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1、word 精品，双击可进行修改 课时跟踪检测 ( 三十八) 有关数列的 4 大难点问题突破 1(2019深圳模拟) 设函数f(x) x m ax的导函数f(x) 2x1，则数列 1 fn (n N * ) 的前n项和是 ( ) A. n n1 B. n2 n1 C. n n1 D. n1 n 解析：选A f(x) mx m 1 a 2x1，a1，m2， f(x) x(x 1) ， 则 1 fn 1 nn 1 n 1 n1， 用裂项法求和得 Sn1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 n n1 . 2(2019柳州模拟) 设函数f(x) 定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn1f(xn)
2、 ， 若x06，则x2 019的值为 ( ) x 123456 f(x)513264 A1 B2 C4 D5 解析：选D 数列 xn满足x06，且对任意自然数n均有xn1f(xn) ，利用表格可 得x1f(x0) f(6) 4，x2f(x1) f(4) 2，x3f(x2) f(2) 1，x4f(x3) f(1) 5，x5 f(x4) f(5) 6，x6f(x5) f(6) 4，xn5xn，x2 019x4035 4x45. 3(2019安徽知名示范高中联考) 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题： 今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半 牛”今欲衰偿之
3、，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗 主人要求赔偿5 斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的 马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的 主人各应偿还粟a升，b升，c升， 1 斗为 10 升，则下列判断正确的是( ) Aa，b，c成公比为2 的等比数列，且a 50 7 Ba，b，c成公比为2 的等比数列，且c 50 7 Ca，b，c成公比为 1 2的等比数列，且 a 50 7 Da，b，c成公比为 1 2的等比数列，且 c 50 7 word 精品，双击可进行修改 解析：选 D 由题意可得，a，b，c成公比
4、为 1 2的等比数列， b 1 2a，c 1 2b ，故 4c2cc 50，解得c 50 7 . 故选 D. 4 已知数列 an 满足an 1 2 nn， n 5 n， 若对于任意的nN *都有 anan1， 则实数 的取值范围是( ) A. 0， 1 2 B. 1 2， 7 12 C. 1 2，1 D. 7 12，1 解 析 ： 选B因 为anan 1， 所 以 数 列 an 是 递 减 数 列 ， 所 以 1 20， 01， 1 2 5 1， 解得 1 2 7 12，故选 B. 5(2019南昌模拟) 数列an 1 nn ，其前n项之和为 9 10，则在平面直角坐标系中， 直线 (n1)x
5、yn0 在y轴上的截距为( ) A 10 B 9 C10 D9 解析：选B 数列 an的通项公式为an 1 nn ，且其前n项和为 1 12 1 23 1 nn 1 1 n1 n n1 9 10， n9，直线方程为10 xy90. 令x0，得y 9，该直线在y轴上的截距为9. 6 (2019郑州质检) 已知数列 an满足a1a2a3an2n 2( nN *) ， 且对任意 nN *都有 1 a1 1 a2 1 ant ，则实数t的取值范围为 ( ) A. 1 3， B. 1 3， C. 2 3 ，D. 2 3， word 精品，双击可进行修改 解析：选D 依题意得，当n2时，an a1a2a3
6、an a1a2a3an 1 2n 2 n 22n 2 ( n1) 222n1 ， 又a12 1221 1，因此 an2 2n1，1 an 1 2 2n11 2 1 4 n1，即数列1 an 是以 1 2为首项， 1 4为公比的 等比数列，等比数列 1 an 的前n项和等于 1 2 1 1 4 n 1 1 4 2 3 1 1 4 n2 3，因此实数 t的取值范围是 2 3， . 7用x 表示不超过x的最大整数， 例如 3 3，1.21， 1.3 2. 已知数列 an 满足a11，an1a 2 nan，则 a1 a11 a2 a21 a2 019 a2 0191 _. 解析：因为a11，an1a
7、2 nan1， 所以 1 an1 1 anan 1 an 1 an 1 ， 即 1 an1 1 an 1 an1， 所以 1 a11 1 a21 1 a2 0191 1 a1 1 a2 1 a2 1 a3 1 a2 019 1 a2 020 1 1 a2 020 (0,1) 又 an an1 1 1 an1， 所以 a1 a11 a2 a21 a2 019 a2 01912 019 1 1 a2 020 . 所以 a1 a11 a2 a21 a2 019 a2 0191 2 018. 答案： 2 018 8数列lg 1 000，lg(1 000 cos 60 ) ，lg(1 000 cos 2
8、60) ， lg(1 000 cos n 1 60) ，的前 _项和为最大 解析：依题意知， 数列的通项anlg(1 000cos n160) 3( n1)lg 1 2，公差 dlg 1 2 0，数列单调递减 因为an 3(n1)lg 1 20 时， n10，所以数列的前10 项均为正，从第11 项开始为负， 故可知数列前10 项的和最大 答案： 10 9(2019济宁模拟) 若数列 an满足：只要apaq(p，q N *) ，必有 ap1aq1，那么就 称数列 an具有性质P. 已知数列 an 具有性质P，且a11，a22，a33，a5 2，a6a7a8 21，则a2 020_. 解析：根据
