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1、高中数学 椭圆与方程 【知识梳理】 1、椭圆的定义 平面内，到两定点 1 F 、 2 F 的距离之和为定长 12 22 ,0aF Fa a的点的轨迹称为椭圆，其中两定点 1 F 、 2 F 称为椭 圆的焦点，定长2a称为椭圆的长轴长，线段 12F F的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义. 2、椭圆的简单性质 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 顶点坐标 ,0Aa、0,Bb,0Ab、0,Ba 焦点坐标 左焦点 1 ,0Fc，右焦点 2 ,0Fc上焦点 1 0,Fc ，下焦点 2 0,Fc 长轴与短轴长轴长2a、短轴长2b长轴长2a、短轴长2b
2、有界性axa， bybaya，bxb， 对称性 关于x轴对称，关于y轴对称，同时也关于原点对称. cba、 之间关系 222 cba 3、焦半径 椭 圆 上 任 意 一 点P到 椭 圆 焦 点F的 距 离 称 为 焦 半 径 ， 且,PFac ac ， 特 别 地 ， 若 00 (,)P xy为 椭 圆 22 22 10 xy ab ab 上的任意一点， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c为椭圆的左右焦点，则 10 |PFaex ， 20 |PFaex ，其 中 c e a . 4、通径 过椭圆 22 22 10 xy ab ab 焦点F作垂直于长轴的直线，交椭圆于A、B两点，称线段AB
3、为椭圆的通径，且 2 2b AB a . 5、焦点三角形 P为椭圆 22 22 10 xy ab ab 上的任意一点， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c为椭圆的左右焦点，称 12 PFF 为椭圆的焦点三角 形，其周长为： 12 22 F PF Cac，若 12 F PF，则焦点三角形的面积为： 12 2 tan 2 F PF Sb. 6、过焦点三角形 直线l过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点 1 F ，与椭圆交于 11 (,)A xy、 22 (,)B xy两点，称 2 ABF 为椭圆的过焦点三 角形，其周长为： 2 4 ABFCa ，面积为 21 2 yycS AB
4、F . 高中数学 7、点与椭圆的位置关系 00 ,P xy为平面内的任意一点，椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ：若 22 00 22 1 xy ab ，则P在椭圆上；若 22 00 22 1 xy ab ， 则P在椭圆外；若 22 00 22 1 xy ab ，则P在椭圆内 . 8、直线与椭圆的位置关系 直线:0lAxByC，椭圆： 22 22 1(0) xy ab ab ，则 l与相交 22222 a Ab BC； l与相切 22222 a Ab BC； l与相离 22222 a Ab BC. 9、焦点三角形外角平分线的性质（* ） 点( , )P x y是椭圆 22 2
5、2 1(0) xy ab ab 上的动点， 12 ,FF是椭圆的焦点，M是 12 F PF的外角平分线上一点，且 2 0F M MP，则OMa，即动点M的点的轨迹为 222 xyaxa. 10、椭圆上任意两点的坐标性质 1122 ,A xyB xy为椭圆 22 22 10 xy ab ab 上的任意两点，且 12 xx，则 222 12 222 12 yyb xxa . 【推广 1】 直线 l 过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的中心，与椭圆交于 1122 ,A xyB xy两点，P为椭圆上的任意一点， 则 2 2 APBP b kk a （, APBP kk均存在） . 【推广 2
6、】 设直线 11 0lyk xm m：交椭圆 22 22 10 xy ab ab 于CD、两点，交直线 22 lyk x：于点E若E为 CD的中点，则 2 12 2 b k k a . 11、中点弦的斜率 000 ,0Mxyy为椭圆 22 22 10 xy ab ab 内的一点，直线l 过M与椭圆交于,A B两点，且AMBM ，则直 线 l 的斜率 2 0 2 0 AB b x k a y . 12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值 若A、B为椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 上的两个动点，O为坐标原点，且OAOB则 22 11 |OAOB 定值 22 11 ab 高中数学 【典型
7、例题】 例 1、 直线1ykx与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点，则m的取值范围是_ 【变式 1】已知方程1 35 22 k y k x 表示椭圆，则k的取值范围 _ 【变式 2】椭圆1 22 22 m x m y 的两个焦点坐标分别为_ 例 2、 已知圆1003: 2 2 yxA，圆A内一定点3,0B，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程 . 【变式 1】已知圆11: 22 1 yxO，圆91: 22 2 yxO, 动圆M分别与圆 1 O相外切，与圆 2 O相内切 . 求动圆圆心M所在的曲线的方程. 【变式 2】 已知ABC的两个顶点坐标为( 4,0),(4,0)AB，ABC的
8、周长为 18， 则顶点C的轨迹方程为_ 【变式 3】已知动圆P过定点03，A，且在定圆643 22 yxB：的内部与其相内切，求动圆的圆心P的轨迹 方程 高中数学 例 3、 若P是椭圆1 34 22 yx 上的点， 1 F和 2 F是焦点，则 （1） 21 PFPF的取值范围为_ （2） 12 PFPF的取值范围为 _ （3） 22 12 PFPF的取值范围为 _ 【变式1】点( ,)P x y是椭圆 22 1 94 xy 上的一点， 12 ,FF是椭圆的焦点，M是 1 PF的中点，且 1 2PF，O为 坐标原点，则OM_. 【变式 2】点( , )P x y是椭圆 22 22 1(0) xy
