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1、高中数学 j. 椭圆方程数值解法 本章考虑椭圆微分方程数值解法。首先以二维二阶椭圆方程为例，给出矩 形网和三角网上的差分法。 然后以一维二阶椭圆方程为例， 简要描述有限元法的 基本思想。 J.1 矩形网上差分方程 考虑二维区域（区域 =连通的开集）G上的二阶椭圆型偏微分方程第一边 值问题 （j.1 ） , , xxyyxy uuCuDuEuFx y u x yx y G 其中 C ,ED,是常数；0E；GC 0 , yxFF；( ,)x y是给定的光滑函数； 是G的边界；GG。假设（ J.1 ）存在光滑的唯一解。 考虑一种简单情形，即求解区域G是矩形区域，并且其四个边与相应坐标 轴平行。令 1
2、 h和 2 h分别为x和 y 方向的步长，用平行于坐标轴的直线段分割区域 G，构造矩形网格： h G为网格内点节点集合， h为网格边界节点集合， h G h G h。 对于内点 ji yx , h G，用如下的差分方程逼近微分方程（J.1 ） ： (J.2) 1,1,1,11,1,1,1 222 1212 22 22 ijijiji jiji jijiji ji j ijij uuuuuuuuuu CDEuF hhhh 其中),( jiij yxFF。 （J.2 ）通常称为五点差分格式 。 方程（ J.2 ）可以整理改写为 （J.3 ） ji a ,1ji u , 1 + ji a ,1ji
3、u ,1 + 1, ji a 1, ji u+ 1, ji a 1, ji u+ ji a ,ji u ,ij F 对每一内点 ji yx ,都可以列出这样一个方程。 方程中遇到边界点时， 注意到边界 点上函数值u已知，将相应的项挪到右端去。最后得到以u的内点近似值为未知 数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当 1 h和 2 h足够小时是对角占优的。 高中数学 用 （J.1 ） 的真解( ,)u x y在网点上的值(,) ij u x y、 1 (,) ij u xy等等分别替换（J.2 ） 中的 ij u、 1,ij u等等，然后在(,) ij x y点处作 Tailor展开，便知差分方
4、程（ J.2 ） 逼近微分方程（ J.1 ）的截断误差阶为 2 2 2 1 hhO。另外可以证明，五点差分格式 的收敛阶为 22 12()O hh，并且关于右端和初值都是稳定的。 矩形网格差分格式的优点是计算公式简单直观。但是，当G是非矩形区域， 并且边界条件包含法向导数 （第二和第三边值条件） 时，在矩形网格边界点建立 差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。矩形网格的另一个大缺点是不能局部加密 网格。 图 J.1 一般区域G的矩形网格 J.2. 三角网差分格式 本节我们将积分插值法用于三角网，建立三角网差分格式。 三角网差分格式 具有网格灵活和法向导数边界条件易于处理等优点，特别地，它还保持积分
5、守恒 （质量守恒），深受使用者欢迎。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。 考虑有界区域 G 上的 Poisson方程 （J.4）fu，( ,)x yG 在边界的各个部分 1、2和3分别给定第一、第二和第三边值条件： （J.5a ） 1 ( ,)ux y O x y 高中数学 （J.5b ）),(yx u 2 n （J.5c ）),(yxu u 3 n 其中是常数，n是边界的外法向。 作G的三角剖分：在上取一系列点，连成闭折线 ，并记 G 为由 围 成且逼近 G的多边形区域。将 G 分割成有限个三角形之和，使每个三角形的每 个内角不大于90，并且每个三角形的任一顶点与其他三角形或者不相交，或者
6、 相交于顶点。 引入如下术语。节点：三角形的顶点；单元：每个三角形；相邻节点：同一 条边上的两个节点；相邻单元：有一条公共边的两个三角形。对于任一节点，考 虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂 线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。全体对偶单元构成 区域 G 的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。 图 J.2 三角网及其对偶剖分 0 P 高中数学 1P 2 P 3 P 4P 5 P 6 P 0 P 1q 2 q 3q 4 q 5q 6 q 1 m 2m 3m 4 m 5m 6 m 0G (a) 0 P 1 P 2 P 3 P 4P 1 m 2 m 3
7、 m 4 m 1 q 2 q 3 q 0G (b) 图 J.3 内点(a)与边界点 (b)的对偶单元 1 1 m q u sd n 0 10 11 uu pp qm 1 ， 12 q q u sd n 0 20 21 uu pp qq 2 ， 2 3 q q u sd n 0 30 32 uu pp qq 3 ， 34 q m u sd n 34 0 04 4 q m uu p p ， 对于s u pm d n 04 和s u mp d n 10 ，分别利用右矩形公式和梯形公式计算所涉及到的积 分，导出如下差分近似： 4 40404040 40 4000 2 m m pm pm pm p m
8、pu sussu sm puudddd n 4 4000400004 1 222 m m puum puuu 40 004 3 24 p p uu 1010 m pm p u susdd n 10 001 3 24 p p uu 这里 00 ()p。将上述六个公式带入（ J.6）中，就得到边界点 0 p的差分方程。 所有内点和边界点的差分方程构成一个封闭的线性方程组，其系数矩阵是稀疏 的，并且当0时是对称的。 高中数学 J.3 椭圆方程的有限元法 有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法 是，首先把微分方程转化成一种变分方程（微分积分方程），从而降低了对解的 光滑性和
