椭圆、双（曲线、抛物线的标准方程与几何性质）

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1、一、知识要点 : 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆双曲线抛物线 定义1到两定点 F1,F2的距离 之和为定值 2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹 1到两定点 F1,F2的距离之差的 绝对值为定值 2a(02a|F1F2|)的 点的轨迹 2与定点和直线的距离之 比为定值 e的点的轨迹 . （0e1） 与定点和直线的距 离相等的点的轨迹 图形 方 标 准 方 程 1 2 2 2 2 b y a x (ba0) 1 2 2 2 2 b y a x (a0,b0) y 2=2px 程参 数 方 程 为离心角）参数( sin cos by ax 为离心角）参数( tan sec by a

2、x pty ptx 2 2 2 (t 为参数) 范围ax a，by b |x| a，yR x 0 中心原点 O（0，0）原点 O（0，0） 顶点(a,0), (a,0) , (0,b) , (0, b) (a,0), (a, 0) (0,0) 对称 轴 x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴 焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0) )0, 2 ( p F 焦距 2c （c= 22 ba） 2c （c= 22 ba） 离心 率 ) 10(e a c e )1(e a c e e=1 准线 x= c a

3、2 x= c a 2 2 p x 渐近 线 y= a b x 焦半 径 exar )(aexr 2 p xr 通径 a b 2 2 a b 2 2 2p 焦参 数 c a 2 c a 2 P 1.椭圆的定义 : 第一种定义 :平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于 F1F2)的 点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义 :平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的 比是小于 1 的正常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点 ,定直线叫做 椭圆的准线 . 2.椭圆的标准方程 : (1) )0( 1 2 2 2 2 ba b

4、y a x ,焦点:F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= 22 ba. (2) )0( 1 2 2 2 2 ba a y b x ,焦点:F1(0,-c),F2(0,c),其中 c= 22 ba. 3.椭圆的参数方程 : sin cos by ax ,(参数是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质 :以标准方程 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 为例: 范围:|x|a,|y|b; 对称性 :对称轴 x=0,y=0,对称中心为 O(0,0); 顶点 A(a,0),A(-a,0),B(0,b),B(0,-b);长轴 |AA|=2a,短轴|BB|=2b; 离心率 :e=

5、 a c ,0e1; 准线 x= c a 2 ;焦半径 :|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex,其中 P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1设一动点P到直线3x的距离与它到点A（1，0）的距离之比为3， 则动点P的轨迹方程是（） ()A 22 1 32 xy ()B 22 1 32 xy ()C 22 (1) 1 32 xy ()D 22 1 23 xy 2曲线 1 925 22 yx 与曲线 )9( 1 925 22 k k y k x 之间具有的等量关系 （） ()A 有相等的长、短轴()B有相等的焦距 ()C有相等的离心率()D有相同的准线 3已知椭圆的长轴长是短轴长的

6、3倍，长、短轴都坐标上， 且过点(3,0)A，则椭圆的方程是 4底面直径为12cm的圆柱被与底面成30 o 的平面所截， 截口是一个椭圆，这个椭圆的长， 短轴长，离心率 5已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 5 ，若将这个椭圆绕着它的右 焦点按逆时针方向旋转 2 后，所得新椭圆的一条准线方程是 16 3 y ，则原来 的椭圆方程是_；新椭圆方程是_ 三、例题分析 y O x 1 l F2 F1 A2 A1 P M l 例 1(05 浙江) 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在 x 轴上， 长轴 A1A2 的长为 4， 左 准 线l 与 x 轴的 交点为

7、 M， |MA1| |A1F1| 21 ()求 椭圆 的方 程； ()若直线 l1：xm(|m|1)，P 为 l1上的动点，使 F1PF2最大的点 P 记 为 Q，求点 Q 的坐标 (用 m 表示) 例 2 设,A B是两个定点，且| 2AB，动点M到A点的距离是4，线 段MB的垂直平分线l交MA于点P，求动点P的轨迹方程 例 3已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，P为椭圆上除长轴端点外的 任一点， 12 ,F F为椭圆的两个焦点， （1） 若 21F PF， 21 PF F， 求证：离心率 2 cos 2 cos e ； y xOF1 F2 P （2）若 2 21PF F，求

8、证：21PFF的面积为 2 tanb 例4设椭圆 2 2 1 1 x y m 的两个焦点是 12 (,0),( ,0)(0)FcF cc ，且椭圆上存在点P，使得直线 1 PF 与直线 2 PF 垂直 （1）求实数m的取值范围；（2）设l是相应于 焦点 2 F的准线，直线 2 PF与l相交于点Q，若 2 2 | 23 | QF PF ，求直线 2 PF 的方程 例 5（05 上海）点 A、B 分别是椭圆 1 2036 22 yx 长轴的左、右端点， 点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于x轴上方，PFPA。 （1）求点 P 的坐标； （2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于| MB， 求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值。