《高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第11讲变化率与导数导数的计算知能训练轻松闯关文北师大版修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第11讲变化率与导数导数的计算知能训练轻松闯关文北师大版修订（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 11 讲 变化率与导数、导数的计算 1函数yx 2cos x在x 1 处的导数是 ( ) A0 B2cos 1 sin 1 Ccos 1 sin 1 D1 解析：选B.因为y (x 2cos x) (x 2) cos xx 2(cos x) 2xcos xx 2sin x， 所以y|x1 2cos 1 sin 1. 2(2016赣州高三月考) 已知t为实数，f(x) (x 2 4)( xt) 且f( 1) 0，则t等于 ( ) A0 B 1 C.1 2 D2 解析：选C.依题意得，f(x) 2x(xt) (x 24)3x22tx 4，所以f( 1) 3 2t 40，即t 1 2. 3设函数
2、f(x) 在(0， ) 内可导，且f(e x) xe x，则 f(2 016) ( ) A1 B2 C. 1 2 016 D. 2 017 2 016 解析：选D.令 e x t，则xln t，所以f(t) ln tt，故f(x) ln xx. 求导得f(x) 1 x1，故 f(2 016) 1 2 016 1 2 017 2 016 . 4已知函数f(x) 的导函数f(x) ，且满足关系式f(x) x 2 3xf (2) ln x，则f(2) 的值等于 ( ) A2 B 2 C.9 4 D 9 4 解析： 选 D.由已知条件f(x) x 2 3xf (2) ln x，知f (x) 2x3f(
3、2) 1 x，令 x 2， 则f(2) 22 3f(2) 1 2，即 2f (2) 9 2，所以 f(2) 9 4. 5. 已知函数yf(x) 的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x) 的图像如图所示，则 该函数的图像是( ) 解析：选 B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x0 时最大，所以函数f(x) 的图像的变化率也先增大后减小，在x 0时变化率最大A项，在x0 时变化率最小，故 错误； C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误；B 项正 确 6(2016大连高三联考) 已知直线m：x2y30，函数y3xcos x的图像与直线l 相切于P点
4、，若lm，则P点的坐标可能是( ) A. 2 ， 3 2 B. 2 ， 3 2 C. 3 2 ， 2 D. 3 2 ， 2 解析： 选 B.因为直线m的斜率为 1 2，l m，所以直线l的斜率为2. 因为函数y3xcos x 的图像与直线l相切于点P，设P(a，b) ，则b3acos a且y|xa3sin a2，所以 sin a 1 ， 解 得a 2 2k (kZ) ， 所 以b 3 2 6k (kZ) ， 所 以 P 2 2k， 3 2 6k (kZ)，当k0 时， P 2 ， 3 2 ，故选 B. 7函数y sin x x 的导数为 _ 解析：y （sin x）xsin xx x 2 xc
5、os xsin x x 2. 答案： xcos xsin x x 2 8(2015高考陕西卷) 函数yxe x 在其极值点处的切线方程为_ 解析：由题知y e x xe x，令 y 0，解得x 1，代入函数解析式可得极值点的坐标 为 1， 1 e ，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y 1 e. 答案：y 1 e 9(2016郑州第二次质检) 如图，yf(x) 是可导函数，直线l：ykx2 是曲线yf(x) 在x3 处的切线，令g(x) xf(x) ，其中g(x) 是g(x) 的导函数，则g(3) _ 解析：由图可得曲线yf(x) 在x3 处切线的斜率等于 1 3，即 f(3) 1
6、3. 又因为 g(x) xf(x) ，所以g(x) f(x) xf(x) ，g(3) f(3) 3f(3) ，由图可知f(3) 1，所 以g(3) 13 1 3 0. 答案： 0 10(2016保定一模) 函数f(x) ln xax的图像上存在与直线2xy0 平行的切线，则 实数a的取值范围是 _ 解析：函数f(x)ln xax的图像上存在与直线2xy 0 平行的切线， 即f(x) 2 在(0 ， ) 上有解，而f(x) 1 x a，即 1 x a2 在(0 ， ) 上有解，a 2 1 x，因为 x0，所 以 2 1 x2，所以 a的取值范围是 ( ， 2) 答案： ( ， 2) 11已知点M
