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1、大学数学 线性代数及其应用 一、行列式 1、余子式，代数余子式 2、几个定理 ( 定理 2.2 ，2.3 ，2.4) 按行展开： 1122 ,1,2,ALL iiiiinin a Aa Aa Ain 按列展开： 1122 ,1,2,ALL jjjjnjnj a AaAa Ajn 定理 2.4 1122 0,L ijijinjn a Aa Aa Aij； 11220,Lijijninja Aa Aa Aij. 3、行列式的性质 (1) T | |AA. (2) 若行列式的某一列(行 ) 可以拆成两列( 行) 之和，则行列式可以拆成两个行列式 之和，即 111 , jjnjnjn LLLLLL.
2、(2) 若行列式有两列( 行) 成比例，则行列式等于零. (3) 初等变换性质 1 ; ; . i i ij ji ij ij k k +l +l k 或 或 或 r c rr cc rr cc ABAB ABAB ABAB 4、行列式计算：三角化法( 性质 )； 降阶法 ( 性质 +展开定理 ) ； 范德蒙德、三对角行列式的结论. 5、分块矩阵的行列式 AOACAO A B OBOBDB ( 1) OACAOA A B BOBOBD mmn n 二、矩阵 1、矩阵及其运算( 加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算) (1) 乘法的 结合律 (2) 方阵的幂的求解 3.7 5.9
3、二项式定理 - 例 矩阵列行- 例3.8 、例 3.38 可对角化例 大学数学 (3) 转置的性质： TT TTT TT TTT () () () () AA ABAB AA ABB A kk (4) 方阵的行列式： T | |; |; | |. n | kk AA AA ABAB (5) 分块运算 (转置、乘法 - 例 3.13 、3.14) 2、初等变换及初等矩阵 (1) 左行右列 ( 矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示) ( ); ( ); ; ( ); ( ); . r rr rr c cc cc ABEAB ABEAB ABEAB ACAEC ACAEC ACAEC 初等行变换 初等列
4、变换 i ij ij i ji ij k m +l m m k n +l n n i k ij l i, j i k ij l i, j (2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即 11 1 1 ( )( ) ;( )() ; ,. EEEE EE k i kiij lijl i ji j 3、可逆矩阵 (1) 定义、性质 11 11 T11T 111 111 () ()() () AA AA AA AA ABBA | | () kk (2) 伴随矩阵 1 | | | ()()() n rr A AAAAE AA AA与的关系 书111页38题 (3) 判定： A可逆|0A (
5、4) 逆矩阵的求法 1 1 (3.7) , 行 伴随矩阵法 : 及运算律命题 初等变换法 : A A A ABE A EE A 大学数学 (5) 分块矩阵的逆 11 11 11 ,. AOOAAOOB OBBOOBAO (6) 矩阵方程的求解：AXC，其中A可逆 . 法 1 1 XA C. 法 2 1 ,A CEXXA C 初等行变换 n . 4、矩阵的秩与矩阵的相抵 (1) 矩阵的秩与性质(101 页， 105-107 页) 0()min, rm nA； 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩； ()(),0;r krkAA T ()()rrAA； ( )()rrr AO AB OB ； ()()()
6、rrrABAB； ()()()()(ABABArrnrr或()Br； 若ABO，则()()r+rnAB，其中 m n PA， n s PB. 设 m n RA，则 TT ()()().rr= rAAA AA (2) 求矩阵的秩 ( 理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩) AR 初等变换 ( 行阶梯形矩阵)， 则()()rrARR的非零行的个数. (3) 矩阵的相抵 ( 等价 ) ()(),.ABABP QPAQB可逆使得rr ()()()()rrrrPAQPAAQA，其中,P Q可逆 . () r rr EO APAQ OO 或 r EO APQ OO . 三、线性空间 1、向量组的线性相关
7、性的判断( 命题 4.2 、4.3 、4.4 、4.5 、定理 4.1 、4.2 、4.4) (1) 证明方法 - - -, - 定义转化为齐次线性方程组的求解 秩矩阵、向量组的秩 ( 定理4.1 定理4.4 命题4.5-4.6) 坐标化方法定理4.14 基本结论 大学数学 (2) 基本结论 判断向量组线性相关（命题 4.2 ，命题 4.3(2),定理 4.1 及推论 1，定理 4.2 ） 充要： 12 , s L线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 充分： 12 , s L线性相关 12 , s s sL 某一个部分向量组线性相关 向量的个数大于向量分量的个数 被个数少于的向量组