9、边值条件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元（有限元），构 造分片光滑函数， 这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定；最后，把这个 分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个 线性方程组，解之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条件， 易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。 函数集合 m H 作为例子，我们将考虑区间0,1I上的椭圆微分方程。用 2 ( )LI表示在 I 上勒贝格平方可积函数的集合，( ) m HI表示本身以及直到 m阶的 导数都属于 2 ( )LI的函数的集合。 我们下面用到的主要是 1 ( )HI。这里所说的导数 准确地说是
10、应该是广义导数， 对此我们不予详细说明， 只需知道比如说， 连续的 分片线性函数（折线函数）就属于 1( ) HI，其广义导数是分片常数函数。另外， 我们还用到函数集合 11 ( )( ), (0)0 E HIv vHIv。 变分方程考虑两点边值问题 (),(0,1)puqufx （J.7a） (0)0u （J.7b） 0)1(u （J.7c） 其中,p q f都是区间(0,1)上的光滑函数，并且 0 pp， 0 p是一个正常数。 用 1 ( )EHI中任一函数 v 乘（J.7a）式两端，并在0,1上积分，得 1 0 ()0puvquvfv dx （J.8） 利用分部积分，并注意 0) 1(u
11、 和 0)0(v ，得 1 0 1 0 1 0 |)(dxvupvupdxup 1 0 dxvup 以此代入到（ J.8）得到 1 0 0)(dvfvquvvup （J.9） 为了方便，定义 高中数学 1 0 ,w vw vdx （J.10） ),(),(),(vqwvwpvwa （J.11） 则相应于微分方程（ 1）-（3）的变分方程为：求 1 ( ) E uHI满足 ),(),(vfvua)( 1 IHv E （J.12） 注意在（ J.12）中不出现二阶导数。我们已经看到，满足微分方程（J.7）的 光滑解一定满足变分方程（J.12） 。而变分方程（ J.12）的解称为微分方程（ J.7）
12、 的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它 在通常意义下二阶可微，则一定也是（J.7）的解。 另外，注意在变分方程 （J.12）中，强制要求广义解 u 满足边值条件 (0)0u ， 因而称之为强制（或本质）边界条件；而对边值条件 0)1 (u ，则不加要求。但 是可以证明，如果广义解 u 在通常意义下二阶可微，则一定有 0)1(u ，即这个 边界条件自然满足。 这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程（J.12） 不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。 有限元空间构造有限元法的第一步与差分法一样，也是对求解区间作网格 剖分 01 01 n
13、 xxx。相邻节点 1,ii xx之间的小区间 1,iii Ixx 称为第 i个 单元，其长度为 1iii hxx。记max i hh。顺便说一下， 有限元法不要求步长 i h 是常数。而差分法通常要求步长 i h是常数，以免截断误差阶数降低。 在空间 1 ( )EHI中，按如下原则选取有限元空间 h V：它的元素( ) h ux在每一单 元上是 m次多项式，并且在每个节点上都是连续的。当 1m时，就得到最简单 的线性元，这时每个 hh uV可表为 1 1 ( ), ii hiii ii xxxx uxuuxI hh ，1,2,in（J.13） 其中(), ihi uux 0 (0)0 h u
14、u。 高中数学 图 J.3. 一维线性元 线性元的另外一种表示方法用到以下具有局部支集的基函数： 1 1 1 1, 1 ( )1, 2 0, i ii i i iii i xx xxx h xx xxxx h 在别处 1,2,1in （J.14） 1 1, ( ) 0, n nn nn xx xxx hx 在别处 （J.15） 图 J.4. 线性元的基函数 显然，任一 hh uV可以表为 1 ( )( ) n hii i uxux （J.16） 有限元方程将变分方程（ 9）局限在有限元空间上考虑， 高中数学 就得到有限元方程：求有限元解 hh uV满足 ),(),( hhh vfvua hh
15、Vv （J.17） 注意到 h u 和 h v 都可以表示成（ J.16）形式，容易看出（ J.17）等价于如下的线性 方程组：求节点上的近似解 1, , n uu满足 1 (,)(,),1, n ijij i aufjn（J.18） 这个线性方程组是三对角的，可以用追赶法求解。 可以把微分方程（ J.1） 、变分方程（ J.12）和有限元方程（ J.18）比喻为确定 “好人”的三种标准：他每时每刻表现都好；大家都说他好；一个遴选委员会说 他好。 误差估计可以证明，微分方程（ J.1）的解 u 和有限元方程（ J.18）的解 h u之 间的误差满足 | hh uuuuChu （J.19） 其中
16、 C是一个常数； |?表示如下定义的 2 ( )LI范数： 1 2 2 ( , ) b a vv vvdx （J.20） 二维椭圆方程有限元法以二维区域上的 Poisson方程第一边值问题为例： 22 22 ( ,) uu f x y xy ，( , )x yG（J.21a） |0u （J.21b） 其中G是以为边界的一个二维区域。 利用 Green公式，容易推出相应的变分方 程：求 1 0( )uHG满足 ( , )(, )a u vf v ， 1 0( )vHG （J.22） 其中函数集合 1 0( )HG由满足以下条件的所有函数组成：在边界上为零，且本身 及其广义偏导数在区域 G 上勒贝格可积； ( , ) dxdy G w vwv （J.23） 高中数学 (, )() G wvwv a w vdxdy xxyy （J.24） 二维区域上最常用剖分是形如下图的三角剖分： 我们可以相应地构造三角剖分上的线性元。对内点集合 h G（例如上图中 3，6，5 这三个点）中每个节点 i ，定义