9、题意，数列an 具有性质P，且a2a5 2， 则有a3a63，a4a7，a5a82. word 精品，双击可进行修改 由a6a7a8 21，可得a3a4a521， 则a4213216， 进而分析可得a3a6a9a3n3，a4a7a10a3n116，a5a8a3n2 2(n 1)， 则a2 020a3673 116. 答案： 16 10若Snsin 7 sin 2 7 sin n 7 (nN *) ，则在 S1，S2，S2 019中，正数的个 数是 _ 解析： 由于 sin 7 0，sin 2 7 0，sin 6 7 0，sin 7 7 0，sin 8 7 sin 7 0， sin 13 7 s
10、in 6 7 0，sin 14 7 0，可得到S10，S120，S130，S14 0， 2 019 14144 3，S1，S2，S2 019中，正数的个数是14412 3 1 731. 答案： 1 731 11为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车，每更 换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型今年年初投入了电 力型公交车128 辆，混合动力型公交车300 辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增 加 50% ，混合动力型车每年比上一年多投入a辆市政府根据人大代表的建议，要求5 年内完 成全部更换，则a的最小值为 _ 解析：依题意知，电力
11、型公交车的数量组成首项为128，公比为150% 3 2的等比数列， 混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为a的等差数列，则5 年后的数量和为 128 1 3 2 5 13 2 3005 54 2 a，则 128 1 3 2 5 13 2 3005 54 2 a5 000，即 10a1 812， 解得a181.2，因为5 年内更换公交车的总和不小于5 000 ，所以a的最小值为182. 答案： 182 12(2019遂宁模拟) 已知数列 an的前n项和为Sn，向量a(Sn,2) ，b(1,1 2 n) 满足 条件ab. (1) 求数列 an的通项公式； (2) 设cn n an，求数列
12、cn 的前n项和Tn. 解： (1) ab，abSn22 n10， Sn2 n 12，当 n2时，anSnSn 12 n， word 精品，双击可进行修改 当n1 时，a1S12 满足上式， an2 n. (2) cn n an n 2 n， Tn1 2 2 2 2 n1 2 n1 n 2 n， 两边同乘 1 2， 得1 2T n 1 2 2 2 2 3 n1 2 n n 2 n1， 两式相减得 1 2T n 1 2 1 2 2 1 2 n n 2 n11 n2 2 n1， Tn2 n2 2 n(n N *) 13(2019安阳模拟) 设等差数列 an的前n项和为Sn，点 (n，Sn) 在函数
13、f(x) x 2 Bx C 1(B，CR)的图象上，且a1C. (1) 求数列 an的通项公式； (2) 记数列bnan(a2n 11)，求数列 bn 的前n项和Tn. 解： (1) 设等差数列 an的公差为d， 则Snna1 nn 2 dd 2n 2 a1 d 2 n. 又Snn 2 BnC 1， 两式比较得 d 2 1， Ba1d 2， C10. 又a1C， 解得d2，C1a1，B0， an12(n1) 2n1. (2) bnan(a2n1 1) (2n1)(2 2 n 111) (2 n1)2 n， 数列 bn 的前n项和Tn 232 2 52 3 (2 n1)2 n， 2Tn2 232
14、3 (2n3)2 n(2 n1)2 n1， Tn22(2 223 2n) (2 n1)2 n1 22 n 1 21 (2n1)2 n1(3 2n) 2n16， 故Tn(2n3)2 n1 6. 14(2018淮南一模) 若数列 an的前n项和为Sn，点 (an，Sn) 在y 1 6 1 3x 的图象上 (n N * ) (1) 求数列 an的通项公式； word 精品，双击可进行修改 (2) 若c10，且对任意正整数n都有cn1cnlog 1 2a n. 求证：对任意正整数n2，总有 1 3 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 3 4. 解： (1) Sn1 6 1 3a n， 当n2 时，
15、anSnSn1 1 3a n1 1 3a n， an1 4a n1. 又S1 1 6 1 3a 1，a1 1 8， an1 8 1 4 n1 1 2 2n1. (2) 证明：由cn1cn log 1 2a n2n1，得当n2 时，cnc1(c2c1) (c3c2) (cncn1) 0 35 (2n1)n 21( n1)(n1) 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 1 2 21 1 3 21 1 4 21 1 n 21 1 2 1 1 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 n1 1 n1 1 2 1 1 2 1 n 1 n1 3 4 1 2 1 n 1 n 1 3 4. 又 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 1 c2 1 3，原式得证