9、 ab ab 上的动点， 12 ,F F是椭圆的焦点，M是 12 F PF的外角平分线 上一点，且 2 0F M MP，则动点M的轨迹方程为_ 例 4、已知椭圆 22 1 2516 xy 内有一点2,1A，F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求PAPF的最大值与最 小值 _ 【变式】若椭圆1 716 22 yx 的左、右两个焦点分别为 1 F、 2 F， 过点 1 F的直线l与椭圆相交于A、B两点，则BAF2 的周长为 _ 例 5、 12 ,F F是椭圆 2 2 1 4 x y的焦点，点 P为其上动点，且 12 60F PF，则 12 F PF的面积是 _ 【变式】焦点在轴x上的椭圆方程为 2
10、2 2 1(0) x ya a ，1F、 2 F是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B，使得 12 2 F BF，那么实数a的取值范围是_. 高中数学 例 6、 已知椭圆 2 2 1 2 x y， （1）求过点 1 1 2 2 P ，且被 P平分的弦所在的直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过(21)A，引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. （4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足 2 1 OQOP kk， 求线段PQ中点M的轨迹方程 例 7、已知椭圆1 34 22 yx C： ，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两
11、点关 于该直线对称 高中数学 例 8、 已知椭圆14 22 yx及直线mxy （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102 ，求直线的方程 例 9、已知定点2,0A，动点B是圆64)2(: 22 yxF（F为圆心） 上一点， 线段AB的垂直平分线交BF 于P. （1）求动点P的轨迹方程； （2）直线13xy交P点的轨迹于,M N两点，若P点的轨迹上存在点C，使,OCmONOM求实数m 的值； 高中数学 例 10、 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba） ， 过点,0Aa，0,Bb 的直线倾斜角为 6 ， 原点到该直线的距离为 2 3 （1
12、）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过1,0D与椭圆交于E，F两点，若DFED2，求直线EF的方程； （3）是否存在实数k，直线2kxy交椭圆于P，Q两点， 以PQ为直径的圆过点( 1,0)D？若存在， 求出k的 值；若不存在，请说明理由 高中数学 例 11、若AB是经过椭圆 22 1 2516 xy 中心的一条弦点， 12 ,FF分别为椭圆的左、右焦点，求 1F AB的面积的最大 值. 【变式 1】已知直线l与椭圆 2 2 1 3 x y交于A B、两点， 坐标原点O到直线l的距离为 3 2 ，求AOB的面积的最 大值 . 【变式 2】斜率为1的直线l与椭圆 22 1 42 xy 交于A
13、B、两点，O为坐标原点， 求AOB面积取最大值时直线l的 方程 . 【变式 3】已知定点)0,(aA和椭圆82 22 yx上的动点),(yxP （1）若2a且 2 23 | PA，计算点P的坐标； （2）若30a且| PA的最小值为1，求实数a的值 . 高中数学 【变式4】如图，椭圆的中心在原点，2,0 ,0,1AB是它的两个顶点，直线(0)ykx k交线段AB于点D， 交椭圆于,E F两点 . （1）若6EDDF，求直线的斜率k； （2）求四边形AFBE的面积S的最大值 . 【变式 5】椭圆 22 2 10 4 xy b b 的一个焦点是1,0F （1）求椭圆的方程； （2）已知点P是椭圆上
14、的任意一点，定点M为x轴正半轴上的一点，若PM的最小值为 8 5 ，求定点M的坐标； （3）若过原点O作互相垂直两条直线，交椭圆分别于,A C与,B D两点，求四边形ABCD面积的取值范围. A x F E B y D 高中数学 【变式 6】在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点3,0 ,3,0 的距离之和为4，设点P的轨迹为曲线C，直 线l过点( 1,0)E，且与曲线C交于,A B两点 . （1）求曲线C的方程； （2）以AB为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过，求此时直线l的方程，若不能，说明理由. （3）AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，
15、请说明理由. 例 12、已知椭圆 222 2(0)xyaa的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4 （1）求椭圆C的方程； （2） 已知直线)1(xky与椭圆C交于A、B两点，试问，是否存在x轴上的点,0M m， 使得对任意的kR， 高中数学 MA MB为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由. 【变式 1】过椭圆 22 1 82 xy 长轴上某一点,0S s（不含端点）作直线l（不与x轴重合）交椭圆于,M N两点，若 点,0T t满足：8OS OT，求证：MTSNTS. 【变式 2】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点 3 1, 2 在椭圆C上 （1）求椭圆C的
16、方程； （2） 设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量2,1d的直线l交椭圆C于A、B两点，求证： 22 PAPB 为定值 高中数学 【变式3】如图，A为椭圆 22 22 +10 xy ab ab 上的一个动点，弦,AB AC分别过椭圆的的左右交点 12 ,F F.当 ACx轴时，恰好 12 3AFAF （1）求 c a 的值 （2）若 111 AFF B， 222 AFF C，试判断 12是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由 . 【变式 4】线段,A B分别在x轴，y轴上滑动，且3AB，M为线段AB上的一点，且1AM，M随,A B的 滑动而运动 （1）求动点M的轨迹方程E； A x C 2 F1F B y 高中数学 （2）过(3,0)N的直线交
