《2021-2021学年高中数学人教A版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换Word版含解析修订（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2简单的三角恒等变换 考试标准 课标要点 学考要 求 高考要 求 1.三角恒等变换bb 2.三角恒等变换的应用b b 知识导图 学法指导 三角恒等变换的基本思路是“变换”，变换的基本方向有两个： 一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、 二倍角的余弦公式、半角公式等；二是变换角的形式，可以使用和(差) 角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积等. 1.半角公式 状元随笔巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数 1 余弦加减连，角小值大用加号 “角小值大用加号”即y1cos(是锐角 )是减函数，角小值大， 因此用“”号， 而 y1cos为增函数， 角大
2、值大，因此用“” 号 2辅助角公式 asinxbcosxa 2b2 sin(x )，其中 tan b a. 状元随笔(1)辅助角公式 形式上是 asin bcos(ab 0)的三角函数式，通过三角恒等变换可 写成a 2b2sin(a ) 的形式，其中tan b a，此公式称为辅助角公 式其中 可通过 tan b a以及点(a，b)所在的象限来确定 (2)辅助角公式的特殊情况 sincos 2sin 4 ；sin3cos 2sin 3 ； cos3sin 2sin 6 . 小试身手 1判断下列命题是否正确 . (正确的打“”，错误的打“”) (1)cos 2 1cos 2 .() (2)若 是第
3、一象限角，则tan 2 1cos 1cos .() (3)对于任意 R，sin 2 1 2sin 都不成立 ( ) 答案：(1)(2)(3) 2若 cos 1 3，且 (0，) ，则 cos 2的值为 ( ) A. 6 3 B 6 3 C 6 3 D 3 3 解析：因为 (0，)，所以 2 0， 2 . 所以 cos 2 1cos 2 2 3 6 3 . 答案：A 3下列各式中，值为 1 2的是( ) Asin 15 cos 15 Bcos 2 6sin 2 6 C. tan 30 1tan 230D. 1cos 60 2 解析：选项 A 中，原式 1 2sin 30 1 4；选项 B 中，原
4、式 cos 3 1 2 ； 选项 C 中，原式 1 2 2tan 30 1tan 230 1 2tan 60 3 2 ； 选项 D 中，原式cos 30 3 2 .故选 B. 答案：B 4化简2cos x6sin x 等于() A2 2cos 6x B2 2cos 3x C2 2cos 6 xD2 2cos 3x 解析：2cos x6sin x2 2 1 2cos x 3 2 sin x 2 2 cos 3cos xsin 3sin x 2 2cos 3x . 答案：B 类型一三角函数式的化简求值 例 1(1)化简 2cos 2 1 2tan 4sin 2 4 _； (2) 1 sin 10
5、3 sin 80 的值为_ 【解析】(1) 2cos 2 1 2tan 4sin 2 4 cos 2 2cos 4 sin 4 sin2 4 cos 2 sin 22 cos 2 cos 2 1. (2)原式 cos 10 3sin 10 sin 10 cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 2sin 10 cos 10 4 sin 30 cos 10 cos 30 sin 10 sin 20 4sin 30 10 sin 20 4. 【答案】(1)1(2)4 (1)切化弦，利用倍角公式，诱导公式化简求值 (2)80 90 10 ，通分，利用辅助角化简求值 方法归纳 三角函
6、数式化简原则和方法 (1)三角函数式化简的一般原则是：能求值的应求出值； 三角 函数种数尽量少； 项数尽量少； 分母中尽量不含三角函数；次 数尽量低 (2)三角函数式化简的常用方法：降幂化倍角； 升幂角减半 (3)利用辅助角公式 asin xbcos xa2b 2sin(x )，其中 tan b a(或asin xbcos x a 2b2cos x， 其中tan a b 将形如asin xbcos x(a，b 不同时为零 )的三角函数式写成一个角的某个函数值 跟踪训练 1(1)求值： sin 8 _ ； cos 8_. (2)2019 正 定 检 测 22cos 8 21cos 8的 化 简
7、结 果 是 _ 解析：(1)sin 8 1cos 4 2 1 2 2 2 22 2 ； cos 8 1cos 4 2 1 2 2 2 2 2 2 . (2)原式2 12cos 241 2 1 12sin 24 2|cos 4|2 2|sin 4|2cos 42 2sin 4. 答案：(1) 22 2 22 2 (2)2cos 42 2sin 4 由 sin 8 0，所以 1 cos 4 2 . 由 cos 80，则 cos 8 1 cos 4 2 . 半角是相对的， 4 是 8 的半角，利用公式化简 类型二三角恒等式的证明 例 2若 3 2 ，证明： 1sin 1cos 1cos 1sin 1
8、cos 1cos 2cos 2； 【证明】左边 sin2 2cos 2 22sin 2cos 2 1 2cos 2 21 1 12sin 2 2 sin2 2cos 2 22sin 2cos 2 1 2cos 2 21 1 12sin2 2 sin 2cos 2 2 2 cos 2 sin 2 sin 2cos 2 2 2 cos 2 sin 2 因为 3 2 ，所以 2 20cos 2. 所以左边 sin 2cos 2 2 2 cos 2sin 2 sin 2cos 2 2 2 cos 2sin 2 1 2 sin 2cos 2 1 2 sin 2cos 2 2cos 2 右边所以原等式成立