8、线性表示 判断向量组线性无关（命题 4.3(3) ，命题 4.4 的推论） 2、等价向量组 (1) ( ) 可由 () 线性表示，则r( ) r( ). (2) ( ) 与( ) 等价，则r( )r( ). 3、子空间的验证 (1) 非空、加法和数量乘法的封闭； (2) 命题 4.1( 生成子空间 )- 例 4.9 ，例 4.35 4、向量组的秩及极大无关组( 命题 4.6 ，定理 4.4 及推论 2) 、( 线性 ) 子空间的基与维数 (1) 写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组. (2)对于 12 (,) s WLL，则 12 dim(,) s WrL， 即生成子空间的维数
9、与基就是向量组 12 , s L的秩与极大无关组. 5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式 坐标： 1122nn xxxL在基 12 , n L下的坐标 T 12 , n x xxL. 基变换公式： 1212 (,)(,) nn LLS 坐标变换公式： 1212 12 12 (,)(,) (,) (,) nn n n LL L L S XXSY Y 或 1 YSX 四、线性方程组 (含参量、不含参量 ) 1、解的情况 (1) ()(), , ()() , rr n rr n % % AA AX AA 无解 唯一解 无穷多解 若A是方阵，则 0, ()(), 0 ()(), rr rr % %
10、 唯一解 无穷多解 无解 A AX AA A AA (2) 齐次线性方程组0AX有非零解()rnA. 若A是方阵，则齐次线性方程组0AX有非零解0A. 2、解的结构 大学数学 齐次 0AX ： (1) 解空间N()A、dimN()()nrAA基础解系所含向量的个数 (2) 基础解系不唯一，()Anr的线性无关的解均可作为0AX的一个基础解系. (2) 结构式：通解 =基础解系的任意线性组合 非齐次AX： (1) 非- 非=齐 (2) 结构式：通解 =特解导出组0AX的通解 五、线性变换 1、线性变换的验证 ( 定义 5.4) 2、线性变换在一个基下的矩阵( 定义 5.7) 、命题 5.8 12
11、12 12 12 (,)(,) (,) ( )(,) nn n n LL L L A XYAX Y 3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系( 相似 ) 定理 5.9 1212 1 1212 1212 (,)(,) (,)(,) (,)(,) nn nn nn LL LL LL A BBSAS S 六、内积空间 n R 1、内积的概念、长度、正交( 正交向量组必线性无关) 2、施密特正交化 3、正交矩阵 (1) 定义、性质； (2) n阶实矩阵A是正交矩阵的充要条件是A的列 ( 行) 向量组是 n R的一个标准正交 基. (命题 6.2) 七、矩阵的相似对角形 1、特征值和特征向量的定义、性质
12、(1) 1212 tr(); nn LLAA； (2) A与 T A具有相同的特征值( 特征向量未必相同) ； 已知(A可逆 ) 矩阵 A Ak A m )(Af 1 A A 特征值 k m )(f 1 | 1 A 大学数学 (3) ( ) ()()AA f WWf； 1 1 ()()AAWW. (4)属于不同特征值的特征向量线性无关(定理 5.3 、定理 5.4 及推论 ) . 2、相似矩阵的定义、性质( 秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同) 相似的判定： 若A与B可对角化 ( 实对称矩阵 ) ，且A与B具有相同的特征值，则A与 B相似 . 若A与B相似，则矩阵多项式()Af与(
13、)Bf也相似 . 3、矩阵的相似对角化 A可对角化A有n个线性无关的特征向量 数域P内有n个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数 ( 充分条件 ) A有n个互不相同的特征值A可对角化 4、实对称矩阵 (1) 特征值：n阶实对称矩阵有n个实特征值 . (2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. (3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵( 几何重数等于代数重数). (4) 若A与B均为实对称矩阵，则A与B正交相似 ( 相似 )A与B具有相同的特征 值. ( 正交相似既相似，又合同) 八、二次型 1、二次型的矩阵及秩( 1 1 Af( 对称 ) 2、矩阵的合同：合同必相抵； 正交相似既相似，又合同 实对称矩阵,A B合同,A B的正惯性指数与秩相同 3、化二次型为标准形( 不唯一 )- 正交替换法、配方法( 满秩线性替换) 4、惯性定理：实二次型的规范形唯一( 正、负惯性指数，符号差) 5、正定二次型 (1) 判定：定义； A的特征值都大于零(A的正惯性指数等于n) ； A与E合同 ( 与正定矩阵A合同的实对称矩阵B正定 ) ； 存在可逆矩阵S，使得 T AS S； A的所有顺序主子式都大于零 (2) 必要条件：(i)0,1,2, ii ainL；(ii) | 0A 特征向量 XXXXXX