7、是曲线y 1 3x 32x23x1 上任意一点，曲线在 M处的切线为l，求： (1) 斜率最小的切线方程； (2) 切线l的倾斜角 的取值范围 解： (1) 因为yx 24x3( x2) 21 1， 所以当x2 时，y 1，y 5 3， 所以斜率最小的切线过2， 5 3 ，斜率k 1， 所以斜率最小的切线方程为xy 11 3 0. (2) 由(1) 得k 1， 所以 tan 1， 所以 0， 2 3 4 ， . 1(2014高考陕西卷) 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接( 相 切) 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( ) Ay 1 2x 31
8、 2x 2 xBy 1 2x 31 2x 23x Cy 1 4x 3 xDy 1 4x 31 2x 22x 解析：选 A.设三次函数的解析式为yax 3 bx 2 cxd(a0)，则y 3ax 22bxc. 由已 知得yx是函数yax 3 bx 2cx d在点 (0 ，0)处的切线，则y|x 0 1?c 1， 排除选项B、D.又因为y3x 6 是该函数在点 (2 ，0) 处的切线， 则y|x 23? 12a4bc 3? 12a4b13? 3ab1. 只有 A选项的函数符合，故选A. 2已知函数f(x) x 3x16. (1) 求曲线yf(x) 在点 (2 ， 6) 处的切线的方程； (2) 直
9、线l为曲线yf(x) 的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3) 如果曲线yf(x) 的某一切线与直线y 1 4x 3 垂直，求切点坐标与切线的方程 解： (1) 可判定点 (2， 6) 在曲线yf(x) 上 因为f(x) (x 3 x16) 3x 21. 所以f(x)在点 (2 ， 6) 处的切线的斜率为kf(2) 13. 所以切线的方程为y13(x2) ( 6)， 即y13x32. (2) 设切点为 (x0，y0) ， 则直线l的斜率为f(x0) 3x 2 01， 所以直线l的方程为 y(3x 2 01)(xx0) x 3 0 x016， 又因为直线l过点 (0，0) ， 所以
10、 0 (3x 2 01)( x0) x 3 0 x016， 整理得，x 3 0 8，所以x0 2， 所以y0( 2) 3( 2) 16 26， k3( 2) 2113. 所以直线l的方程为y 13x，切点坐标为 ( 2， 26) (3) 因为切线与直线y 1 4x3 垂直， 所以切线的斜率k4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f(x0) 3x 2 014，所以x0 1. 所以 x01， y0 14 或 x0 1， y0 18， 即切点坐标为 (1 ， 14) 或 ( 1， 18) ， 切线方程为y4(x1) 14 或y4(x 1) 18. 即y4x18 或y4x 14. 3(2016河北省
11、唐山一中月考) 已知函数f(x) ax 33x26ax11， g(x) 3x 26x 12 和直线m：ykx9，且f( 1) 0. (1) 求a的值； (2) 是否存在k，使直线m既是曲线yf(x) 的切线，又是曲线yg(x) 的切线？如果存在， 求出k的值；如果不存在，请说明理由 解： (1) 由已知得f(x) 3ax 26x6a， 因为f( 1) 0，所以 3a66a0，所以a 2. (2) 存在由已知得，直线m恒过定点 (0 ， 9) ，若直线m是曲线yg(x) 的切线，则设切点 为(x0，3x 2 0 6x012) 因为g (x0) 6x06， 所以切线方程为y(3x 2 0 6x01
12、2) (6x06)(xx0) ， 将(0 ，9) 代入切线方程，解得x01. 当x0 1 时，切线方程为y9； 当x01 时，切线方程为y12x 9. 由(1) 知f(x) 2x 33x212x11， 由f(x) 0 得 6x 26x 120，解得 x 1 或x2. 在x 1处，yf(x) 的切线方程为y 18； 在x2 处，yf(x) 的切线方程为y 9， 所以yf(x) 与yg(x) 的公切线是y9. 由f(x) 12 得 6x 26x1212， 解得x 0或x 1. 在x0 处，yf(x) 的切线方程为y 12x11； 在x1 处，yf(x) 的切线方程为y 12x10， 所以yf(x) 与yg(x) 的公切线不是y12x9. 综上所述，yf(x)与yg(x) 的公切线是y9，此时k0.
