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1、线性代数综合练习题 时间: 120 分钟 一、选择题(每小题3 分,共 15 分): 1设 A 是三阶矩阵, 将 A 的第一列与第二列交换得B,再把 B 的第二列加到第 三列得 C,则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为() 。 (A) 101 001 010 ;(B) 100 101 010 ; (C) 110 001 010 ;(D) 100 001 110 。 2设 A、B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵,则必有() 。 (A)A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关; (B)A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关; (C)A 的行向量组线性相关, B 的行向量组线
2、性相关; (D)A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关。 3下列向量集按 Rn的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是() 。 (A)Rn中,坐标满足 x1+x2+xn=0的所有向量; (B)Rn中,坐标是整数的所有向量; (C)Rn中,坐标满足 x1+x2+xn=1的所有向量; (D)Rn中,坐标满足 x1=1,x2, xn可取任意实数的所有向量。 4设=2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值,则矩阵( 3 1 A 2)-1 有一个特征值等于 () 。 (A) 3 4 ;(B) 4 3 ;(C) 2 1 ;(D) 4 1 。 5任一个 n 阶矩阵,都存在对角矩阵与它() 。 (A)合同;
3、(B)相似;(C)等价;(D)以上都不对。 二、填空题(每小题3 分,共 15 分) 1设矩阵 A= 100 021 012 ,矩阵 B 满足:ABA * =2BA *+E,其中 A*为 A 的伴随矩 阵,E 是三阶单位矩阵,则 |B|= 。 2已知线性方程组 21 232 121 a a 0 3 1 3 2 1 x x x 无解,则a= 。 3若 A= 100 0 2 1 0 2 1 b a 为正交矩阵,则a= ,b = 。 4设 A 为 n 阶矩阵,且 |A|0,A * 为 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位矩阵。若A 有特征值,则( A *)2+E 必有特征值 。 5若二次型 f= 2
4、x12+x22+x32+2 x1x2+t x2x3是正定的,则 t 的取值范围是 。 三、 (15 分) 设有齐次线性方程组: 0)4(444 03)3(33 022)2(2 0)1( 4321 4321 4321 4321 xaxxx xxaxx xxxax xxxxa 试问a取何值时,该方程组有非零解?并用一基础解系表示出全部的解。 四、 (10 分) 设 R3的两组基为: TTT ) 1 , 1 ,0(,)0, 1 , 1(,)1 ,0, 1( 321 和 TTT )1 ,2, 1(,)2 ,1 , 1 (,)1 , 1 , 1 ( 321 , 向量 =(2,3,3)T (1)求基 32
5、1 ,到基 321 ,的过渡矩阵; (2)求关于这两组基的坐标。 五、 (15 分) 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为1 = -2,2 = 1(2 重) ,1=(1,1,1)T 是属于1 = -2 的特征向量。试求: (1)属于2 = 1(2 重)的特征向量; (2)A 的伴随矩阵 A*。 六、 (10 分) 设二次型 323121 2 3 2 2 2 1 222xbxxxxaxxxxf 通过正交变换 3 2 1 3 2 1 y y y P x x x 化为: 2 3 2 2 2yyf,求a、 b 。 七、 (10 分) 已知 A ,B 为 n 阶可逆方阵,且满足2A -1B=B-4E,其中
