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1、线性代数综合练习题 时间： 120 分钟 一、选择题（每小题3 分，共 15 分）: 1设 A 是三阶矩阵， 将 A 的第一列与第二列交换得B，再把 B 的第二列加到第 三列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为（） 。 （A） 101 001 010 ；（B） 100 101 010 ； （C） 110 001 010 ；（D） 100 001 110 。 2设 A、B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（） 。 （A）A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线性相关； （B）A 的列向量组线性相关， B 的列向量组线性相关； （C）A 的行向量组线性相关， B 的行向量组线
2、性相关； （D）A 的行向量组线性相关， B 的列向量组线性相关。 3下列向量集按 Rn的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（） 。 （A）Rn中，坐标满足 x1+x2+xn=0的所有向量； （B）Rn中，坐标是整数的所有向量； （C）Rn中，坐标满足 x1+x2+xn=1的所有向量； （D）Rn中，坐标满足 x1=1，x2， xn可取任意实数的所有向量。 4设=2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵（ 3 1 A 2）-1 有一个特征值等于 （） 。 （A） 3 4 ；（B） 4 3 ；（C） 2 1 ；（D） 4 1 。 5任一个 n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（） 。 （A）合同；
3、（B）相似；（C）等价；（D）以上都不对。 二、填空题（每小题3 分，共 15 分） 1设矩阵 A= 100 021 012 ，矩阵 B 满足：ABA * =2BA *+E，其中 A*为 A 的伴随矩 阵，E 是三阶单位矩阵，则 |B|= 。 2已知线性方程组 21 232 121 a a 0 3 1 3 2 1 x x x 无解，则a= 。 3若 A= 100 0 2 1 0 2 1 b a 为正交矩阵，则a= ，b = 。 4设 A 为 n 阶矩阵，且 |A|0，A * 为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位矩阵。若A 有特征值，则（ A *）2+E 必有特征值 。 5若二次型 f= 2
4、x12+x22+x32+2 x1x2+t x2x3是正定的，则 t 的取值范围是 。 三、 （15 分） 设有齐次线性方程组： 0)4(444 03)3(33 022)2(2 0)1( 4321 4321 4321 4321 xaxxx xxaxx xxxax xxxxa 试问a取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。 四、 （10 分） 设 R3的两组基为： TTT ) 1 , 1 ,0(,)0, 1 , 1(,)1 ,0, 1( 321 和 TTT )1 ,2, 1(,)2 ,1 , 1 (,)1 , 1 , 1 ( 321 ， 向量 =（2，3，3）T （1）求基 32
5、1 ,到基 321 ,的过渡矩阵； （2）求关于这两组基的坐标。 五、 （15 分） 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为1 = -2，2 = 1（2 重） ，1=（1，1，1）T 是属于1 = -2 的特征向量。试求： （1）属于2 = 1（2 重）的特征向量； （2）A 的伴随矩阵 A*。 六、 （10 分） 设二次型 323121 2 3 2 2 2 1 222xbxxxxaxxxxf 通过正交变换 3 2 1 3 2 1 y y y P x x x 化为： 2 3 2 2 2yyf，求a、 b 。 七、 （10 分） 已知 A ，B 为 n 阶可逆方阵，且满足2A -1B=B-4E，其中
6、E 是 n 阶单位矩阵， 试证： A-2E 可逆。并求出（ A-2E） -1=？ 八、 （10 分） 设 A为n阶矩阵，且1, 1)( 2211nn AAAnAr，其中 ii A是 A中元素 ii a的代数余子式（ i =1，2，n） 。试证： A的伴随矩阵 A * 的特征值是 0 和 1， 并说明各个特征值的重数。 线性代数综合练习参考答案 一、选择题： 1 （D） ；2（A） ；3 （A） ；4 （B） ；5C） ； 二、填空题： 1 9 1 ；2-1；3 2 1 ， 2 1 ；4 1 | 2 A ；5-22t 三、解： A=B aa aa aa a a a a a 004 003 002
