文科立体（几何大题复习）

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1、高中数学 文科立体几何大题复习 一解答题（共12 小题） 1如图 1，在正方形 ABCD中，点， E，F分别是 AB，BC的中点， BD与 EF交于点 H，点 G，R分别 在线段 DH，HB上，且将AED，CFD ，BEF分别沿 DE，DF，EF折起，使点 A，B，C重 合于点 P，如图 2 所示 （1）求证： GR 平面 PEF ； （2）若正方形 ABCD的边长为 4，求三棱锥 PDEF的内切球的半径 2如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面 ABCD ，底面 ABCD是菱形， BAD=60 ，AB=2 ，PD=， O 为 AC与 BD的交点， E为棱 PB上一点 （）证明：平面 EAC

2、平面 PBD ； （）若 PD平面 EAC ，求三棱锥 PEAD的体积 高中数学 3如图，在四棱锥中PABCD ，AB=BC=CD=DA，BAD=60 ，AQ=QD ，PAD是正三角形 （1）求证： ADPB； （2）已知点 M 是线段 PC上，MC= PM，且 PA 平面 MQB，求实数 的值 4如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD上的 点 （）求证： AC SD ； （）若 SD 平面 PAC ，则侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE 平面 PAC 若存在，求 SE ：EC的值； 若不存在，试说明理由 高中数学 5如图所示， ABC所在

3、的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且ABBC ，AB=BC=2 ，BCD=60 ， 点 M 为 BE的中点，点 N 在线段 AC上 （）若= ，且 DNAC ，求 的值； （）在（ ）的条件下，求三棱锥BDMN 的体积 6如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB=AC ，且侧面 BB1C1C是菱形， B1BC=60 （）求证： AB1BC ； （）若 ABAC ，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求 AB的长 7如图 1，在矩形 ABCD中，AB=4 ，AD=2，E是 CD的中点，将 ADE沿 AE折起，得到如图2 所示 高中数学 的四棱锥 D1ABCE ，其中平面 D1AE 平面 A

4、BCE （1）证明： BE 平面 D1AE； （2）设 F 为 CD1的中点，在线段AB 上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE ，若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由 8如图，已知多面体ABCDEF 中， ABD 、ADE均为正三角形，平面ADE 平面 ABCD ，ABCD EF ，AD：EF ：CD=2 ：3：4 （）求证： BD平面 BFC ； （）若 AD=2，求该多面体的体积 9如图，在四棱锥中PABCD ，底面 ABCD为边长为的正方形， PABD （）求证： PB=PD ； 高中数学 （）若 E，F分别为 PC ，AB的中点， EF 平面 PCD ，求三棱锥的 DACE

5、体积 10如图，四边形 ABCD为菱形， G为 AC与 BD的交点， BE 平面 ABCD （）证明：平面 AEC 平面 BED ； （）若 ABC=120 ，AE EC ，三棱锥 EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积 11如图，四边形 ABCD是正方形， DE平面 ABCD ，AFDE ，AF=ED=1 （）求二面角 EAC D的正切值； 高中数学 （）设点 M 是线段 BD上一个动点，试确定点M 的位置，使得 AM平面 BEF ，并证明你的结论 12如图，在四棱锥PABCD中，AB平面 BCP ，CD AB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1 （1）求点 B到平面 DCP的距离； （2）

6、点 M 为线段 AB上一点（含端点），设直线 MP 与平面 DCP所成角为 ，求 sin 的取值范围 高中数学 文科立体几何大题复习 参考答案与试题解析 一解答题（共12 小题） 1如图 1，在正方形 ABCD中，点， E，F分别是 AB，BC的中点， BD与 EF交于点 H，点 G，R分别 在线段 DH，HB上，且将AED，CFD ，BEF分别沿 DE，DF，EF折起，使点 A，B，C重 合于点 P，如图 2 所示 （1）求证： GR 平面 PEF ； （2）若正方形 ABCD的边长为 4，求三棱锥 PDEF的内切球的半径 【解答】 证明： （）在正方形 ABCD中， A、B、C均为直角，

7、在三棱锥 PDEF中，PE ，PF ，PD三条线段两两垂直， PD 平面 PEF ， =，即，在 PDH中，RG PD， GR 平面 PEF 解： （）正方形 ABCD边长为 4， 由题意 PE=PF=2 ，PD=4 ，EF=2，DF=2， SPEF=2，SPFD=SDPE=4， =6， 设三棱锥 PDEF的内切球半径为r， 则三棱锥的体积： =， 解得 r=， 三棱锥 PDEF的内切球的半径为 高中数学 2如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面 ABCD ，底面 ABCD是菱形， BAD=60 ，AB=2 ，PD=， O 为 AC与 BD的交点， E为棱 PB上一点 （）证明：平面 EAC

8、平面 PBD ； （）若 PD平面 EAC ，求三棱锥 PEAD的体积 【解答】 （）证明： PD平面 ABCD ，AC? 平面 ABCD ， AC PD四边形 ABCD是菱形， AC BD， 又PDBD=D ，AC平面 PBD 而 AC ? 平面 EAC ，平面 EAC 平面 PBD （）解： PD平面 EAC ，平面 EAC 平面 PBD=OE ， PD OE ， O是 BD中点， E是 PB中点 取 AD中点 H，连结 BH，四边形 ABCD是菱形， BAD=60 ， BH AD，又 BHPD，ADPD=D ，BH平面 PAD ， = 高中数学 3如图，在四棱锥中PABCD ，AB=BC