9、 . 等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意的范 围 方法归纳 三角恒等式证明的思路 通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称 及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差 异，达到形式上的统一 跟踪训练 2求证： cos 2 1 tan 2 tan 2 1 4sin 2 . 证明：方法一左边 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2cos 2 cos 2 2sin 2 2 cos 2 sin 2cos 2 cos cos sin 2cos 2 1 2sin cos 1 4sin 2 右边所以原式成立 方法二
10、左边 cos 2 tan 2 1tan 2 2 1 2cos 2 2tan 2 1tan 2 2 1 2cos 2 tan 1 2cos sin 1 4sin 2 右边 所以原式成立 左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化 简 类型三三角恒等变换与三角函数的综合 例 3设函数 f(x)cos 2x 3 sin2x. (1)求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若 0 2 ，f 4 2 1，f 2 0，求 cos 的值 【解析】(1)f(x)cos 2x 3 sin2xcos 2xcos 3sin 2xsin 3 1cos 2x 2 1 2 3 2 sin 2x. 当 22k
11、 2x 22k( kZ)，即x 4k ， 4k(kZ) 时，函数 f(x)单调递减 所以函数 f(x)的单调递减区间为 4k ， 4k(kZ) (2)由 f 4 2 1，f 2 0，得 cos 3 3 ， sin( ) 3 3 ， 0 2 ， 2， 3 2 ，sin 1cos 2 1 1 3 6 3 ，cos( )1sin2 1 1 3 6 3 .cos cos( )cos( )cos sin( )sin 6 3 3 3 3 3 6 3 2 2 3 . 状元随笔(1) 利用两角和的余弦公式及降幂公式将f x 展开 合并利用正弦函数的单调性求函数f x 的单调递减区间 (2) f（ 4 - 2
12、）1，f（ 2 ）0求出 cos ，sin 结合角 的范围求 sin ，cos 的值利用两角差的余弦公式求cos的值 方法归纳 函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析 式成 yAsin(x )B 的形式再研究其图象及性质 跟踪训练 3已知函数 f(x)sin2x2 3sin xcos x3cos 2x，xR， 求： (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间 6， 3 上的值域 解析：(1)f(x) 1cos 2x 2 3sin 2x3 1cos 2x 2 23sin 2x cos 2x2sin 2x 6 2， 所以最小正周期T2 2 ，
13、因为 22k 2x 62k 2，kZ 时，f(x)为单调递增函数， 所以 f(x)的单调递增区间为k 3，k 6 ，kZ. (2)由(1)知 f(x)22sin 2x 6 ，由于 6x 3，所以 2x 6 6， 5 6 ， 所以sin 2x 6 1 2，1 ，所以 f(x)1,4，所以f(x)在区间 6， 3 上的值域为 1,4 利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)Asin(x) B 的形 式，再利用性质求解 3.2 基础巩固 (25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1已知 cos 4 5， 3 2 ，2，则 sin 2等于( ) A 10 10 B. 1
14、0 10 C. 3 10 3 D 3 5 解析：因为 3 2 ，2，所以 2 3 4 ， 所以 sin 2 1cos 2 1 10 10 10 . 答案：B 2若 sin 2 1 4，且 4， 2 ，则 cos sin 的值为 () A. 3 2 B.3 4 C 3 2 D 3 4 解析： 因为 4， 2 ， 所以 cos sin ， (cos sin )21sin 2 ， 所以 cos sin 3 2 . 答案：C 3 设 a 1 2cos 6 3 2 sin 6 ， b2sin 13 cos 13 ， c 1cos 50 2 ， 则有() AcbaBabc CacbDbca 解析：由已知可
15、得 asin 24 ，bsin 26 ，csin 25 ，所以 ac0， 则 1cos 2 2 1cos 2 2 cos 2 sin 2 |cos |sin |cos (sin )cos sin . 答案：B 5已知 2sin 1cos ，则 tan 2( ) A. 1 2 B.1 2或不存在 C2 D2 或不存在 解析：由 2sin 1cos ， 即 4sin 2cos 22cos 2 2， 当 cos 20 时，则 tan 2不存在， 当 cos 20 时，则 tan 2 1 2. 答案：B 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6若 cos 22 a，则 sin 11 _，cos 11 _. 解析：cos 22 2cos 211 112sin211 ， 所以 cos 11 1cos 22 2 1a 2 . sin 11 1c