7、 1111 4444 3333 2222 1111 行 （1）当a=0 时，r(A)=14，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为： x1+x2+x3+ x4=0由此得一基础解系为： T T T y y y )1,0,0, 1( )0,1,0, 1( )0,0, 1, 1( 3 2 1 ，故全部解为： 332211 yCyCyCX （其中 321 ,CCC为任意常数）（ 7分） （2）当a0 时， 1004 0103 0012 00010 1004 0103 0012 1111aa B 当a=-10 时，r（A）=34，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为： 04 03 02 41 3
8、1 21 xx xx xx ，解之，可得一个基础解系为： y=（1，2，3，4） T，故全部解为： X=ky（其中 k 为任意常数）（ 15 分） 备注：此题也可另解 |A|= （a+10）a 3 当|A|=0 时，即a=0 或a=-10 时，齐次线性方程组有无穷解。 四、解： （1）记 B=（ 321 ,）= 101 110 011 ，C=（ 321 ,）= 121 211 111 则有： 11 2 1 100 10 2 1 010 01 2 1 001 121101 211110 111011 从而，由基 321 ,到基 321 ,的过渡矩阵为： A=B -1C= 11 2 1 10 2
9、1 01 2 1 （5 分） （2）设关于基 321 ,的坐标为（ 321 ,yyy） 即：0 332211yyy 由此可得： 32 32 2 321 321 321 yyy yyy yyy ，解之得：1,1,0 321yyy， 故关于基 321 ,的坐标为（ 0，1，1） ， 又 3 2 1 3 2 1 y y y A x x x = 11 2 1 10 2 1 01 2 1 2 1 1 1 1 0 即关于基 321 ,的坐标为（ 1，1，2）（10分） 五、解： （1）设 A 的属于特征值2=1（2 重）的特征向量为（ x1，x2，x3）T， 则A是实对称矩阵， （x1，x2，x3）T与1
10、正交，即有：（x1，x2，x3） 1 1 1 =0， 也即： x1+x2+x3=0， 解之：2=（-1，1，0） T 3=（-1，0，1） T A的属于2=1 的全部特征向量为： k12+ k23 （k1，k2不同时为 0）（ 5 分） （2） A * =|A|A -1 A * 的特征值为： |A| （- 2 1 ） ，|A| 1（2 重） 又|A|=-2 A * 的特征值为： 1，-2 （2 重）（10分） A*（1，2，3）=（1，2，3） 2 2 1 A*=（1，2，3） 200 020 001 （1，2，3） -1 = 1 101 011 111 200 020 001 101 011
11、 111 = 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 200 020 001 101 011 111 = 333 333 333 3 1 211 121 111 201 021 221 3 1 = 111 111 111 （15分） 六、解： f 的正交变换前后的矩阵分别为： 11 1 11 b ba a A和 200 010 000 B 于是， A、B 相似，从而有相同的特征多项式即：|E-A|=|E-B|（ 5 分） 也即： 3-32+（2-a2-b2）+（a-b）2=3-32+2，比较上式等号两边的 各幂次项系数有： 22 0)( 22 2 ba ba 0
12、 0 b a （10 分） 七、证明： 2A -1B=B-4E 左乘 A，得：2B=AB-4A （5 分） 即：AB-2B-4A=0 （A-2E） （B-4E）=8E 故 A-2E 可逆， 且（A-2E） -1= 8 1 （B-4E）（10 分） 八、证明： r （A）=n-1 r （A *）=1（ 2 分） 又齐次线性方程组（0E-A * ） X=0的基础解系含有n-1 个线性无关的解向量， 0 是 A *的特征值，其重数不小于 n-1（5 分） 另外， tr（A *）= A 11+A22+Ann =1+2+n-1+n =1（8 分） 故有： 1 是 A *的单特征值； 0是 A *的 n-1 重特征值。（ 10 分）
