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1、高中数学 （2016 新课标全国卷文科） （5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 1 4，则该椭圆的离心率为 （） （A） 1 3（B） 1 2（ C） 2 3（D） 3 4 （2016 新课标全国卷文科） (5) 设 F为抛物线C：y2=4x 的焦点，曲线 y=（k0）与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k= （） （A）（B） 1 （C）（D） 2 （2016 新课标卷文科） （20）在直角坐标系中，直线 l:y=t(t0) 交 y 轴于点 M，交抛 物线 C：于点 P，M 关于点 P的对称点为N，连结 ON 并延长交C于点 H. （I）求； （
2、II）除 H 以外，直线MH 与 C是否有其它公共点？说明理由. （）由已知得，. 又为关于点的对称点， 故，的方程为，代入 k x 1 2 3 2 xOy 2 2(0)ypx p OH ON ),0(tM), 2 ( 2 t p t P NMP),( 2 t p t NONx t p ypxy2 2 高中数学 整理得，解得，因此. 所以为的中点，即. （）直线与除以外没有其它公共点.理由如下： 直 线的 方 程 为， 即. 代 入得 ， 解得， 即直线与只有一个公共点， 所以除 以外直线与没有其它公共点. （2016 全国卷理科） 20. （本小题满分12 分） 设圆的圆心为 A， 直线 l
3、 过点 B （1,0） 且与 x 轴不重合， l 交圆 A于 C， D 两点，过B作 AC的平行线交AD 于点 E. （I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程； 20.（本小题满分12 分） 解： （）因为，故， 所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （）. （2016 新课标全国卷理） 20. （本小题满分12 分） 已知椭圆E: 22 1 3 xy t 的焦点在x轴上，A 是 E的左顶点， 斜率为 k(k0)的直线交E于 A,M 02 22 xtpx0 1 x p t x 2 2 2 )2, 2 ( 2 t p t H NOH2 | | ON
4、OH MHCH MHx t p ty 2 )( 2 ty p t xpxy2 2 044 22 ttyytyy2 21 MHCH MHC 高中数学 两点，点N 在 E上， MA NA. （I）当 t=4，AMAN时，求 AMN 的面积； 20.（本小题满分12 分） 【答案】（） 144 49 ； 【解析】 试题分析：（）先求直线 AM 的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积； 试题解析：（ I ）设 11 ,Mx y，则由题意知 1 0y，当4t时，E的方程为 22 1 43 xy ， 2,0A. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为 4 . 因此直线AM的方程为2yx. 将2x
5、y代入 22 1 43 xy 得 2 7120yy. 解得0y或 12 7 y，所以 1 12 7 y. 因此AMN的面积 11212144 2 27749 . （2016 新课标全国卷文科） （21） （本小题满分12 分） 已知 A 是椭圆 E：的左顶点，斜率为的直线交 E于 A，M 两点，点N 在 E上，. （I ）当时，求AMN的面积 (II)当 2时，证明：. （21） （本小题满分12 分） 【答案】（） 144 49 ； （） 3 2, 2. 【解析】 试题分析：（）先求直线 AM 的方程， 再求点M的纵坐标， 最后求AMN的面积； （） 22 1 43 xy 0k k MANA
6、 AMAN AMAN32k 高中数学 设 11 ,Mx y， ，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示1x，从而表 示|AM，同理用k表示|AN，再由2 AMAN求k. 试题解析：（）设 11 (,)M xy，则由题意知 1 0y. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为 4 ， 又( 2,0)A，因此直线AM的方程为2yx. 将2xy代入 22 1 43 xy 得 2 7120yy， 解得0y或 12 7 y，所以 1 12 7 y. 因此AMN的面积 11212144 2 27749 AMN S. （2）将直线AM的方程(2)(0)yk xk代入 22 1 43 xy
7、得 2222 (34)1616120kxk xk. 由 2 1 2 1612 ( 2) 34 k x k 得 2 1 2 2(34) 34 k x k ，故 2 2 12 12 1 |1|2 | 34 k AMkx k . 由题设，直线AN的方程为 1 (2)yx k ，故同理可得 2 2 121 | 43 kk AN k . 由2 | |AMAN得 22 2 3443 k kk ，即 32 46380kkk. 设 32 ( )4638f tttt，则k是( )f t的零点， 22 ( )121233(21)0ftttt， 所以( )f t在(0,)单调递增，又(3)15 3260,(2)60
8、ff， 因此( )f t在(0,)有唯一的零点，且零点k在(3,2)内，所以32k. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. （2015 新课标卷文科） 20. （本小题满分12 分）已知过点A(0,1),且斜率为k 的直线l 与圆 C： 22 231xy交于 M，N 两点 . 高中数学 （I）求 k 的取值范围； （II）若12OM ON，其中 O 为坐标原点，求MN. 20、解： （I）由题设，可知直线l的方程为1ykx. 因为l与 C交于两点，所以 2 23 1 1 1 k k . 解得 4747 33 k. 所以 k 的取值范围为 4747 (,) 33 . 5 分 （II）设 11
