k 0时， r( kA) = r(A) ；r(A + B) r(A) + r (B) r(AB) min r( A),r(B)；若 A 可逆，则 r(AB)= r(B) ， r(BA) = r(B) 若 A 是 mn 矩阵， B 是 ns 矩阵， AB=O，则 r( A) + r(B) n 分块矩阵 r ( AO OB) = r (A) + r( B) 。 八、分块矩阵 1.概念 将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块 )， 把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。 由

16、于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。 2.分块矩阵的运算对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就 有如下运算法则： A1A2 A3A4 + B1B2 B3B4 = A1+ B1A2+ B2 A3+ B3A4+ B4 AB CD XY ZW = AX + BZAY+ BW CX+ DZCY + DW AB CD T = ATCT BTDT 若 B,C分别是 m 阶与 s 阶矩阵，则 BO OC n = BnO OCn ， 若 B,C分别是 m 阶与 s 阶可逆矩阵， 则B O OC -1 = B -1 O OC-1 ， OB CO -1 = OC-1 B-1O 若 A 是 mn 矩阵， B 是 nS矩阵且 AB=O，对 B和 O 矩阵按列分块有 AB = A1,2,