《线性代（数》课后习题答案）

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1、第一章行列式 习题 1.1 1.证明： （1）首先证明)3(Q是数域。 因为)3(QQ，所以)3(Q中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,3 2211 Qbaba ，我们有 3)()3()3)(3( 3)()()3()3( 3)()()3()3( 212121212211 21212211 21212211 baabbbaababa bbaababa bbaababa 。 因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 )3(3)()3()3)(3( )3(3)()()3()3( )3(3)()()3()3( 212121212211 21212211 21212211 Qbaa

2、bbbaababa Qbbaababa Qbbaababa 。 如果03 22 ba，则必有 22,b a不同时为零，从而03 22 ba。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(3 3 )( 3 )3( )3)(3( )3)(3( 3 3 2 2 2 2 2121 2 2 2 2 2121 2222 2211 22 11 Q ba baab ba bbaa baba baba ba ba 。 综上所述，我们有)3(Q是数域。 （ 2）类似可证明)(pQ是数域，这儿p是一个素数。 （ 3）下面证明：若qp,为互异素数，则)()(qQpQ。 （反证法）如果)()(qQpQ，则qba

3、pQba,，从而有 qabqbapp2)()( 222 。 由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有02qab。 所以有0a或0b。 如果0a，则 2 qbp，这与qp,是互异素数矛盾。 如果 0b ，则有 ap ，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有 )()(qQpQ 。 同样可得)()(pQqQ。 （ 4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和之间存在无穷多个不同的 数域。 2. 解： （1）)1(P是数域，证明略（与上面类似）。 （2）)1(Q就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而)1()1(C复数域。 （3）)1(Z不是数域，这是

4、因为他关于除法不封闭。例如)1( 2 1 Z。 3. 证明： （1）因为KF,都是数域， 所以KQFQ,，从而KFQ。故KF含 有两个以上的复数。 任给三个数KFcKFba0,， 则有Fcba,且Kcba,。 因为KF ,是 数域，所以有 F c a abba,且K c a abba,。所以KF c a abba,。 所以 KF 是数域。 （2） KF 一般不是数域。 例如)3(),2(QKQF，我们有KF3,2， 但是KF326。 习题 1.2 2. 解：项 651456423123 aaaaaa的符号为 )312645()234516( )1( 习题 1.3 1证明：根据行列式的定义 11

5、1 111 111 L L M MM L = 1 2 12 1 2 () 12 ( 1) n n n j jj jjnj j jj a aa L L L 1 ij a 1 2 1 2 () ( 1) n n j jj j jj L L =0。 所以上式中 (-1)的个数和 (+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列 产生的。 同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列， 故可以得到全体n阶排列 中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。 2解 (1) 199819992000 200120022003 200420052006 32 CC 199819991 2

6、00120021 200420051 21 CC 199811 200111 200411 =0； （ 2） 1001 0220 0330 4004 32 41 CC CC 1000 0200 0360 4008 下三角形 1 26 8=96； （ 3） 1110 1101 1011 0111 21 31 RR RR 1110 0011 0101 0111 24 R 1110 0111 0101 0011 32 RR 1110 0111 0012 0011 43 RR 1110 0111 0012 0003 上三角形 1 1 1 3=3； （ 4） 22 22 22 abcaa bbcab c

7、ccab 123 RRR 22 22 abcabcabc bbcab cccab 提取公因子 111 () 22 22 abcbbcab cccab 21 31 (2 ) (2 ) Rb R Rc R 111 () 00 00 abcbca cab = 3 ()abc。 （ 5） 72222 27222 22722 22272 22227 5 1 2 i i CC 152222 157222 152722 152272 152227 1 2,3, 4,5 i RR i 152222 05000 00500 00050 00005 上三角形 5 1555 553 5。 3解：（1） 111213

8、 212223 313233 x yx yx y x yx yx y x yx yx y 提取每行的公因子 123 123123 123 yyy x x xyyy yyy 性质 4 0。 （ 2）左端 1 4,3,2 ii CC i 2 2 2 2 212325 212325 212325 212325 aaaa bbbb cccc dddd 43 32 CC CC 2 2 2 2 2122 2122 2122 2122 aa bb cc dd =0=右端。 （ 3） 121 1121 1221 1211 1 1 1 1 n n n nn aaa abaa aaba aaab L L L MM