9、22 ,(,)Mx yN xy. 将1ykx代入方程 22 (2)(3)1xy，整理得 22 (1)4(1)70kxk x. 所以 121222 4(1)7 , 11 k xxx x kk . 故圆心 C在l上，所以2MN. 12 分 高中数学 （2015 广东卷文科）20、 （本小题满分14 分）已知过原点的动直线l 与圆 1 C : 22 650 xyx相交于不同的两点， 1 求圆 1 C 的圆心坐标； 2 求线段的中点的轨迹 C 的方程； 3 是否存在实数 k ，使得直线 L:4yk x与曲线 C只有一个交点？若存在， 求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由 20. 【答案】 （ 1）
10、；（2）；（ 3） 存在， 或 （1）圆 2 222 11 :65034,3,0Cxyxxy化为所以圆 C的圆心坐标为 （2）设线段 AB的中点 M , oo xy 由圆的性质可得 1 C M 垂直于直线l 设直线 l 的方程为 00 (lk1, cm ymxmymx已知直线 的斜率存在），所以所以 00 00 1, 3 yy xx 所以 2 222 00000 39 30 24 xxyxy 即 因为动直线l 与圆 1 C 相交，所以 2 3m 1m 2，所以 2 m 4 5； 所以 222 00 ym x 22 000 4 , 5 xx所以 3x 5 3或 0 x 0,又因为 0 0 3,x
11、 所以 5 3 0 3x . 所以 00 ,Mxy 满足 2 2 00 395 3 . 243 xyx 即 高中数学 2 2 395 3 . 243 xyx （3）由题意知直线l 表示过定点T 4,0 , 斜率为 k 的直线 结合图形， 2 2 000 39552 5 3 24333 xyxx 表示的是一段关于轴对称，起点为， 按逆时针方向运动到 5 2 5 33 ， 的圆弧，根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的 圆弧。设 P 52 5 33 ， 则 2 5 2 5 3 , 5 7 4 3 PT k 而当直线 L与轨迹 C相切时， 2 3 4 3 2 2 1 k k k ， 解得 3 4 k
12、 ，在这里暂取 3 4 k ，因为 2 5 7 3 4，所以 PT k 0）的离心率为，点（ 2，）在 C上。 （I ）求 C的方程 . （II ）直线 l 不过原点O且不平行于坐标轴，l 与 C有两个交点A，B，线段 AB的 中点为 M.直线 OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. （20）解： L D x y O C E F 高中数学 （）由题意有 22 22 242 ,1 2 ab aab ， 解得 22 8,4ab。所以 C的方程为 22 1. 84 xy （ ） 设 直 线 1122 :(0,0),(,),(,),(,). MM lykxb kbA x yB xyM xy将 yk
13、xb代入 22 1 84 xy 得 222 (21)4280kxkbxb 故 12 22 2 , 22121 mmm xxkbb xyk xb kk 于是直线OM的斜率 11 ,. 22 m omom m y kkk xk 即 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。 (2014 广东卷文科 B卷） 22 22 00 222 22 5 20.:1(0)(5,0),. 3 (1); (2)(,),. 55 : (1)5,3,954, 3 1. 94 (2),4 xy Cab ab C P xyCPCP c ceabac aa xy C xy 已知椭圆的一个焦点为离心率为 求椭圆的标准方程
14、若动点为椭圆外一点 且点 到椭圆的两条切线相互垂直求点 的轨迹方程 解 椭圆的标准方程为 : 若一切线垂直轴 则另一切线垂直于轴 则这样的点 P共 个 00 22 00 222 0000 22222 000000 ( 3, 2),(3,2). (), (),1 94 (94)18 ()9 ()40,0, (18 ) ()36 ()4 (94)0,4()4 yyk xx xy yk xxy kxk ykxxykx kykxykxkykx , 它们的坐标分别为 若两切线不垂直于坐标轴 , 设切线方程为 即将之代入椭圆方程中并整理得 : 依题意 即:即 2 2 2220 0000122 0 22 0
15、0 22 (94)0, 4 (9)240,1,:1, 9 13,( 3, 2),(3, 2), 13. k y xkx y kyk k x xy Pxy 两切线相互垂直即 显然这四点也满足以上方程 点 的轨迹方程为 高中数学 （2013 广东卷文科 A）9已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F，离心率等于 2 1 ， 则 C 的方程是 A1 43 22 yx B1 3 4 22 yx C1 24 22 yx D1 34 22 yx （2013 广东卷文科 A）20 （本小题满分14 分） 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc到直线:20lxy的距离为 3 2 2 设P为直线l上
16、的点，过点P作抛物线C的两条切线,PA PB，其中,A B为切点 (1) 求抛物线C的方程； (2) 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值 【解析】（1）依题意 023 2 22 c d，解得 1c （负根舍去） 抛物线C的方程为 2 4xy； （2）设点 11 (,)A xy, 22 (,)B xy，),( 00 yxP， 由 2 4xy,即 21 4 yx ,得y 1 2 x. 抛物线C在点A处的切线PA的方程为)( 2 1 1 1 xx x yy， 即 2 11 1 2 1 2 xyx x y. 2 11 4 1 xy， 1 1 2 yx x y. 点),( 00 yxP在切线 1 l上, 10 1 0 2 yx x y. 高中数学 同理， 20 2 0 2 yx x y. 综合、得，点 1122 (,),(,)A x yB xy的坐标都满足方程yx x y 00 2 . 经过 11