9、=CD=DA，BAD=60 ，AQ=QD ，PAD是正三角形 （1）求证： ADPB； （2）已知点 M 是线段 PC上，MC= PM，且 PA 平面 MQB，求实数 的值 【解答】 证明： （1）如图，连结 BD，由题意知四边形ABCD为菱形， BAD=60 ， ABD为正三角形， 又AQ=QD ，Q 为 AD的中点， ADBQ， PAD是正三角形， Q 为 AD中点， ADPQ，又 BQPQ=Q ，AD平面 PQB ， 又PB ? 平面 PQB ，ADPB 解： （2）连结 AC ，交 BQ于 N，连结 MN， AQBC ， PN平面 MQB，PA? 平面 PAC ， 平面 MQB平面 P

10、AC=MN ， 根据线面平行的性质定理得MNPA ， ， 综上，得，MC=2PM， 高中数学 MC= PM，实数 的值为 2 4如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD上的 点 （）求证： AC SD ； （）若 SD 平面 PAC ，则侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE 平面 PAC 若存在，求 SE ：EC的值； 若不存在，试说明理由 【解答】 解： （）连 BD，设 AC交 BD于 O，由题意 SO AC ， 在正方形 ABCD中，AC BD， 所以 AC面 SBD ， 所以 ACSD （）若 SD 平面 PAC ， 则 SD OP，

11、设正方形 ABCD的边长为 a， 则 SD=，OD=， 则 OD 2=PD?SD ， 可得 PD=， 故可在 SP上取一点 N，使 PN=PD ， 过 N 作 PC的平行线与 SC的交点即为 E，连 BN 在BDN中知 BNPO ， 高中数学 又由于 NEPC ，故平面 BEN 面 PAC ， 得 BE 面 PAC ， 由于 SN：NP=2：1， 故 SE ：EC=2 ：1 5如图所示， ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且ABBC ，AB=BC=2 ，BCD=60 ， 点 M 为 BE的中点，点 N 在线段 AC上 （）若= ，且 DNAC ，求 的值； （）在（ ）的条件下，求

12、三棱锥BDMN 的体积 【解答】 解： （）取 BC的中点 O，连接 ON，OD， 四边形 BCDE为菱形， BCD=60 ， DOBC ， ABC所在的平面与菱形 BCDE所在平面垂直， DO平面 ABC ， AC ? 平面 ABC ，DOAC， 又 DNAC ，且 DNDO=D， AC 平面 DON， ON? 平面 DON ，ONAC ， 由 O为 BC的中点， AB=BC ，可得， ，即 =3 ； （）由平面 ABC 平面 BCDE ，ABBC ，可得 AB平面 BCDE ， 由，可得点 N 到平面 BCDE的距离为， 高中数学 由菱形 BCDE中， BCD=60 ，点 M 为 BE的中

13、点，可得 DMBE ， 且， BDM的面积， 三棱锥 NBDM 的体积 又 VNBDM=VBDMN， 三棱锥 BDMN 的体积为 6如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB=AC ，且侧面 BB1C1C是菱形， B1BC=60 （）求证： AB1BC ； （）若 ABAC ，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求 AB的长 【解答】 解： （I）取 BC中点 M，连结 AM，B1M， AB=AC ，M 是 BC的中点， AMBC ， 侧面 BB1C1C是菱形， B1BC=60 ， B1MBC ， 又 AM? 平面 AB1M，B1M? 平面 AB1M，AMB1M=M， BC 平面 AB1M，

14、AB1? 平面 AB1M， BC AB1 （II）设 AB=x，则 AC=x ，BC=x， 高中数学 M 是 BC的中点， AM=，BB1=，B1M=， 又AB1=BB1，AB1=， AB12=B1M2+AM2，B1MAM 由（I）知 B1MBC ，AM? 平面 ABC ，BC? 平面 ABC ，AMBC=M， B1M平面 ABC ， V=， x=2，即 AB=2 7如图 1，在矩形 ABCD中，AB=4 ，AD=2，E是 CD的中点，将 ADE沿 AE折起，得到如图2 所示 的四棱锥 D1ABCE ，其中平面 D1AE 平面 ABCE （1）证明： BE 平面 D1AE； （2）设 F 为

15、CD1的中点，在线段AB 上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE ，若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由 【解答】 （1）证明：连接 BE， ABCD为矩形且 AD=DE=EC=2 ， AE=BE=2 ，AB=4， AE 2+BE2=AB2， BE AE，又 D1AE 平面 ABCE ，平面 D1AE 平面 ABCE=AE ， 高中数学 BE 平面 D1AE （2）= 取 D1E中点 N，连接 AN，FN， FN EC ，EC AB， FN AB，且 FN= AB， M，F，N，A 共面， 若 MF平面 AD1E，则 MFAN AMFN为平行四边形， AM=FN= = 8如图，已知多

16、面体ABCDEF 中， ABD 、ADE均为正三角形，平面ADE 平面 ABCD ，ABCD EF ，AD：EF ：CD=2 ：3：4 （）求证： BD平面 BFC ； （）若 AD=2，求该多面体的体积 【解答】 解： （）因为 ABCD，所以 ADC=120 ，ABD为正三角形，所以 BDC=60 设 AD=a，因为 AD：CD=2 ：4=1：2，所以 CD=2a ， 在BDC中，由余弦定理，得， 所以 BD 2+BC2=CD2，所以 BDBC 取 AD的中点 O，连接 EO ，因为 ADE为正三角形，所以EO AD， 因为平面 ADE 平面 ABCD ，所以 EO 平面 ABCD 高中数学 取 BC的中点 G，连接 FG，OG，则，且 EF OG ，所以四边形 OEFG为平行四边形， 所以 FG EO，所以 FG 平面 ABCD ，所以 FG BD 因为 FG BC=G ，所以 BD平面 BFC （）过 G作直线 MNAD，延长 AB与 MN 交于点 M，