9、MM L 1 2, i RR inL 121 1 2 1 1 000 000 000 n n aaa b b b L L L MMMM L 上三角形 121n bbbL。 （ 4）原式（先依次 12211 ,CCCCCC nnnn ）=。 。 。= 2, 2, nif nif 。 （ 5）原式（先依次 12211 ,RRRRRR nnnn ）=。 。 。= 2, 2, nif nif 。 4解：设展开后的正项个数为x。则由行列式的定义有!2)!(nxxnxD。又因为 D（利用niRRi,3 ,2,1） 221 021 001 （下三角行列式） 1 2 n 。所以有 2 !2 , !22 1 1

10、 n xnx n n 。 5证明：（1）左端 123 CCC 提取公因子 1111111 2222222 3333333 2 abccaab abccaab abccaab 21 31 CC CC 11111 22222 33333 2 abcbc abcbc abcbc 123 3 C ; ( 1)C CCC 2 (-1) 111 222 333 2 abc abc abc =右端。 （ 2）利用性质5 展开。 6解：（3）与上面3（3）类似可得。 7解：利用行列式的初等变换及性质5。 8解： 11 22 11 000 000 000 11111 nn aa aa aa L L MMMMM

11、L L 1 1,2,1 ii CC inL 1 2 1 0000 0000 0000 1231 n a a a nn L L MMMMM L L 下三角形 121 ( 1) n n na aaL。 9 证明：设原行列式=D。则对D进行依次如下变换后 5 2 1432 3 1 4 ,10,100,10,10 i i CCCCCC所得的行列式D第一列由题设中所给的5个数 字构成。从而由行列式的定义可知D可被 23 整除。又由行列式的性质知DD 10 10。 因为 23 是素数，且 10 10不可能被23 整除，所以D可以被 23 整除。 习题 1.4 1解： (1) 0 000 00 0000 x

12、abc yd ezf ghkul v 5按第 行展开 0 000 00 xab y v ez ghku 按第4列展开 00 0 xab vuy ez 按第1列展开 0y xuv ez =xyzuv； (2) 1111 2341 3412 4123 1 4,3,2 ii RR i 1111 1230 1131 1311 1 2,3,4 i RR i 1111 0121 0040 0400 按第1列展开 121 040 400 1.27(4)习题第题 3(3 1) 2 ( 1)( 1)( 4)( 4)=16； (3)方法一 01000 00100 00010 abcde edcba 按第1列展开

13、1000 0100 0010 a dcba + 5 1 1000 ( 1) 0100 0010 bcde e 第2个行列式按第 4列展开 24 1 100 ( 1)010 001 aee= 22 ae； 方法二逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。 (4)逐次按第2 行展开 1 2 3 1 0001 0000 0000 0000 1000 n n a a a a a L L L MMMMM L L = 1 3 2 01 00 10 n a a a a L L MMM L =L 1 231 1 1 n n a a aa a L= 2311 (1) nn a aaa aL； (5)

14、 123 111 221232 222 123 222 331233 110001 000 111 000 xxx abc abxxxc xxx abxxxc 36C 123 111 222231 222 123 222 333231 111000 000 111 000 xxx abc abcxxx xxx abcxxx 35R 123 222 123 222231 111 222 333231 111000 000 000 111 xxx xxx abcxxx abc abcxxx 45 R 123 222 123 111 222231 222 333231 111000 000 000

15、111 xxx xxx abc abcxxx abcxxx = 2 123 (,)D x xx= 222 313221 () () ()xxxxxx； (6) 2 3 1111 122 144 188 x x x =(1,2, 2, )Dx=(2)(2)(1)( 22)( 21)(21)xxx 2 12(1)(4)xx； （7）换行后可得到范德蒙行列式； （8） 先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。 2解： (1) 000 000 0000 000 000 xy xy x xy yx L L L MMMMM L L 按第 1列展开 1 1 00 00 ( 1)

16、 000 xy xy x x L L MMMM L + 1 000 00 ( 1)000 00 n y xy yx xy L L L M MM M L = 1 ( 1) nnn xy； (2) 123 123 123 123 1 1 1 n n n n aaaa aaaa aaaa aaaa L L L MMMM L 1 2,3, iRR inL 123 1 1100 1010 1001 n aaaaL L L MMMM L 1 2 n i i CC =1+ 1 n i i a ； （此处有笔误） (3) 11121 21222 12 111 111 111 n n nnnn x yx yx y x yx yx y x yx yx y L L MMM L 1 2, 3, i RR inL 11121 21121221 11121 111 ()()() ()()() n n nnnn x yx yx y xx yxxyxx y xx yxxyxx y L L MMM L = 11121 12 21311 12 111 (