6、E 是 n 阶单位矩阵, 试证: A-2E 可逆。并求出( A-2E) -1=? 八、 (10 分) 设 A为n阶矩阵,且1, 1)( 2211nn AAAnAr,其中 ii A是 A中元素 ii a的代数余子式( i =1,2,n) 。试证: A的伴随矩阵 A * 的特征值是 0 和 1, 并说明各个特征值的重数。 线性代数综合练习参考答案 一、选择题: 1 (D) ;2(A) ;3 (A) ;4 (B) ;5C) ; 二、填空题: 1 9 1 ;2-1;3 2 1 , 2 1 ;4 1 | 2 A ;5-22t 三、解: A=B aa aa aa a a a a a 004 003 002
7、 1111 4444 3333 2222 1111 行 (1)当a=0 时,r(A)=14,故齐次线性方程组有非零解,其同解方程组为: x1+x2+x3+ x4=0由此得一基础解系为: T T T y y y )1,0,0, 1( )0,1,0, 1( )0,0, 1, 1( 3 2 1 ,故全部解为: 332211 yCyCyCX (其中 321 ,CCC为任意常数)( 7分) (2)当a0 时, 1004 0103 0012 00010 1004 0103 0012 1111aa B 当a=-10 时,r(A)=34,故齐次线性方程组也有非零解,其同解方程组为: 04 03 02 41 3
8、1 21 xx xx xx ,解之,可得一个基础解系为: y=(1,2,3,4) T,故全部解为: X=ky(其中 k 为任意常数)( 15 分) 备注:此题也可另解 |A|= (a+10)a 3 当|A|=0 时,即a=0 或a=-10 时,齐次线性方程组有无穷解。 四、解: (1)记 B=( 321 ,)= 101 110 011 ,C=( 321 ,)= 121 211 111 则有: 11 2 1 100 10 2 1 010 01 2 1 001 121101 211110 111011 从而,由基 321 ,到基 321 ,的过渡矩阵为: A=B -1C= 11 2 1 10 2
9、1 01 2 1 (5 分) (2)设关于基 321 ,的坐标为( 321 ,yyy) 即:0 332211yyy 由此可得: 32 32 2 321 321 321 yyy yyy yyy ,解之得:1,1,0 321yyy, 故关于基 321 ,的坐标为( 0,1,1) , 又 3 2 1 3 2 1 y y y A x x x = 11 2 1 10 2 1 01 2 1 2 1 1 1 1 0 即关于基 321 ,的坐标为( 1,1,2)(10分) 五、解: (1)设 A 的属于特征值2=1(2 重)的特征向量为( x1,x2,x3)T, 则A是实对称矩阵, (x1,x2,x3)T与1
10、正交,即有:(x1,x2,x3) 1 1 1 =0, 也即: x1+x2+x3=0, 解之:2=(-1,1,0) T 3=(-1,0,1) T A的属于2=1 的全部特征向量为: k12+ k23 (k1,k2不同时为 0)( 5 分) (2) A * =|A|A -1 A * 的特征值为: |A| (- 2 1 ) ,|A| 1(2 重) 又|A|=-2 A * 的特征值为: 1,-2 (2 重)(10分) A*(1,2,3)=(1,2,3) 2 2 1 A*=(1,2,3) 200 020 001 (1,2,3) -1 = 1 101 011 111 200 020 001 101 011
11、 111 = 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 200 020 001 101 011 111 = 333 333 333 3 1 211 121 111 201 021 221 3 1 = 111 111 111 (15分) 六、解: f 的正交变换前后的矩阵分别为: 11 1 11 b ba a A和 200 010 000 B 于是, A、B 相似,从而有相同的特征多项式即:|E-A|=|E-B|( 5 分) 也即: 3-32+(2-a2-b2)+(a-b)2=3-32+2,比较上式等号两边的 各幂次项系数有: 22 0)( 22 2 ba ba 0
12、 0 b a (10 分) 七、证明: 2A -1B=B-4E 左乘 A,得:2B=AB-4A (5 分) 即:AB-2B-4A=0 (A-2E) (B-4E)=8E 故 A-2E 可逆, 且(A-2E) -1= 8 1 (B-4E)(10 分) 八、证明: r (A)=n-1 r (A *)=1( 2 分) 又齐次线性方程组(0E-A * ) X=0的基础解系含有n-1 个线性无关的解向量, 0 是 A *的特征值,其重数不小于 n-1(5 分) 另外, tr(A *)= A 11+A22+Ann =1+2+n-1+n =1(8 分) 故有: 1 是 A *的单特征值; 0是 A *的 n-1 重特征值。( 10 分)